DOE MACSYMA Version 10. (c1) Batching the file triang Batching done. (d1) triang (c2) (c3) /* */ showproof: true $ (c4) showtime: true $ Time= 16 msec. (c5) /* 7.1 */ trineq(K*sqrt(3)<=(R+r)^2); 2 To prove: (r + R) >= sqrt(3) K Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 4 a b c s + 8 K a b c s + 16 K ---------------------------------- >= sqrt(3) K 2 2 16 K s 2 2 Multiplying both sides by 16 K s gives: 2 2 2 2 2 4 3 2 a b c s + 8 K a b c s + 16 K >= 16 sqrt(3) K s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 4 2 2 a b c s + 8 F a b c s + 16 F >= 16 sqrt(3) F K s 2 2 Since 16 sqrt(3) F s is positive, and since 2 2 2 2 2 4 a b c s + 8 F a b c s + 16 F is positive, we can square both sides to get: 4 4 4 4 2 3 3 3 3 4 2 2 2 2 6 a b c s + 16 F a b c s + 96 F a b c s + 256 F a b c s 8 4 8 4 4 4 7 + 256 F >= 768 F s + (- 768 F c - 768 F b - 768 F a) s 4 4 4 6 4 5 + ((768 F b + 768 F a) c + 768 F a b) s - 768 F a b c s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 7 4 7 4 7 4 5 4 4 4 4 768 F c s + 768 F b s + 768 F a s + 768 F a b c s + a b c s 2 3 3 3 3 4 2 2 2 2 6 8 + 16 F a b c s + 96 F a b c s + 256 F a b c s + 256 F >= 4 8 4 6 4 6 4 6 768 F s + 768 F b c s + 768 F a c s + 768 F a b s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 16 15 2 2 14 (7 c + (48 b + 48 a) c + (136 b + 352 a b + 136 a ) c 3 2 2 3 13 + (144 b + 928 a b + 928 a b + 144 a ) c 4 3 2 2 3 4 12 + (- 188 b + 528 a b + 1744 a b + 528 a b - 188 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 11 + (- 720 b - 2256 a b - 1488 a b - 1488 a b - 2256 a b - 720 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (- 584 b - 4512 a b - 9120 a b - 9968 a b - 9120 a b - 4512 a b 6 10 7 6 2 5 3 4 4 3 - 584 a ) c + (528 b - 864 a b - 8544 a b - 15792 a b - 15792 a b 5 2 6 7 9 8 7 2 6 - 8544 a b - 864 a b + 528 a ) c + (1258 b + 5776 a b + 7240 a b 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 8 + 16 a b - 5396 a b + 16 a b + 7240 a b + 5776 a b + 1258 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (528 b + 5776 a b + 18208 a b + 26560 a b + 24256 a b + 24256 a b 6 3 7 2 8 9 7 + 26560 a b + 18208 a b + 5776 a b + 528 a ) c 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (- 584 b - 864 a b + 7240 a b + 26560 a b + 41824 a b + 45568 a b 6 4 7 3 8 2 9 10 6 + 41824 a b + 26560 a b + 7240 a b - 864 a b - 584 a ) c 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (- 720 b - 4512 a b - 8544 a b + 16 a b + 24256 a b + 45568 a b 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 5 + 45568 a b + 24256 a b + 16 a b - 8544 a b - 4512 a b - 720 a ) c 12 11 2 10 3 9 4 8 + (- 188 b - 2256 a b - 9120 a b - 15792 a b - 5396 a b 5 7 6 6 7 5 8 4 9 3 + 24256 a b + 41824 a b + 24256 a b - 5396 a b - 15792 a b 10 2 11 12 4 - 9120 a b - 2256 a b - 188 a ) c 13 12 2 11 3 10 4 9 5 8 + (144 b + 528 a b - 1488 a b - 9968 a b - 15792 a b + 16 a b 6 7 7 6 8 5 9 4 10 3 + 26560 a b + 26560 a b + 16 a b - 15792 a b - 9968 a b 11 2 12 13 3 - 1488 a b + 528 a b + 144 a ) c 14 13 2 12 3 11 4 10 5 9 + (136 b + 928 a b + 1744 a b - 1488 a b - 9120 a b - 8544 a b 6 8 7 7 8 6 9 5 10 4 + 7240 a b + 18208 a b + 7240 a b - 8544 a b - 9120 a b 11 3 12 2 13 14 2 - 1488 a b + 1744 a b + 928 a b + 136 a ) c 15 14 2 13 3 12 4 11 5 10 + (48 b + 352 a b + 928 a b + 528 a b - 2256 a b - 4512 a b 6 9 7 8 8 7 9 6 10 5 11 4 - 864 a b + 5776 a b + 5776 a b - 864 a b - 4512 a b - 2256 a b 12 3 13 2 14 15 16 15 + 528 a b + 928 a b + 352 a b + 48 a ) c + 7 b + 48 a b 2 14 3 13 4 12 5 11 6 10 7 9 + 136 a b + 144 a b - 188 a b - 720 a b - 584 a b + 528 a b 8 8 9 7 10 6 11 5 12 4 13 3 + 1258 a b + 528 a b - 584 a b - 720 a b - 188 a b + 144 a b 14 2 15 16 + 136 a b + 48 a b + 7 a )/256 >= 16 15 2 2 14 (3 c + (36 b + 36 a) c + (144 b + 324 a b + 144 a ) c 3 2 2 3 13 + (204 b + 972 a b + 972 a b + 204 a ) c 4 3 2 2 3 4 12 + (- 156 b + 684 a b + 1824 a b + 684 a b - 156 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 11 + (- 828 b - 2268 a b - 1512 a b - 1512 a b - 2268 a b - 828 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (- 720 b - 4860 a b - 9408 a b - 10344 a b - 9408 a b - 4860 a b 6 10 7 6 2 5 3 4 4 3 - 720 a ) c + (588 b - 1044 a b - 8844 a b - 16044 a b - 16044 a b 5 2 6 7 9 8 7 2 6 - 8844 a b - 1044 a b + 588 a ) c + (1458 b + 6156 a b + 7440 a b 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 8 + 180 a b - 5124 a b + 180 a b + 7440 a b + 6156 a b + 1458 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (588 b + 6156 a b + 18768 a b + 26832 a b + 24456 a b + 24456 a b 6 3 7 2 8 9 7 + 26832 a b + 18768 a b + 6156 a b + 588 a ) c 10 9 2 8 3 7 4 6 + (- 720 b - 1044 a b + 7440 a b + 26832 a b + 41664 a b 5 5 6 4 7 3 8 2 9 10 + 45192 a b + 41664 a b + 26832 a b + 7440 a b - 1044 a b - 720 a ) 6 11 10 2 9 3 8 4 7 c + (- 828 b - 4860 a b - 8844 a b + 180 a b + 24456 a b 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 + 45192 a b + 45192 a b + 24456 a b + 180 a b - 8844 a b 10 11 5 12 11 2 10 - 4860 a b - 828 a ) c + (- 156 b - 2268 a b - 9408 a b 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 - 16044 a b - 5124 a b + 24456 a b + 41664 a b + 24456 a b 8 4 9 3 10 2 11 12 4 - 5124 a b - 16044 a b - 9408 a b - 2268 a b - 156 a ) c 13 12 2 11 3 10 4 9 5 8 + (204 b + 684 a b - 1512 a b - 10344 a b - 16044 a b + 180 a b 6 7 7 6 8 5 9 4 10 3 + 26832 a b + 26832 a b + 180 a b - 16044 a b - 10344 a b 11 2 12 13 3 - 1512 a b + 684 a b + 204 a ) c 14 13 2 12 3 11 4 10 5 9 + (144 b + 972 a b + 1824 a b - 1512 a b - 9408 a b - 8844 a b 6 8 7 7 8 6 9 5 10 4 + 7440 a b + 18768 a b + 7440 a b - 8844 a b - 9408 a b 11 3 12 2 13 14 2 - 1512 a b + 1824 a b + 972 a b + 144 a ) c 15 14 2 13 3 12 4 11 5 10 + (36 b + 324 a b + 972 a b + 684 a b - 2268 a b - 4860 a b 6 9 7 8 8 7 9 6 10 5 - 1044 a b + 6156 a b + 6156 a b - 1044 a b - 4860 a b 11 4 12 3 13 2 14 15 16 - 2268 a b + 684 a b + 972 a b + 324 a b + 36 a ) c + 3 b 15 2 14 3 13 4 12 5 11 6 10 + 36 a b + 144 a b + 204 a b - 156 a b - 828 a b - 720 a b 7 9 8 8 9 7 10 6 11 5 12 4 + 588 a b + 1458 a b + 588 a b - 720 a b - 828 a b - 156 a b 13 3 14 2 15 16 + 204 a b + 144 a b + 36 a b + 3 a )/256 Multiplying both sides by 256 gives: 16 15 15 2 14 14 2 14 7 c + 48 b c + 48 a c + 136 b c + 352 a b c + 136 a c 3 13 2 13 2 13 3 13 4 12 + 144 b c + 928 a b c + 928 a b c + 144 a c - 188 b c 3 12 2 2 12 3 12 4 12 5 11 + 528 a b c + 1744 a b c + 528 a b c - 188 a c - 720 b c 4 11 2 3 11 3 2 11 4 11 5 11 - 2256 a b c - 1488 a b c - 1488 a b c - 2256 a b c - 720 a c 6 10 5 10 2 4 10 3 3 10 - 584 b c - 4512 a b c - 9120 a b c - 9968 a b c 4 2 10 5 10 6 10 7 9 6 9 - 9120 a b c - 4512 a b c - 584 a c + 528 b c - 864 a b c 2 5 9 3 4 9 4 3 9 5 2 9 - 8544 a b c - 15792 a b c - 15792 a b c - 8544 a b c 6 9 7 9 8 8 7 8 2 6 8 - 864 a b c + 528 a c + 1258 b c + 5776 a b c + 7240 a b c 3 5 8 4 4 8 5 3 8 6 2 8 7 8 + 16 a b c - 5396 a b c + 16 a b c + 7240 a b c + 5776 a b c 8 8 9 7 8 7 2 7 7 3 6 7 + 1258 a c + 528 b c + 5776 a b c + 18208 a b c + 26560 a b c 4 5 7 5 4 7 6 3 7 7 2 7 + 24256 a b c + 24256 a b c + 26560 a b c + 18208 a b c 8 7 9 7 10 6 9 6 2 8 6 + 5776 a b c + 528 a c - 584 b c - 864 a b c + 7240 a b c 3 7 6 4 6 6 5 5 6 6 4 6 + 26560 a b c + 41824 a b c + 45568 a b c + 41824 a b c 7 3 6 8 2 6 9 6 10 6 11 5 + 26560 a b c + 7240 a b c - 864 a b c - 584 a c - 720 b c 10 5 2 9 5 3 8 5 4 7 5 - 4512 a b c - 8544 a b c + 16 a b c + 24256 a b c 5 6 5 6 5 5 7 4 5 8 3 5 + 45568 a b c + 45568 a b c + 24256 a b c + 16 a b c 9 2 5 10 5 11 5 12 4 11 4 - 8544 a b c - 4512 a b c - 720 a c - 188 b c - 2256 a b c 2 10 4 3 9 4 4 8 4 5 7 4 - 9120 a b c - 15792 a b c - 5396 a b c + 24256 a b c 6 6 4 7 5 4 8 4 4 9 3 4 + 41824 a b c + 24256 a b c - 5396 a b c - 15792 a b c 10 2 4 11 4 12 4 13 3 12 3 - 9120 a b c - 2256 a b c - 188 a c + 144 b c + 528 a b c 2 11 3 3 10 3 4 9 3 5 8 3 - 1488 a b c - 9968 a b c - 15792 a b c + 16 a b c 6 7 3 7 6 3 8 5 3 9 4 3 + 26560 a b c + 26560 a b c + 16 a b c - 15792 a b c 10 3 3 11 2 3 12 3 13 3 14 2 - 9968 a b c - 1488 a b c + 528 a b c + 144 a c + 136 b c 13 2 2 12 2 3 11 2 4 10 2 + 928 a b c + 1744 a b c - 1488 a b c - 9120 a b c 5 9 2 6 8 2 7 7 2 8 6 2 - 8544 a b c + 7240 a b c + 18208 a b c + 7240 a b c 9 5 2 10 4 2 11 3 2 12 2 2 - 8544 a b c - 9120 a b c - 1488 a b c + 1744 a b c 13 2 14 2 15 14 2 13 + 928 a b c + 136 a c + 48 b c + 352 a b c + 928 a b c 3 12 4 11 5 10 6 9 7 8 + 528 a b c - 2256 a b c - 4512 a b c - 864 a b c + 5776 a b c 8 7 9 6 10 5 11 4 12 3 + 5776 a b c - 864 a b c - 4512 a b c - 2256 a b c + 528 a b c 13 2 14 15 16 15 2 14 + 928 a b c + 352 a b c + 48 a c + 7 b + 48 a b + 136 a b 3 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 8 + 144 a b - 188 a b - 720 a b - 584 a b + 528 a b + 1258 a b 9 7 10 6 11 5 12 4 13 3 14 2 + 528 a b - 584 a b - 720 a b - 188 a b + 144 a b + 136 a b 15 16 16 15 15 2 14 14 + 48 a b + 7 a >= 3 c + 36 b c + 36 a c + 144 b c + 324 a b c 2 14 3 13 2 13 2 13 3 13 + 144 a c + 204 b c + 972 a b c + 972 a b c + 204 a c 4 12 3 12 2 2 12 3 12 4 12 - 156 b c + 684 a b c + 1824 a b c + 684 a b c - 156 a c 5 11 4 11 2 3 11 3 2 11 4 11 - 828 b c - 2268 a b c - 1512 a b c - 1512 a b c - 2268 a b c 5 11 6 10 5 10 2 4 10 3 3 10 - 828 a c - 720 b c - 4860 a b c - 9408 a b c - 10344 a b c 4 2 10 5 10 6 10 7 9 6 9 - 9408 a b c - 4860 a b c - 720 a c + 588 b c - 1044 a b c 2 5 9 3 4 9 4 3 9 5 2 9 - 8844 a b c - 16044 a b c - 16044 a b c - 8844 a b c 6 9 7 9 8 8 7 8 2 6 8 - 1044 a b c + 588 a c + 1458 b c + 6156 a b c + 7440 a b c 3 5 8 4 4 8 5 3 8 6 2 8 7 8 + 180 a b c - 5124 a b c + 180 a b c + 7440 a b c + 6156 a b c 8 8 9 7 8 7 2 7 7 3 6 7 + 1458 a c + 588 b c + 6156 a b c + 18768 a b c + 26832 a b c 4 5 7 5 4 7 6 3 7 7 2 7 + 24456 a b c + 24456 a b c + 26832 a b c + 18768 a b c 8 7 9 7 10 6 9 6 2 8 6 + 6156 a b c + 588 a c - 720 b c - 1044 a b c + 7440 a b c 3 7 6 4 6 6 5 5 6 6 4 6 + 26832 a b c + 41664 a b c + 45192 a b c + 41664 a b c 7 3 6 8 2 6 9 6 10 6 11 5 + 26832 a b c + 7440 a b c - 1044 a b c - 720 a c - 828 b c 10 5 2 9 5 3 8 5 4 7 5 - 4860 a b c - 8844 a b c + 180 a b c + 24456 a b c 5 6 5 6 5 5 7 4 5 8 3 5 + 45192 a b c + 45192 a b c + 24456 a b c + 180 a b c 9 2 5 10 5 11 5 12 4 11 4 - 8844 a b c - 4860 a b c - 828 a c - 156 b c - 2268 a b c 2 10 4 3 9 4 4 8 4 5 7 4 - 9408 a b c - 16044 a b c - 5124 a b c + 24456 a b c 6 6 4 7 5 4 8 4 4 9 3 4 + 41664 a b c + 24456 a b c - 5124 a b c - 16044 a b c 10 2 4 11 4 12 4 13 3 12 3 - 9408 a b c - 2268 a b c - 156 a c + 204 b c + 684 a b c 2 11 3 3 10 3 4 9 3 5 8 3 - 1512 a b c - 10344 a b c - 16044 a b c + 180 a b c 6 7 3 7 6 3 8 5 3 9 4 3 + 26832 a b c + 26832 a b c + 180 a b c - 16044 a b c 10 3 3 11 2 3 12 3 13 3 14 2 - 10344 a b c - 1512 a b c + 684 a b c + 204 a c + 144 b c 13 2 2 12 2 3 11 2 4 10 2 + 972 a b c + 1824 a b c - 1512 a b c - 9408 a b c 5 9 2 6 8 2 7 7 2 8 6 2 - 8844 a b c + 7440 a b c + 18768 a b c + 7440 a b c 9 5 2 10 4 2 11 3 2 12 2 2 - 8844 a b c - 9408 a b c - 1512 a b c + 1824 a b c 13 2 14 2 15 14 2 13 + 972 a b c + 144 a c + 36 b c + 324 a b c + 972 a b c 3 12 4 11 5 10 6 9 7 8 + 684 a b c - 2268 a b c - 4860 a b c - 1044 a b c + 6156 a b c 8 7 9 6 10 5 11 4 12 3 + 6156 a b c - 1044 a b c - 4860 a b c - 2268 a b c + 684 a b c 13 2 14 15 16 15 2 14 + 972 a b c + 324 a b c + 36 a c + 3 b + 36 a b + 144 a b 3 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 8 + 204 a b - 156 a b - 828 a b - 720 a b + 588 a b + 1458 a b 9 7 10 6 11 5 12 4 13 3 14 2 + 588 a b - 720 a b - 828 a b - 156 a b + 204 a b + 144 a b 15 16 + 36 a b + 3 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 16 15 15 14 5 11 4 11 4 c + 12 b c + 12 a c + 28 a b c + 108 b c + 12 a b c 2 3 11 3 2 11 4 11 5 11 6 10 + 24 a b c + 24 a b c + 12 a b c + 108 a c + 136 b c 5 10 2 4 10 3 3 10 4 2 10 5 10 + 348 a b c + 288 a b c + 376 a b c + 288 a b c + 348 a b c 6 10 6 9 2 5 9 3 4 9 4 3 9 + 136 a c + 180 a b c + 300 a b c + 252 a b c + 252 a b c 5 2 9 6 9 10 6 9 6 4 6 6 + 300 a b c + 180 a b c + 136 b c + 180 a b c + 160 a b c 5 5 6 6 4 6 9 6 10 6 11 5 + 376 a b c + 160 a b c + 180 a b c + 136 a c + 108 b c 10 5 2 9 5 5 6 5 6 5 5 9 2 5 + 348 a b c + 300 a b c + 376 a b c + 376 a b c + 300 a b c 10 5 11 5 11 4 2 10 4 3 9 4 + 348 a b c + 108 a c + 12 a b c + 288 a b c + 252 a b c 6 6 4 9 3 4 10 2 4 11 4 2 11 3 + 160 a b c + 252 a b c + 288 a b c + 12 a b c + 24 a b c 3 10 3 4 9 3 9 4 3 10 3 3 11 2 3 + 376 a b c + 252 a b c + 252 a b c + 376 a b c + 24 a b c 3 11 2 4 10 2 5 9 2 9 5 2 10 4 2 + 24 a b c + 288 a b c + 300 a b c + 300 a b c + 288 a b c 11 3 2 15 14 4 11 5 10 + 24 a b c + 12 b c + 28 a b c + 12 a b c + 348 a b c 6 9 9 6 10 5 11 4 14 + 180 a b c + 180 a b c + 348 a b c + 12 a b c + 28 a b c 15 16 15 5 11 6 10 10 6 + 12 a c + 4 b + 12 a b + 108 a b + 136 a b + 136 a b 11 5 15 16 2 14 2 14 3 13 + 108 a b + 12 a b + 4 a >= 8 b c + 8 a c + 60 b c 2 13 2 13 3 13 4 12 3 12 + 44 a b c + 44 a b c + 60 a c + 32 b c + 156 a b c 2 2 12 3 12 4 12 7 9 7 9 8 8 + 80 a b c + 156 a b c + 32 a c + 60 b c + 60 a c + 200 b c 7 8 2 6 8 3 5 8 4 4 8 5 3 8 + 380 a b c + 200 a b c + 164 a b c + 272 a b c + 164 a b c 6 2 8 7 8 8 8 9 7 8 7 + 200 a b c + 380 a b c + 200 a c + 60 b c + 380 a b c 2 7 7 3 6 7 4 5 7 5 4 7 6 3 7 + 560 a b c + 272 a b c + 200 a b c + 200 a b c + 272 a b c 7 2 7 8 7 9 7 2 8 6 3 7 6 + 560 a b c + 380 a b c + 60 a c + 200 a b c + 272 a b c 7 3 6 8 2 6 3 8 5 4 7 5 7 4 5 + 272 a b c + 200 a b c + 164 a b c + 200 a b c + 200 a b c 8 3 5 12 4 4 8 4 5 7 4 7 5 4 + 164 a b c + 32 b c + 272 a b c + 200 a b c + 200 a b c 8 4 4 12 4 13 3 12 3 5 8 3 + 272 a b c + 32 a c + 60 b c + 156 a b c + 164 a b c 6 7 3 7 6 3 8 5 3 12 3 13 3 + 272 a b c + 272 a b c + 164 a b c + 156 a b c + 60 a c 14 2 13 2 2 12 2 6 8 2 7 7 2 + 8 b c + 44 a b c + 80 a b c + 200 a b c + 560 a b c 8 6 2 12 2 2 13 2 14 2 2 13 + 200 a b c + 80 a b c + 44 a b c + 8 a c + 44 a b c 3 12 7 8 8 7 12 3 13 2 + 156 a b c + 380 a b c + 380 a b c + 156 a b c + 44 a b c 2 14 3 13 4 12 7 9 8 8 9 7 + 8 a b + 60 a b + 32 a b + 60 a b + 200 a b + 60 a b 12 4 13 3 14 2 + 32 a b + 60 a b + 8 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 16 15 2 2 14 (130 z + (1330 y + 1330 x) z + (6711 y + 12102 x y + 6711 x ) z 3 2 2 3 13 + (22093 y + 54629 x y + 54629 x y + 22093 x ) z 4 3 2 2 3 4 12 + (52925 y + 161451 x y + 222092 x y + 161451 x y + 52925 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 + (98725 y + 349453 x y + 595464 x y + 595464 x y + 349453 x y 5 11 6 5 2 4 3 3 + 98725 x ) z + (149915 y + 594027 x y + 1186088 x y + 1448008 x y 4 2 5 6 10 + 1186088 x y + 594027 x y + 149915 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 + (190889 y + 829541 x y + 1885356 x y + 2607328 x y + 2607328 x y 5 2 6 7 9 + 1885356 x y + 829541 x y + 190889 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 + (206722 y + 976633 x y + 2478550 x y + 3739694 x y + 4081730 x y 5 3 6 2 7 8 8 + 3739694 x y + 2478550 x y + 976633 x y + 206722 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 + (190889 y + 976633 x y + 2716824 x y + 4447144 x y + 4975540 x y 5 4 6 3 7 2 8 9 7 + 4975540 x y + 4447144 x y + 2716824 x y + 976633 x y + 190889 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 + (149915 y + 829541 x y + 2478550 x y + 4447144 x y + 5222676 x y 5 5 6 4 7 3 8 2 9 + 5144120 x y + 5222676 x y + 4447144 x y + 2478550 x y + 829541 x y 10 6 11 10 2 9 3 8 + 149915 x ) z + (98725 y + 594027 x y + 1885356 x y + 3739694 x y 4 7 5 6 6 5 7 4 + 4975540 x y + 5144120 x y + 5144120 x y + 4975540 x y 8 3 9 2 10 11 5 + 3739694 x y + 1885356 x y + 594027 x y + 98725 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 + (52925 y + 349453 x y + 1186088 x y + 2607328 x y + 4081730 x y 5 7 6 6 7 5 8 4 + 4975540 x y + 5222676 x y + 4975540 x y + 4081730 x y 9 3 10 2 11 12 4 + 2607328 x y + 1186088 x y + 349453 x y + 52925 x ) z 13 12 2 11 3 10 4 9 + (22093 y + 161451 x y + 595464 x y + 1448008 x y + 2607328 x y 5 8 6 7 7 6 8 5 + 3739694 x y + 4447144 x y + 4447144 x y + 3739694 x y 9 4 10 3 11 2 12 13 + 2607328 x y + 1448008 x y + 595464 x y + 161451 x y + 22093 x ) 3 14 13 2 12 3 11 4 10 z + (6711 y + 54629 x y + 222092 x y + 595464 x y + 1186088 x y 5 9 6 8 7 7 8 6 + 1885356 x y + 2478550 x y + 2716824 x y + 2478550 x y 9 5 10 4 11 3 12 2 13 + 1885356 x y + 1186088 x y + 595464 x y + 222092 x y + 54629 x y 14 2 15 14 2 13 3 12 + 6711 x ) z + (1330 y + 12102 x y + 54629 x y + 161451 x y 4 11 5 10 6 9 7 8 8 7 + 349453 x y + 594027 x y + 829541 x y + 976633 x y + 976633 x y 9 6 10 5 11 4 12 3 13 2 + 829541 x y + 594027 x y + 349453 x y + 161451 x y + 54629 x y 14 15 16 15 2 14 + 12102 x y + 1330 x ) z + 130 y + 1330 x y + 6711 x y 3 13 4 12 5 11 6 10 7 9 + 22093 x y + 52925 x y + 98725 x y + 149915 x y + 190889 x y 8 8 9 7 10 6 11 5 12 4 + 206722 x y + 190889 x y + 149915 x y + 98725 x y + 52925 x y 13 3 14 2 15 16 + 22093 x y + 6711 x y + 1330 x y + 130 x )/16384 >= 16 15 2 2 14 (130 z + (1330 y + 1330 x) z + (6711 y + 12102 x y + 6711 x ) z 3 2 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54629 x y z 3 12 4 11 5 10 6 9 + 161195 x y z + 345869 x y z + 575851 x y z + 781157 x y z 7 8 8 7 9 6 10 5 + 899577 x y z + 899577 x y z + 781157 x y z + 575851 x y z 11 4 12 3 13 2 14 + 345869 x y z + 161195 x y z + 54629 x y z + 12102 x y z 15 16 15 2 14 3 13 + 1330 x z + 130 y + 1330 x y + 6711 x y + 22093 x y 4 12 5 11 6 10 7 9 8 8 + 52861 x y + 98213 x y + 148123 x y + 187305 x y + 202242 x y 9 7 10 6 11 5 12 4 13 3 + 187305 x y + 148123 x y + 98213 x y + 52861 x y + 22093 x y 14 2 15 16 + 6711 x y + 1330 x y + 130 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 12 3 12 2 2 12 3 12 4 12 64 y z + 256 x y z + 384 x y z + 256 x y z + 64 x z 5 11 4 11 2 3 11 3 2 11 4 11 + 512 y z + 3584 x y z + 8192 x y z + 8192 x y z + 3584 x y z 5 11 6 10 5 10 2 4 10 + 512 x z + 1792 y z + 18176 x y z + 62720 x y z 3 3 10 4 2 10 5 10 6 10 + 43520 x y z + 62720 x y z + 18176 x y z + 1792 x z 7 9 6 9 2 5 9 3 4 9 + 3584 y z + 48384 x y z + 231680 x y z + 150528 x y z 4 3 9 5 2 9 6 9 7 9 8 8 + 150528 x y z + 231680 x y z + 48384 x y z + 3584 x z + 4480 y z 7 8 2 6 8 3 5 8 5 3 8 + 77056 x y z + 483712 x y z + 375040 x y z + 375040 x y z 6 2 8 7 8 8 8 9 7 8 7 + 483712 x y z + 77056 x y z + 4480 x z + 3584 y z + 77056 x y z 2 7 7 3 6 7 6 3 7 7 2 7 + 613888 x y z + 606208 x y z + 606208 x y z + 613888 x y z 8 7 9 7 10 6 9 6 2 8 6 + 77056 x y z + 3584 x z + 1792 y z + 48384 x y z + 483712 x y z 3 7 6 7 3 6 8 2 6 9 6 + 606208 x y z + 606208 x y z + 483712 x y z + 48384 x y z 10 6 11 5 10 5 2 9 5 + 1792 x z + 512 y z + 18176 x y z + 231680 x y z 3 8 5 8 3 5 9 2 5 10 5 + 375040 x y z + 375040 x y z + 231680 x y z + 18176 x y z 11 5 12 4 11 4 2 10 4 3 9 4 + 512 x z + 64 y z + 3584 x y z + 62720 x y z + 150528 x y z 9 3 4 10 2 4 11 4 12 4 12 3 + 150528 x y z + 62720 x y z + 3584 x y z + 64 x z + 256 x y z 2 11 3 3 10 3 4 9 3 5 8 3 + 8192 x y z + 43520 x y z + 150528 x y z + 375040 x y z 6 7 3 7 6 3 8 5 3 9 4 3 + 606208 x y z + 606208 x y z + 375040 x y z + 150528 x y z 10 3 3 11 2 3 12 3 2 12 2 + 43520 x y z + 8192 x y z + 256 x y z + 384 x y z 3 11 2 4 10 2 5 9 2 6 8 2 + 8192 x y z + 62720 x y z + 231680 x y z + 483712 x y z 7 7 2 8 6 2 9 5 2 10 4 2 + 613888 x y z + 483712 x y z + 231680 x y z + 62720 x y z 11 3 2 12 2 2 3 12 4 11 + 8192 x y z + 384 x y z + 256 x y z + 3584 x y z 5 10 6 9 7 8 8 7 + 18176 x y z + 48384 x y z + 77056 x y z + 77056 x y z 9 6 10 5 11 4 12 3 4 12 + 48384 x y z + 18176 x y z + 3584 x y z + 256 x y z + 64 x y 5 11 6 10 7 9 8 8 9 7 + 512 x y + 1792 x y + 3584 x y + 4480 x y + 3584 x y 10 6 11 5 12 4 + 1792 x y + 512 x y + 64 x y >= 4 4 8 4 5 7 5 4 7 4 6 6 55808 x y z + 661760 x y z + 661760 x y z + 1029248 x y z 5 5 6 6 4 6 4 7 5 5 6 5 + 2396672 x y z + 1029248 x y z + 661760 x y z + 2396672 x y z 6 5 5 7 4 5 4 8 4 5 7 4 + 2396672 x y z + 661760 x y z + 55808 x y z + 661760 x y z 6 6 4 7 5 4 8 4 4 + 1029248 x y z + 661760 x y z + 55808 x y z Dividing both sides by 64 gives: 4 12 3 12 2 2 12 3 12 4 12 5 11 y z + 4 x y z + 6 x y z + 4 x y z + x z + 8 y z 4 11 2 3 11 3 2 11 4 11 5 11 + 56 x y z + 128 x y z + 128 x y z + 56 x y z + 8 x z 6 10 5 10 2 4 10 3 3 10 4 2 10 + 28 y z + 284 x y z + 980 x y z + 680 x y z + 980 x y z 5 10 6 10 7 9 6 9 2 5 9 + 284 x y z + 28 x z + 56 y z + 756 x y z + 3620 x y z 3 4 9 4 3 9 5 2 9 6 9 7 9 + 2352 x y z + 2352 x y z + 3620 x y z + 756 x y z + 56 x z 8 8 7 8 2 6 8 3 5 8 5 3 8 + 70 y z + 1204 x y z + 7558 x y z + 5860 x y z + 5860 x y z 6 2 8 7 8 8 8 9 7 8 7 + 7558 x y z + 1204 x y z + 70 x z + 56 y z + 1204 x y z 2 7 7 3 6 7 6 3 7 7 2 7 8 7 + 9592 x y z + 9472 x y z + 9472 x y z + 9592 x y z + 1204 x y z 9 7 10 6 9 6 2 8 6 3 7 6 + 56 x z + 28 y z + 756 x y z + 7558 x y z + 9472 x y z 7 3 6 8 2 6 9 6 10 6 11 5 + 9472 x y z + 7558 x y z + 756 x y z + 28 x z + 8 y z 10 5 2 9 5 3 8 5 8 3 5 9 2 5 + 284 x y z + 3620 x y z + 5860 x y z + 5860 x y z + 3620 x y z 10 5 11 5 12 4 11 4 2 10 4 + 284 x y z + 8 x z + y z + 56 x y z + 980 x y z 3 9 4 9 3 4 10 2 4 11 4 12 4 + 2352 x y z + 2352 x y z + 980 x y z + 56 x y z + x z 12 3 2 11 3 3 10 3 4 9 3 5 8 3 + 4 x y z + 128 x y z + 680 x y z + 2352 x y z + 5860 x y z 6 7 3 7 6 3 8 5 3 9 4 3 + 9472 x y z + 9472 x y z + 5860 x y z + 2352 x y z 10 3 3 11 2 3 12 3 2 12 2 3 11 2 + 680 x y z + 128 x y z + 4 x y z + 6 x y z + 128 x y z 4 10 2 5 9 2 6 8 2 7 7 2 + 980 x y z + 3620 x y z + 7558 x y z + 9592 x y z 8 6 2 9 5 2 10 4 2 11 3 2 12 2 2 + 7558 x y z + 3620 x y z + 980 x y z + 128 x y z + 6 x y z 3 12 4 11 5 10 6 9 7 8 + 4 x y z + 56 x y z + 284 x y z + 756 x y z + 1204 x y z 8 7 9 6 10 5 11 4 12 3 + 1204 x y z + 756 x y z + 284 x y z + 56 x y z + 4 x y z 4 12 5 11 6 10 7 9 8 8 9 7 10 6 + x y + 8 x y + 28 x y + 56 x y + 70 x y + 56 x y + 28 x y 11 5 12 4 4 4 8 4 5 7 5 4 7 + 8 x y + x y >= 872 x y z + 10340 x y z + 10340 x y z 4 6 6 5 5 6 6 4 6 4 7 5 + 16082 x y z + 37448 x y z + 16082 x y z + 10340 x y z 5 6 5 6 5 5 7 4 5 4 8 4 + 37448 x y z + 37448 x y z + 10340 x y z + 872 x y z 5 7 4 6 6 4 7 5 4 8 4 4 + 10340 x y z + 16082 x y z + 10340 x y z + 872 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {12, 4, 0} + 4 {12, 3, 1} + 3 {12, 2, 2} + 8 {11, 5, 0} + 56 {11, 4, 1} + 128 {11, 3, 2} + 28 {10, 6, 0} + 284 {10, 5, 1} + 980 {10, 4, 2} + 340 {10, 3, 3} + 56 {9, 7, 0} + 756 {9, 6, 1} + 3620 {9, 5, 2} + 2352 {9, 4, 3} + 35 {8, 8, 0} + 1204 {8, 7, 1} + 7558 {8, 6, 2} + 5860 {8, 5, 3} + 4796 {7, 7, 2} + 9472 {7, 6, 3} >= 436 {8, 4, 4} + 10340 {7, 5, 4} + 8041 {6, 6, 4} + 18724 {6, 5, 5} This follows from the following majorizations: left side: [9472 {7, 6, 3}, 4796 {7, 7, 2}, 5860 {8, 5, 3}, 7558 {8, 6, 2}, 1204 {8, 7, 1}, 35 {8, 8, 0}, 2352 {9, 4, 3}, 3620 {9, 5, 2}, 756 {9, 6, 1}, 56 {9, 7, 0}, 340 {10, 3, 3}, 980 {10, 4, 2}, 284 {10, 5, 1}, 28 {10, 6, 0}, 128 {11, 3, 2}, 56 {11, 4, 1}, 8 {11, 5, 0}, 3 {12, 2, 2}, 4 {12, 3, 1}, {12, 4, 0}] right side: [18724 {6, 5, 5}, 8041 {6, 6, 4}, 10340 {7, 5, 4}, 436 {8, 4, 4}] Time= 566700 msec. (d5) notsure (c6) /* 7.2 */ trineq(K*sqrt(3)<=r*(4*R+r)); To prove: r (r + 4 R) >= sqrt(3) K Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 a b c s + K ------------ >= sqrt(3) K 2 s 2 Multiplying both sides by s gives: 2 2 a b c s + K >= sqrt(3) K s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 a b c s + F >= sqrt(3) K s 2 Since sqrt(3) s is positive, and since 2 a b c s + F is positive, we can square both sides to get: 2 2 2 2 2 4 8 7 a b c s + 2 F a b c s + F >= 3 s + (- 3 c - 3 b - 3 a) s 6 5 + ((3 b + 3 a) c + 3 a b) s - 3 a b c s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 7 7 7 5 2 2 2 2 2 4 3 c s + 3 b s + 3 a s + 3 a b c s + a b c s + 2 F a b c s + F >= 8 6 6 6 3 s + 3 b c s + 3 a c s + 3 a b s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 7 2 2 6 (7 c + (48 b + 48 a) c + (164 b + 344 a b + 164 a ) c 3 2 2 3 5 + (336 b + 1112 a b + 1112 a b + 336 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (426 b + 1952 a b + 3068 a b + 1952 a b + 426 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (336 b + 1952 a b + 4240 a b + 4240 a b + 1952 a b + 336 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (164 b + 1112 a b + 3068 a b + 4240 a b + 3068 a b + 1112 a b 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 164 a ) c + (48 b + 344 a b + 1112 a b + 1952 a b + 1952 a b 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 1112 a b + 344 a b + 48 a ) c + 7 b + 48 a b + 164 a b + 336 a b 4 4 5 3 6 2 7 8 + 426 a b + 336 a b + 164 a b + 48 a b + 7 a )/256 >= 8 7 2 2 6 (3 c + (36 b + 36 a) c + (156 b + 324 a b + 156 a ) c 3 2 2 3 5 + (348 b + 1116 a b + 1116 a b + 348 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (450 b + 1980 a b + 3060 a b + 1980 a b + 450 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (348 b + 1980 a b + 4200 a b + 4200 a b + 1980 a b + 348 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (156 b + 1116 a b + 3060 a b + 4200 a b + 3060 a b + 1116 a b 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 156 a ) c + (36 b + 324 a b + 1116 a b + 1980 a b + 1980 a b 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 1116 a b + 324 a b + 36 a ) c + 3 b + 36 a b + 156 a b + 348 a b 4 4 5 3 6 2 7 8 + 450 a b + 348 a b + 156 a b + 36 a b + 3 a )/256 Multiplying both sides by 256 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 7 c + 48 b c + 48 a c + 164 b c + 344 a b c + 164 a c + 336 b c 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 1112 a b c + 1112 a b c + 336 a c + 426 b c + 1952 a b c 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 3068 a b c + 1952 a b c + 426 a c + 336 b c + 1952 a b c 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 4240 a b c + 4240 a b c + 1952 a b c + 336 a c + 164 b c 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 1112 a b c + 3068 a b c + 4240 a b c + 3068 a b c + 1112 a b c 6 2 7 6 2 5 3 4 + 164 a c + 48 b c + 344 a b c + 1112 a b c + 1952 a b c 4 3 5 2 6 7 8 7 + 1952 a b c + 1112 a b c + 344 a b c + 48 a c + 7 b + 48 a b 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 + 164 a b + 336 a b + 426 a b + 336 a b + 164 a b + 48 a b 8 8 7 7 2 6 6 2 6 + 7 a >= 3 c + 36 b c + 36 a c + 156 b c + 324 a b c + 156 a c 3 5 2 5 2 5 3 5 4 4 + 348 b c + 1116 a b c + 1116 a b c + 348 a c + 450 b c 3 4 2 2 4 3 4 4 4 5 3 + 1980 a b c + 3060 a b c + 1980 a b c + 450 a c + 348 b c 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 + 1980 a b c + 4200 a b c + 4200 a b c + 1980 a b c + 348 a c 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 156 b c + 1116 a b c + 3060 a b c + 4200 a b c + 3060 a b c 5 2 6 2 7 6 2 5 + 1116 a b c + 156 a c + 36 b c + 324 a b c + 1116 a b c 3 4 4 3 5 2 6 7 8 + 1980 a b c + 1980 a b c + 1116 a b c + 324 a b c + 36 a c + 3 b 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 36 a b + 156 a b + 348 a b + 450 a b + 348 a b + 156 a b 7 8 + 36 a b + 3 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 2 2 4 4 c + 12 b c + 12 a c + 8 b c + 20 a b c + 8 a c + 8 a b c 2 3 3 3 2 3 6 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 40 a b c + 40 a b c + 8 b c + 8 a b c + 40 a b c + 8 a b c 6 2 7 6 6 7 8 7 + 8 a c + 12 b c + 20 a b c + 20 a b c + 12 a c + 4 b + 12 a b 2 6 6 2 7 8 + 8 a b + 8 a b + 12 a b + 4 a >= 3 5 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 12 b c + 4 a b c + 4 a b c + 12 a c + 24 b c + 28 a b c 3 4 4 4 5 3 4 3 4 3 5 3 + 28 a b c + 24 a c + 12 b c + 28 a b c + 28 a b c + 12 a c 5 2 5 2 2 5 3 4 4 3 5 2 + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 28 a b c + 28 a b c + 4 a b c 3 5 4 4 5 3 + 12 a b + 24 a b + 12 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (12 z + (64 y + 64 x) z + (197 y + 238 x y + 197 x ) z 3 2 2 3 5 + (413 y + 555 x y + 555 x y + 413 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (536 y + 943 x y + 914 x y + 943 x y + 536 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (413 y + 943 x y + 1124 x y + 1124 x y + 943 x y + 413 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + (197 y + 555 x y + 914 x y + 1124 x y + 914 x y + 555 x y + 197 x ) 2 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 z + (64 y + 238 x y + 555 x y + 943 x y + 943 x y + 555 x y 6 7 8 7 2 6 3 5 4 4 + 238 x y + 64 x ) z + 12 y + 64 x y + 197 x y + 413 x y + 536 x y 5 3 6 2 7 8 + 413 x y + 197 x y + 64 x y + 12 x )/64 >= 8 7 2 2 6 (12 z + (64 y + 64 x) z + (133 y + 302 x y + 133 x ) z 3 2 2 3 5 + (157 y + 619 x y + 619 x y + 157 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (152 y + 815 x y + 1362 x y + 815 x y + 152 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (157 y + 815 x y + 1764 x y + 1764 x y + 815 x y + 157 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (133 y + 619 x y + 1362 x y + 1764 x y + 1362 x y + 619 x y 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 133 x ) z + (64 y + 302 x y + 619 x y + 815 x y + 815 x y 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 619 x y + 302 x y + 64 x ) z + 12 y + 64 x y + 133 x y + 157 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 152 x y + 157 x y + 133 x y + 64 x y + 12 x )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 12 z + 64 y z + 64 x z + 197 y z + 238 x y z + 197 x z + 413 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 555 x y z + 555 x y z + 413 x z + 536 y z + 943 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 914 x y z + 943 x y z + 536 x z + 413 y z + 943 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 1124 x y z + 1124 x y z + 943 x y z + 413 x z + 197 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 555 x y z + 914 x y z + 1124 x y z + 914 x y z + 555 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 197 x z + 64 y z + 238 x y z + 555 x y z + 943 x y z + 943 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 555 x y z + 238 x y z + 64 x z + 12 y + 64 x y + 197 x y + 413 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 536 x y + 413 x y + 197 x y + 64 x y + 12 x >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 12 z + 64 y z + 64 x z + 133 y z + 302 x y z + 133 x z + 157 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 619 x y z + 619 x y z + 157 x z + 152 y z + 815 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 1362 x y z + 815 x y z + 152 x z + 157 y z + 815 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 1764 x y z + 1764 x y z + 815 x y z + 157 x z + 133 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 619 x y z + 1362 x y z + 1764 x y z + 1362 x y z + 619 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 133 x z + 64 y z + 302 x y z + 619 x y z + 815 x y z + 815 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 619 x y z + 302 x y z + 64 x z + 12 y + 64 x y + 133 x y + 157 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 152 x y + 157 x y + 133 x y + 64 x y + 12 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 3 4 64 y z + 64 x z + 256 y z + 256 x z + 384 y z + 128 x y z 3 4 4 4 5 3 4 3 4 3 5 3 + 128 x y z + 384 x z + 256 y z + 128 x y z + 128 x y z + 256 x z 6 2 6 2 3 4 4 3 2 6 3 5 + 64 y z + 64 x z + 128 x y z + 128 x y z + 64 x y + 256 x y 4 4 5 3 6 2 + 384 x y + 256 x y + 64 x y >= 6 2 5 2 5 2 2 4 2 3 3 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 448 x y z + 640 x y z 3 2 3 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 640 x y z + 64 x y z + 448 x y z + 640 x y z + 448 x y z 5 2 6 2 5 5 2 6 + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z Dividing both sides by 64 gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 3 4 3 4 4 4 y z + x z + 4 y z + 4 x z + 6 y z + 2 x y z + 2 x y z + 6 x z 5 3 4 3 4 3 5 3 6 2 6 2 3 4 + 4 y z + 2 x y z + 2 x y z + 4 x z + y z + x z + 2 x y z 4 3 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 2 x y z + x y + 4 x y + 6 x y + 4 x y + x y >= 6 2 5 2 5 2 2 4 2 3 3 3 2 3 5 2 x y z + x y z + x y z + 7 x y z + 10 x y z + 10 x y z + x y z 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 5 5 2 + 7 x y z + 10 x y z + 7 x y z + x y z + x y z + x y z + x y z 6 + x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 2 {6, 2, 0} + 8 {5, 3, 0} + 6 {4, 4, 0} + 4 {4, 3, 1} >= {6, 1, 1} + 2 {5, 2, 1} + 7 {4, 2, 2} + 10 {3, 3, 2} This follows from the following majorizations: {6, 2, 0} >= {6, 1, 1} left side: [4 {4, 3, 1}, 6 {4, 4, 0}, 8 {5, 3, 0}, 2 {6, 2, 0}] right side: [10 {3, 3, 2}, 7 {4, 2, 2}, 2 {5, 2, 1}, {6, 1, 1}] Time= 118716 msec. (d6) notsure (c7) /* 7.3 */ trineq(s^2<=4*R^2+(11/(3*sqrt(3)))*K); 2 11 K 2 To prove: 4 R + --------- >= s 3 sqrt(3) Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 3 3 sqrt(3) a b c + 44 K 2 -------------------------- >= s 2 12 sqrt(3) K 2 Multiplying both sides by 12 sqrt(3) K gives: 2 2 2 3 2 2 3 sqrt(3) a b c + 44 K >= 12 sqrt(3) K s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 2 3 sqrt(3) a b c + 44 F K >= 12 sqrt(3) F s left side: [7 {2, 2, 2}, 18 {3, 2, 1}, 3 {4, 1, 1}] right side: [3 {3, 3, 0}, 3 {4, 2, 0}] Warning: cannot determine if the other side, 2 2 2 2 2 12 sqrt(3) F s - 3 sqrt(3) a b c is positive. (Assuming it is.) Bringing all terms involving K to the left side yields: 2 2 2 2 2 2 44 F K >= 12 sqrt(3) F s - 3 sqrt(3) a b c 2 Since 44 F is positive, and since 2 2 2 2 2 12 sqrt(3) F s - 3 sqrt(3) a b c is positive, we can square both sides to get: 4 4 4 4 4 3 1936 F s + (- 1936 F c - 1936 F b - 1936 F a) s 4 4 4 2 4 + ((1936 F b + 1936 F a) c + 1936 F a b) s - 1936 F a b c s >= 4 4 2 2 2 2 2 4 4 4 432 F s - 216 F a b c s + 27 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 4 2 2 2 2 2 4 2 4 2 1504 F s + 216 F a b c s + 1936 F b c s + 1936 F a c s 4 2 4 3 4 3 4 3 + 1936 F a b s >= 1936 F c s + 1936 F b s + 1936 F a s 4 4 4 4 + 1936 F a b c s + 27 a b c Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 12 11 2 2 10 (47 c + (430 b + 430 a) c + (578 b + 1774 a b + 578 a ) c 3 2 2 3 9 + (- 1290 b + 54 a b + 54 a b - 1290 a ) c 4 3 2 2 3 4 8 + (- 2735 b - 6666 a b - 5606 a b - 6666 a b - 2735 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (860 b - 4516 a b - 7960 a b - 7960 a b - 4516 a b + 860 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (4220 b + 8924 a b + 5028 a b + 2792 a b + 5028 a b + 8924 a b 6 6 7 6 2 5 3 4 4 3 + 4220 a ) c + (860 b + 8924 a b + 15812 a b + 13124 a b + 13124 a b 5 2 6 7 5 + 15812 a b + 8924 a b + 860 a ) c 8 7 2 6 3 5 4 4 + (- 2735 b - 4516 a b + 5028 a b + 13124 a b + 12630 a b 5 3 6 2 7 8 4 + 13124 a b + 5028 a b - 4516 a b - 2735 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (- 1290 b - 6666 a b - 7960 a b + 2792 a b + 13124 a b + 13124 a b 6 3 7 2 8 9 3 + 2792 a b - 7960 a b - 6666 a b - 1290 a ) c 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (578 b + 54 a b - 5606 a b - 7960 a b + 5028 a b + 15812 a b 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 5028 a b - 7960 a b - 5606 a b + 54 a b + 578 a ) c 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (430 b + 1774 a b + 54 a b - 6666 a b - 4516 a b + 8924 a b 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 8924 a b - 4516 a b - 6666 a b + 54 a b + 1774 a b + 430 a ) c 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 47 b + 430 a b + 578 a b - 1290 a b - 2735 a b + 860 a b 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 4220 a b + 860 a b - 2735 a b - 1290 a b + 578 a b + 430 a b 12 12 11 + 47 a )/128 >= (121 c + (484 b + 484 a) c 2 2 10 3 3 9 + (242 b + 1936 a b + 242 a ) c + (- 1452 b - 1452 a ) c 4 3 2 2 3 4 8 + (- 2057 b - 7260 a b - 4598 a b - 7260 a b - 2057 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (968 b - 4840 a b - 7744 a b - 7744 a b - 4840 a b + 968 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (3388 b + 9680 a b + 4356 a b + 3872 a b + 4356 a b + 9680 a b 6 6 7 6 2 5 3 4 4 3 + 3388 a ) c + (968 b + 9680 a b + 15488 a b + 12584 a b + 12584 a b 5 2 6 7 5 + 15488 a b + 9680 a b + 968 a ) c 8 7 2 6 3 5 4 4 + (- 2057 b - 4840 a b + 4356 a b + 12584 a b + 14346 a b 5 3 6 2 7 8 4 + 12584 a b + 4356 a b - 4840 a b - 2057 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (- 1452 b - 7260 a b - 7744 a b + 3872 a b + 12584 a b + 12584 a b 6 3 7 2 8 9 3 + 3872 a b - 7744 a b - 7260 a b - 1452 a ) c 10 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 + (242 b - 4598 a b - 7744 a b + 4356 a b + 15488 a b + 4356 a b 7 3 8 2 10 2 - 7744 a b - 4598 a b + 242 a ) c 11 10 3 8 4 7 5 6 6 5 + (484 b + 1936 a b - 7260 a b - 4840 a b + 9680 a b + 9680 a b 7 4 8 3 10 11 12 11 - 4840 a b - 7260 a b + 1936 a b + 484 a ) c + 121 b + 484 a b 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 + 242 a b - 1452 a b - 2057 a b + 968 a b + 3388 a b + 968 a b 8 4 9 3 10 2 11 12 - 2057 a b - 1452 a b + 242 a b + 484 a b + 121 a )/128 Multiplying both sides by 128 gives: 12 11 11 2 10 10 2 10 47 c + 430 b c + 430 a c + 578 b c + 1774 a b c + 578 a c 3 9 2 9 2 9 3 9 4 8 - 1290 b c + 54 a b c + 54 a b c - 1290 a c - 2735 b c 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 - 6666 a b c - 5606 a b c - 6666 a b c - 2735 a c + 860 b c 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 - 4516 a b c - 7960 a b c - 7960 a b c - 4516 a b c + 860 a c 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 4 2 6 + 4220 b c + 8924 a b c + 5028 a b c + 2792 a b c + 5028 a b c 5 6 6 6 7 5 6 5 2 5 5 + 8924 a b c + 4220 a c + 860 b c + 8924 a b c + 15812 a b c 3 4 5 4 3 5 5 2 5 6 5 7 5 + 13124 a b c + 13124 a b c + 15812 a b c + 8924 a b c + 860 a c 8 4 7 4 2 6 4 3 5 4 4 4 4 - 2735 b c - 4516 a b c + 5028 a b c + 13124 a b c + 12630 a b c 5 3 4 6 2 4 7 4 8 4 9 3 + 13124 a b c + 5028 a b c - 4516 a b c - 2735 a c - 1290 b c 8 3 2 7 3 3 6 3 4 5 3 - 6666 a b c - 7960 a b c + 2792 a b c + 13124 a b c 5 4 3 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 + 13124 a b c + 2792 a b c - 7960 a b c - 6666 a b c - 1290 a c 10 2 9 2 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 578 b c + 54 a b c - 5606 a b c - 7960 a b c + 5028 a b c 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 9 2 + 15812 a b c + 5028 a b c - 7960 a b c - 5606 a b c + 54 a b c 10 2 11 10 2 9 3 8 + 578 a c + 430 b c + 1774 a b c + 54 a b c - 6666 a b c 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 - 4516 a b c + 8924 a b c + 8924 a b c - 4516 a b c - 6666 a b c 9 2 10 11 12 11 2 10 + 54 a b c + 1774 a b c + 430 a c + 47 b + 430 a b + 578 a b 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 - 1290 a b - 2735 a b + 860 a b + 4220 a b + 860 a b - 2735 a b 9 3 10 2 11 12 - 1290 a b + 578 a b + 430 a b + 47 a >= 12 11 11 2 10 10 2 10 121 c + 484 b c + 484 a c + 242 b c + 1936 a b c + 242 a c 3 9 3 9 4 8 3 8 2 2 8 - 1452 b c - 1452 a c - 2057 b c - 7260 a b c - 4598 a b c 3 8 4 8 5 7 4 7 2 3 7 - 7260 a b c - 2057 a c + 968 b c - 4840 a b c - 7744 a b c 3 2 7 4 7 5 7 6 6 5 6 - 7744 a b c - 4840 a b c + 968 a c + 3388 b c + 9680 a b c 2 4 6 3 3 6 4 2 6 5 6 6 6 + 4356 a b c + 3872 a b c + 4356 a b c + 9680 a b c + 3388 a c 7 5 6 5 2 5 5 3 4 5 4 3 5 + 968 b c + 9680 a b c + 15488 a b c + 12584 a b c + 12584 a b c 5 2 5 6 5 7 5 8 4 7 4 + 15488 a b c + 9680 a b c + 968 a c - 2057 b c - 4840 a b c 2 6 4 3 5 4 4 4 4 5 3 4 + 4356 a b c + 12584 a b c + 14346 a b c + 12584 a b c 6 2 4 7 4 8 4 9 3 8 3 + 4356 a b c - 4840 a b c - 2057 a c - 1452 b c - 7260 a b c 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 - 7744 a b c + 3872 a b c + 12584 a b c + 12584 a b c 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 10 2 + 3872 a b c - 7744 a b c - 7260 a b c - 1452 a c + 242 b c 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 - 4598 a b c - 7744 a b c + 4356 a b c + 15488 a b c 6 4 2 7 3 2 8 2 2 10 2 11 + 4356 a b c - 7744 a b c - 4598 a b c + 242 a c + 484 b c 10 3 8 4 7 5 6 6 5 + 1936 a b c - 7260 a b c - 4840 a b c + 9680 a b c + 9680 a b c 7 4 8 3 10 11 12 11 - 4840 a b c - 7260 a b c + 1936 a b c + 484 a c + 121 b + 484 a b 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 + 242 a b - 1452 a b - 2057 a b + 968 a b + 3388 a b + 968 a b 8 4 9 3 10 2 11 12 - 2057 a b - 1452 a b + 242 a b + 484 a b + 121 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 10 2 10 3 9 2 9 2 9 3 9 336 b c + 336 a c + 162 b c + 54 a b c + 54 a b c + 162 a c 3 8 3 8 4 7 4 7 6 6 + 594 a b c + 594 a b c + 324 a b c + 324 a b c + 832 b c 2 4 6 4 2 6 6 6 2 5 5 3 4 5 + 672 a b c + 672 a b c + 832 a c + 324 a b c + 540 a b c 4 3 5 5 2 5 7 4 2 6 4 3 5 4 + 540 a b c + 324 a b c + 324 a b c + 672 a b c + 540 a b c 5 3 4 6 2 4 7 4 9 3 8 3 + 540 a b c + 672 a b c + 324 a b c + 162 b c + 594 a b c 4 5 3 5 4 3 8 3 9 3 10 2 + 540 a b c + 540 a b c + 594 a b c + 162 a c + 336 b c 9 2 4 6 2 5 5 2 6 4 2 9 2 + 54 a b c + 672 a b c + 324 a b c + 672 a b c + 54 a b c 10 2 2 9 3 8 4 7 7 4 + 336 a c + 54 a b c + 594 a b c + 324 a b c + 324 a b c 8 3 9 2 2 10 3 9 6 6 9 3 + 594 a b c + 54 a b c + 336 a b + 162 a b + 832 a b + 162 a b 10 2 12 11 11 10 4 8 + 336 a b >= 74 c + 54 b c + 54 a c + 162 a b c + 678 b c 2 2 8 4 8 5 7 2 3 7 3 2 7 + 1008 a b c + 678 a c + 108 b c + 216 a b c + 216 a b c 5 7 5 6 3 3 6 5 6 7 5 + 108 a c + 756 a b c + 1080 a b c + 756 a b c + 108 b c 6 5 6 5 7 5 8 4 4 4 4 + 756 a b c + 756 a b c + 108 a c + 678 b c + 1716 a b c 8 4 2 7 3 3 6 3 6 3 3 7 2 3 + 678 a c + 216 a b c + 1080 a b c + 1080 a b c + 216 a b c 2 8 2 3 7 2 7 3 2 8 2 2 11 + 1008 a b c + 216 a b c + 216 a b c + 1008 a b c + 54 b c 10 5 6 6 5 10 11 12 + 162 a b c + 756 a b c + 756 a b c + 162 a b c + 54 a c + 74 b 11 4 8 5 7 7 5 8 4 11 12 + 54 a b + 678 a b + 108 a b + 108 a b + 678 a b + 54 a b + 74 a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 12 11 2 2 10 (914 z + (6456 y + 6456 x) z + (23697 y + 39210 x y + 23697 x ) z 3 2 2 3 9 + (57361 y + 126303 x y + 126303 x y + 57361 x ) z 4 3 2 2 3 4 8 + (101817 y + 276123 x y + 355518 x y + 276123 x y + 101817 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 + (139734 y + 455466 x y + 680016 x y + 680016 x y + 455466 x y 5 7 6 5 2 4 3 3 + 139734 x ) z + (154836 y + 585354 x y + 990942 x y + 1157392 x y 4 2 5 6 6 + 990942 x y + 585354 x y + 154836 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 + (139734 y + 585354 x y + 1123380 x y + 1520556 x y + 1520556 x y 5 2 6 7 5 + 1123380 x y + 585354 x y + 139734 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 + (101817 y + 455466 x y + 990942 x y + 1520556 x y + 1782180 x y 5 3 6 2 7 8 4 + 1520556 x y + 990942 x y + 455466 x y + 101817 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 + (57361 y + 276123 x y + 680016 x y + 1157392 x y + 1520556 x y 5 4 6 3 7 2 8 9 3 + 1520556 x y + 1157392 x y + 680016 x y + 276123 x y + 57361 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 + (23697 y + 126303 x y + 355518 x y + 680016 x y + 990942 x y 5 5 6 4 7 3 8 2 9 + 1123380 x y + 990942 x y + 680016 x y + 355518 x y + 126303 x y 10 2 11 10 2 9 3 8 + 23697 x ) z + (6456 y + 39210 x y + 126303 x y + 276123 x y 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 + 455466 x y + 585354 x y + 585354 x y + 455466 x y + 276123 x y 9 2 10 11 12 11 + 126303 x y + 39210 x y + 6456 x ) z + 914 y + 6456 x y 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 + 23697 x y + 57361 x y + 101817 x y + 139734 x y + 154836 x y 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 139734 x y + 101817 x y + 57361 x y + 23697 x y + 6456 x y 12 12 11 + 914 x )/2048 >= (914 z + (6456 y + 6456 x) z 2 2 10 + (23697 y + 39210 x y + 23697 x ) z 3 2 2 3 9 + (57361 y + 126303 x y + 126303 x y + 57361 x ) z 4 3 2 2 3 4 8 + (103545 y + 269211 x y + 365886 x y + 269211 x y + 103545 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 + (146646 y + 420906 x y + 707664 x y + 707664 x y + 420906 x y 5 7 6 5 2 4 3 3 + 146646 x ) z + (165204 y + 516234 x y + 1008222 x y + 1227024 x y 4 2 5 6 6 + 1008222 x y + 516234 x y + 165204 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 + (146646 y + 516234 x y + 1123380 x y + 1542828 x y + 1542828 x y 5 2 6 7 5 + 1123380 x y + 516234 x y + 146646 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 + (103545 y + 420906 x y + 1008222 x y + 1542828 x y + 1719588 x y 5 3 6 2 7 8 4 + 1542828 x y + 1008222 x y + 420906 x y + 103545 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 + (57361 y + 269211 x y + 707664 x y + 1227024 x y + 1542828 x y 5 4 6 3 7 2 8 9 3 + 1542828 x y + 1227024 x y + 707664 x y + 269211 x y + 57361 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 + (23697 y + 126303 x y + 365886 x y + 707664 x y + 1008222 x y 5 5 6 4 7 3 8 2 9 + 1123380 x y + 1008222 x y + 707664 x y + 365886 x y + 126303 x y 10 2 11 10 2 9 3 8 + 23697 x ) z + (6456 y + 39210 x y + 126303 x y + 269211 x y 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 + 420906 x y + 516234 x y + 516234 x y + 420906 x y + 269211 x y 9 2 10 11 12 11 + 126303 x y + 39210 x y + 6456 x ) z + 914 y + 6456 x y 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 + 23697 x y + 57361 x y + 103545 x y + 146646 x y + 165204 x y 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 146646 x y + 103545 x y + 57361 x y + 23697 x y + 6456 x y 12 + 914 x )/2048 Multiplying both sides by 2048 gives: 12 11 11 2 10 10 2 10 914 z + 6456 y z + 6456 x z + 23697 y z + 39210 x y z + 23697 x z 3 9 2 9 2 9 3 9 4 8 + 57361 y z + 126303 x y z + 126303 x y z + 57361 x z + 101817 y z 3 8 2 2 8 3 8 4 8 + 276123 x y z + 355518 x y z + 276123 x y z + 101817 x z 5 7 4 7 2 3 7 3 2 7 + 139734 y z + 455466 x y z + 680016 x y z + 680016 x y z 4 7 5 7 6 6 5 6 + 455466 x y z + 139734 x z + 154836 y z + 585354 x y z 2 4 6 3 3 6 4 2 6 5 6 + 990942 x y z + 1157392 x y z + 990942 x y z + 585354 x y z 6 6 7 5 6 5 2 5 5 + 154836 x z + 139734 y z + 585354 x y z + 1123380 x y z 3 4 5 4 3 5 5 2 5 6 5 + 1520556 x y z + 1520556 x y z + 1123380 x y z + 585354 x y z 7 5 8 4 7 4 2 6 4 + 139734 x z + 101817 y z + 455466 x y z + 990942 x y z 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 4 + 1520556 x y z + 1782180 x y z + 1520556 x y z + 990942 x y z 7 4 8 4 9 3 8 3 + 455466 x y z + 101817 x z + 57361 y z + 276123 x y z 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 + 680016 x y z + 1157392 x y z + 1520556 x y z + 1520556 x y z 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 + 1157392 x y z + 680016 x y z + 276123 x y z + 57361 x z 10 2 9 2 2 8 2 3 7 2 + 23697 y z + 126303 x y z + 355518 x y z + 680016 x y z 4 6 2 5 5 2 6 4 2 7 3 2 + 990942 x y z + 1123380 x y z + 990942 x y z + 680016 x y z 8 2 2 9 2 10 2 11 10 + 355518 x y z + 126303 x y z + 23697 x z + 6456 y z + 39210 x y z 2 9 3 8 4 7 5 6 + 126303 x y z + 276123 x y z + 455466 x y z + 585354 x y z 6 5 7 4 8 3 9 2 + 585354 x y z + 455466 x y z + 276123 x y z + 126303 x y z 10 11 12 11 2 10 + 39210 x y z + 6456 x z + 914 y + 6456 x y + 23697 x y 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 + 57361 x y + 101817 x y + 139734 x y + 154836 x y + 139734 x y 8 4 9 3 10 2 11 12 + 101817 x y + 57361 x y + 23697 x y + 6456 x y + 914 x >= 12 11 11 2 10 10 2 10 914 z + 6456 y z + 6456 x z + 23697 y z + 39210 x y z + 23697 x z 3 9 2 9 2 9 3 9 4 8 + 57361 y z + 126303 x y z + 126303 x y z + 57361 x z + 103545 y z 3 8 2 2 8 3 8 4 8 + 269211 x y z + 365886 x y z + 269211 x y z + 103545 x z 5 7 4 7 2 3 7 3 2 7 + 146646 y z + 420906 x y z + 707664 x y z + 707664 x y z 4 7 5 7 6 6 5 6 + 420906 x y z + 146646 x z + 165204 y z + 516234 x y z 2 4 6 3 3 6 4 2 6 5 6 + 1008222 x y z + 1227024 x y z + 1008222 x y z + 516234 x y z 6 6 7 5 6 5 2 5 5 + 165204 x z + 146646 y z + 516234 x y z + 1123380 x y z 3 4 5 4 3 5 5 2 5 6 5 + 1542828 x y z + 1542828 x y z + 1123380 x y z + 516234 x y z 7 5 8 4 7 4 2 6 4 + 146646 x z + 103545 y z + 420906 x y z + 1008222 x y z 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 4 + 1542828 x y z + 1719588 x y z + 1542828 x y z + 1008222 x y z 7 4 8 4 9 3 8 3 + 420906 x y z + 103545 x z + 57361 y z + 269211 x y z 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 + 707664 x y z + 1227024 x y z + 1542828 x y z + 1542828 x y z 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 + 1227024 x y z + 707664 x y z + 269211 x y z + 57361 x z 10 2 9 2 2 8 2 3 7 2 + 23697 y z + 126303 x y z + 365886 x y z + 707664 x y z 4 6 2 5 5 2 6 4 2 7 3 2 + 1008222 x y z + 1123380 x y z + 1008222 x y z + 707664 x y z 8 2 2 9 2 10 2 11 10 + 365886 x y z + 126303 x y z + 23697 x z + 6456 y z + 39210 x y z 2 9 3 8 4 7 5 6 + 126303 x y z + 269211 x y z + 420906 x y z + 516234 x y z 6 5 7 4 8 3 9 2 + 516234 x y z + 420906 x y z + 269211 x y z + 126303 x y z 10 11 12 11 2 10 + 39210 x y z + 6456 x z + 914 y + 6456 x y + 23697 x y 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 + 57361 x y + 103545 x y + 146646 x y + 165204 x y + 146646 x y 8 4 9 3 10 2 11 12 + 103545 x y + 57361 x y + 23697 x y + 6456 x y + 914 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 8 3 8 4 7 4 7 5 6 6912 x y z + 6912 x y z + 34560 x y z + 34560 x y z + 69120 x y z 5 6 6 5 6 5 7 4 + 69120 x y z + 69120 x y z + 69120 x y z + 34560 x y z 4 4 4 7 4 8 3 8 3 3 8 + 62592 x y z + 34560 x y z + 6912 x y z + 6912 x y z + 6912 x y z 4 7 5 6 6 5 7 4 + 34560 x y z + 69120 x y z + 69120 x y z + 34560 x y z 8 3 4 8 2 2 8 4 8 5 7 + 6912 x y z >= 1728 y z + 10368 x y z + 1728 x z + 6912 y z 2 3 7 3 2 7 5 7 6 6 2 4 6 + 27648 x y z + 27648 x y z + 6912 x z + 10368 y z + 17280 x y z 3 3 6 4 2 6 6 6 7 5 3 4 5 + 69632 x y z + 17280 x y z + 10368 x z + 6912 y z + 22272 x y z 4 3 5 7 5 8 4 2 6 4 3 5 4 + 22272 x y z + 6912 x z + 1728 y z + 17280 x y z + 22272 x y z 5 3 4 6 2 4 8 4 2 7 3 + 22272 x y z + 17280 x y z + 1728 x z + 27648 x y z 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 69632 x y z + 22272 x y z + 22272 x y z + 69632 x y z 7 2 3 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 27648 x y z + 10368 x y z + 27648 x y z + 17280 x y z 6 4 2 7 3 2 8 2 2 4 8 5 7 + 17280 x y z + 27648 x y z + 10368 x y z + 1728 x y + 6912 x y 6 6 7 5 8 4 + 10368 x y + 6912 x y + 1728 x y Dividing both sides by 64 gives: 3 8 3 8 4 7 4 7 5 6 108 x y z + 108 x y z + 540 x y z + 540 x y z + 1080 x y z 5 6 6 5 6 5 7 4 4 4 4 + 1080 x y z + 1080 x y z + 1080 x y z + 540 x y z + 978 x y z 7 4 8 3 8 3 3 8 4 7 + 540 x y z + 108 x y z + 108 x y z + 108 x y z + 540 x y z 5 6 6 5 7 4 8 3 + 1080 x y z + 1080 x y z + 540 x y z + 108 x y z >= 4 8 2 2 8 4 8 5 7 2 3 7 3 2 7 27 y z + 162 x y z + 27 x z + 108 y z + 432 x y z + 432 x y z 5 7 6 6 2 4 6 3 3 6 4 2 6 + 108 x z + 162 y z + 270 x y z + 1088 x y z + 270 x y z 6 6 7 5 3 4 5 4 3 5 7 5 8 4 + 162 x z + 108 y z + 348 x y z + 348 x y z + 108 x z + 27 y z 2 6 4 3 5 4 5 3 4 6 2 4 8 4 + 270 x y z + 348 x y z + 348 x y z + 270 x y z + 27 x z 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 432 x y z + 1088 x y z + 348 x y z + 348 x y z + 1088 x y z 7 2 3 2 8 2 3 7 2 4 6 2 6 4 2 + 432 x y z + 162 x y z + 432 x y z + 270 x y z + 270 x y z 7 3 2 8 2 2 4 8 5 7 6 6 7 5 + 432 x y z + 162 x y z + 27 x y + 108 x y + 162 x y + 108 x y 8 4 + 27 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 108 {8, 3, 1} + 540 {7, 4, 1} + 1080 {6, 5, 1} + 163 {4, 4, 4} >= 27 {8, 4, 0} + 81 {8, 2, 2} + 108 {7, 5, 0} + 432 {7, 3, 2} + 81 {6, 6, 0} + 270 {6, 4, 2} + 544 {6, 3, 3} + 348 {5, 4, 3} This follows from the following majorizations: 81 {8, 3, 1} >= 81 {8, 2, 2} left side: [163 {4, 4, 4}, 1080 {6, 5, 1}, 540 {7, 4, 1}, 108 {8, 3, 1}] right side: [348 {5, 4, 3}, 544 {6, 3, 3}, 270 {6, 4, 2}, 81 {6, 6, 0}, 432 {7, 3, 2}, 108 {7, 5, 0}, 81 {8, 2, 2}, 27 {8, 4, 0}] Time= 349616 msec. (d7) notsure (c8) /* 7.4 */ trineq(8*R*r+(11/(3*sqrt(3)))*K<=s^2); 2 11 K To prove: s >= 8 R r + --------- 3 sqrt(3) Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 11 K s + 6 sqrt(3) a b c s >= ------------------------ 3 sqrt(3) s Multiplying both sides by 3 sqrt(3) s gives: 3 3 sqrt(3) s >= 11 K s + 6 sqrt(3) a b c Bringing all terms involving K to the right side yields: 3 3 sqrt(3) s - 6 sqrt(3) a b c >= 11 K s Since 11 s is positive, and since 3 3 sqrt(3) s - 6 sqrt(3) a b c is positive, we can square both sides to get: 6 3 2 2 2 27 s - 108 a b c s + 108 a b c >= 6 5 4 121 s + (- 121 c - 121 b - 121 a) s + ((121 b + 121 a) c + 121 a b) s 3 - 121 a b c s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 5 5 5 3 2 2 2 121 c s + 121 b s + 121 a s + 13 a b c s + 108 a b c >= 6 4 4 4 94 s + 121 b c s + 121 a c s + 121 a b s Let s = (c+b+a)/2 . We get: 6 5 2 2 4 (121 c + (726 b + 726 a) c + (1815 b + 3682 a b + 1815 a ) c 3 2 2 3 3 + (2420 b + 7416 a b + 7416 a b + 2420 a ) c 4 3 2 2 3 4 2 + (1815 b + 7416 a b + 14658 a b + 7416 a b + 1815 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 + (726 b + 3682 a b + 7416 a b + 7416 a b + 3682 a b + 726 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + 121 b + 726 a b + 1815 a b + 2420 a b + 1815 a b + 726 a b 6 6 5 + 121 a )/32 >= (47 c + (524 b + 524 a) c 2 2 4 3 2 2 + (1673 b + 3588 a b + 1673 a ) c + (2392 b + 8144 a b + 8144 a b 3 3 4 3 2 2 3 4 2 + 2392 a ) c + (1673 b + 8144 a b + 12942 a b + 8144 a b + 1673 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 + (524 b + 3588 a b + 8144 a b + 8144 a b + 3588 a b + 524 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + 47 b + 524 a b + 1673 a b + 2392 a b + 1673 a b + 524 a b + 47 a ) /32 Multiplying both sides by 32 gives: 6 5 5 2 4 4 2 4 121 c + 726 b c + 726 a c + 1815 b c + 3682 a b c + 1815 a c 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 + 2420 b c + 7416 a b c + 7416 a b c + 2420 a c + 1815 b c 3 2 2 2 2 3 2 4 2 5 + 7416 a b c + 14658 a b c + 7416 a b c + 1815 a c + 726 b c 4 2 3 3 2 4 5 6 + 3682 a b c + 7416 a b c + 7416 a b c + 3682 a b c + 726 a c + 121 b 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + 726 a b + 1815 a b + 2420 a b + 1815 a b + 726 a b + 121 a >= 6 5 5 2 4 4 2 4 47 c + 524 b c + 524 a c + 1673 b c + 3588 a b c + 1673 a c 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 + 2392 b c + 8144 a b c + 8144 a b c + 2392 a c + 1673 b c 3 2 2 2 2 3 2 4 2 5 + 8144 a b c + 12942 a b c + 8144 a b c + 1673 a c + 524 b c 4 2 3 3 2 4 5 6 + 3588 a b c + 8144 a b c + 8144 a b c + 3588 a b c + 524 a c + 47 b 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + 524 a b + 1673 a b + 2392 a b + 1673 a b + 524 a b + 47 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 6 5 5 2 4 4 2 4 3 3 74 c + 202 b c + 202 a c + 142 b c + 94 a b c + 142 a c + 28 b c 3 3 4 2 2 2 2 4 2 5 4 + 28 a c + 142 b c + 1716 a b c + 142 a c + 202 b c + 94 a b c 4 5 6 5 2 4 3 3 4 2 + 94 a b c + 202 a c + 74 b + 202 a b + 142 a b + 28 a b + 142 a b 5 6 2 3 2 3 3 2 3 2 + 202 a b + 74 a >= 728 a b c + 728 a b c + 728 a b c + 728 a b c 2 3 3 2 + 728 a b c + 728 a b c Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 6 5 2 2 4 (108 z + (398 y + 398 x) z + (961 y + 1438 x y + 961 x ) z 3 2 2 3 3 + (1342 y + 2506 x y + 2506 x y + 1342 x ) z 4 3 2 2 3 4 2 + (961 y + 2506 x y + 3090 x y + 2506 x y + 961 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 + (398 y + 1438 x y + 2506 x y + 2506 x y + 1438 x y + 398 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + 108 y + 398 x y + 961 x y + 1342 x y + 961 x y + 398 x y + 108 x ) 5 2 2 4 /8 >= ((182 y + 182 x) z + (637 y + 1274 x y + 637 x ) z 3 2 2 3 3 + (910 y + 3094 x y + 3094 x y + 910 x ) z 4 3 2 2 3 4 2 + (637 y + 3094 x y + 4914 x y + 3094 x y + 637 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 + (182 y + 1274 x y + 3094 x y + 3094 x y + 1274 x y + 182 x ) z 5 2 4 3 3 4 2 5 + 182 x y + 637 x y + 910 x y + 637 x y + 182 x y)/8 Multiplying both sides by 8 gives: 6 5 5 2 4 4 2 4 3 3 108 z + 398 y z + 398 x z + 961 y z + 1438 x y z + 961 x z + 1342 y z 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 + 2506 x y z + 2506 x y z + 1342 x z + 961 y z + 2506 x y z 2 2 2 3 2 4 2 5 4 + 3090 x y z + 2506 x y z + 961 x z + 398 y z + 1438 x y z 2 3 3 2 4 5 6 5 + 2506 x y z + 2506 x y z + 1438 x y z + 398 x z + 108 y + 398 x y 2 4 3 3 4 2 5 6 + 961 x y + 1342 x y + 961 x y + 398 x y + 108 x >= 5 5 2 4 4 2 4 3 3 182 y z + 182 x z + 637 y z + 1274 x y z + 637 x z + 910 y z 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 + 3094 x y z + 3094 x y z + 910 x z + 637 y z + 3094 x y z 2 2 2 3 2 4 2 5 4 + 4914 x y z + 3094 x y z + 637 x z + 182 y z + 1274 x y z 2 3 3 2 4 5 5 2 4 + 3094 x y z + 3094 x y z + 1274 x y z + 182 x z + 182 x y + 637 x y 3 3 4 2 5 + 910 x y + 637 x y + 182 x y Expanding and collecting terms of the same sign gives: 6 5 5 2 4 4 2 4 3 3 108 z + 216 y z + 216 x z + 324 y z + 164 x y z + 324 x z + 432 y z 3 3 4 2 4 2 5 4 4 + 432 x z + 324 y z + 324 x z + 216 y z + 164 x y z + 164 x y z 5 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + 216 x z + 108 y + 216 x y + 324 x y + 432 x y + 324 x y + 216 x y 6 2 3 2 3 3 2 2 2 2 + 108 x >= 588 x y z + 588 x y z + 588 x y z + 1824 x y z 3 2 2 3 3 2 + 588 x y z + 588 x y z + 588 x y z Dividing both sides by 4 gives: 6 5 5 2 4 4 2 4 3 3 27 z + 54 y z + 54 x z + 81 y z + 41 x y z + 81 x z + 108 y z 3 3 4 2 4 2 5 4 4 5 + 108 x z + 81 y z + 81 x z + 54 y z + 41 x y z + 41 x y z + 54 x z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + 27 y + 54 x y + 81 x y + 108 x y + 81 x y + 54 x y + 27 x >= 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 147 x y z + 147 x y z + 147 x y z + 456 x y z + 147 x y z 2 3 3 2 + 147 x y z + 147 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 27 {6, 0, 0} + 108 {5, 1, 0} + 162 {4, 2, 0} + 41 {4, 1, 1} + 108 {3, 3, 0} >= 294 {3, 2, 1} + 152 {2, 2, 2} This follows from the following majorizations: 27 {6, 0, 0} >= 27 {3, 2, 1} 108 {5, 1, 0} >= 108 {3, 2, 1} 159 {4, 2, 0} >= 159 {3, 2, 1} 3 {4, 2, 0} >= 3 {2, 2, 2} 41 {4, 1, 1} >= 41 {2, 2, 2} 108 {3, 3, 0} >= 108 {2, 2, 2} Time= 113766 msec. (d8) true (c9) /* 7.5 */ trineq(csum(a^2)<=8*R^2+4*K/(3*sqrt(3))); 2 4 K 2 2 2 To prove: 8 R + --------- >= c + b + a 3 sqrt(3) Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 3 3 sqrt(3) a b c + 8 K 2 2 2 ------------------------- >= c + b + a 2 6 sqrt(3) K 2 Multiplying both sides by 6 sqrt(3) K gives: 2 2 2 3 2 2 2 2 3 sqrt(3) a b c + 8 K >= 6 sqrt(3) K c + 6 sqrt(3) K b 2 2 + 6 sqrt(3) K a Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 sqrt(3) a b c + 8 F K >= 6 sqrt(3) F c + 6 sqrt(3) F b 2 2 + 6 sqrt(3) F a left side: [{2, 2, 2}, 6 {3, 2, 1}, 3 {4, 1, 1}] right side: [3 {3, 3, 0}, 3 {4, 2, 0}] Warning: cannot determine if the other side, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 3 sqrt(3) a b c + 6 sqrt(3) F c + 6 sqrt(3) F b + 6 sqrt(3) F a is positive. (Assuming it is.) Bringing all terms involving K to the left side yields: 2 2 2 2 2 2 2 2 8 F K >= - 3 sqrt(3) a b c + 6 sqrt(3) F c + 6 sqrt(3) F b 2 2 + 6 sqrt(3) F a 2 Since 8 F is positive, and since 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 3 sqrt(3) a b c + 6 sqrt(3) F c + 6 sqrt(3) F b + 6 sqrt(3) F a is positive, we can square both sides to get: 4 4 4 4 4 3 64 F s + (- 64 F c - 64 F b - 64 F a) s 4 4 4 2 4 + ((64 F b + 64 F a) c + 64 F a b) s - 64 F a b c s >= 4 4 2 2 2 4 4 2 2 4 (27 a b - 108 F a b + 108 F ) c + (- 108 F a b 4 2 4 2 4 2 2 4 4 4 2 2 + (216 F - 108 F a ) b + 216 F a ) c + 108 F b + 216 F a b 4 4 + 108 F a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 4 4 2 4 2 4 2 2 2 2 4 64 F s + 64 F b c s + 64 F a c s + 64 F a b s + 108 F a b c 2 2 4 2 2 4 2 2 + 108 F a b c + 108 F a b c >= 4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4 4 64 F c s + 64 F b s + 64 F a s + 64 F a b c s + 27 a b c + 108 F c 4 2 2 4 2 2 4 4 4 2 2 4 4 + 216 F b c + 216 F a c + 108 F b + 216 F a b + 108 F a Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 12 11 2 2 10 3 3 9 (c + (8 b + 8 a) c + (10 b + 32 a b + 10 a ) c + (- 24 b - 24 a ) c 4 3 2 2 3 4 8 + (- 49 b - 120 a b - 526 a b - 120 a b - 49 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (16 b - 80 a b - 128 a b - 128 a b - 80 a b + 16 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 6 + (76 b + 160 a b + 516 a b + 64 a b + 516 a b + 160 a b + 76 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (16 b + 160 a b + 256 a b + 208 a b + 208 a b + 256 a b + 160 a b 7 5 8 7 2 6 3 5 4 4 + 16 a ) c + (- 49 b - 80 a b + 516 a b + 208 a b + 2778 a b 5 3 6 2 7 8 4 + 208 a b + 516 a b - 80 a b - 49 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (- 24 b - 120 a b - 128 a b + 64 a b + 208 a b + 208 a b 6 3 7 2 8 9 3 + 64 a b - 128 a b - 120 a b - 24 a ) c 10 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 + (10 b - 526 a b - 128 a b + 516 a b + 256 a b + 516 a b 7 3 8 2 10 2 11 10 3 8 - 128 a b - 526 a b + 10 a ) c + (8 b + 32 a b - 120 a b 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 10 11 - 80 a b + 160 a b + 160 a b - 80 a b - 120 a b + 32 a b + 8 a ) 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 c + b + 8 a b + 10 a b - 24 a b - 49 a b + 16 a b + 76 a b 7 5 8 4 9 3 10 2 11 12 + 16 a b - 49 a b - 24 a b + 10 a b + 8 a b + a )/64 >= 12 11 2 2 10 (29 c + (8 b + 8 a) c + (- 50 b + 32 a b - 50 a ) c 3 3 9 4 3 2 2 3 4 + (- 24 b - 24 a ) c + (- 61 b - 120 a b - 346 a b - 120 a b - 61 a ) 8 5 4 2 3 3 2 4 5 7 c + (16 b - 80 a b - 128 a b - 128 a b - 80 a b + 16 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + (164 b + 160 a b + 396 a b + 64 a b + 396 a b + 160 a b + 164 a ) 6 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 c + (16 b + 160 a b + 256 a b + 208 a b + 208 a b + 256 a b 6 7 5 8 7 2 6 3 5 + 160 a b + 16 a ) c + (- 61 b - 80 a b + 396 a b + 208 a b 4 4 5 3 6 2 7 8 4 + 3042 a b + 208 a b + 396 a b - 80 a b - 61 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (- 24 b - 120 a b - 128 a b + 64 a b + 208 a b + 208 a b 6 3 7 2 8 9 3 + 64 a b - 128 a b - 120 a b - 24 a ) c 10 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 + (- 50 b - 346 a b - 128 a b + 396 a b + 256 a b + 396 a b 7 3 8 2 10 2 11 10 3 8 - 128 a b - 346 a b - 50 a ) c + (8 b + 32 a b - 120 a b 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 10 11 - 80 a b + 160 a b + 160 a b - 80 a b - 120 a b + 32 a b + 8 a ) 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 c + 29 b + 8 a b - 50 a b - 24 a b - 61 a b + 16 a b + 164 a b 7 5 8 4 9 3 10 2 11 12 + 16 a b - 61 a b - 24 a b - 50 a b + 8 a b + 29 a )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 12 11 11 2 10 10 2 10 3 9 c + 8 b c + 8 a c + 10 b c + 32 a b c + 10 a c - 24 b c 3 9 4 8 3 8 2 2 8 3 8 4 8 - 24 a c - 49 b c - 120 a b c - 526 a b c - 120 a b c - 49 a c 5 7 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 16 b c - 80 a b c - 128 a b c - 128 a b c - 80 a b c + 16 a c 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 4 2 6 + 76 b c + 160 a b c + 516 a b c + 64 a b c + 516 a b c 5 6 6 6 7 5 6 5 2 5 5 + 160 a b c + 76 a c + 16 b c + 160 a b c + 256 a b c 3 4 5 4 3 5 5 2 5 6 5 7 5 + 208 a b c + 208 a b c + 256 a b c + 160 a b c + 16 a c 8 4 7 4 2 6 4 3 5 4 4 4 4 - 49 b c - 80 a b c + 516 a b c + 208 a b c + 2778 a b c 5 3 4 6 2 4 7 4 8 4 9 3 8 3 + 208 a b c + 516 a b c - 80 a b c - 49 a c - 24 b c - 120 a b c 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 - 128 a b c + 64 a b c + 208 a b c + 208 a b c + 64 a b c 7 2 3 8 3 9 3 10 2 2 8 2 - 128 a b c - 120 a b c - 24 a c + 10 b c - 526 a b c 3 7 2 4 6 2 5 5 2 6 4 2 7 3 2 - 128 a b c + 516 a b c + 256 a b c + 516 a b c - 128 a b c 8 2 2 10 2 11 10 3 8 4 7 - 526 a b c + 10 a c + 8 b c + 32 a b c - 120 a b c - 80 a b c 5 6 6 5 7 4 8 3 10 11 + 160 a b c + 160 a b c - 80 a b c - 120 a b c + 32 a b c + 8 a c 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 + b + 8 a b + 10 a b - 24 a b - 49 a b + 16 a b + 76 a b 7 5 8 4 9 3 10 2 11 12 + 16 a b - 49 a b - 24 a b + 10 a b + 8 a b + a >= 12 11 11 2 10 10 2 10 3 9 29 c + 8 b c + 8 a c - 50 b c + 32 a b c - 50 a c - 24 b c 3 9 4 8 3 8 2 2 8 3 8 4 8 - 24 a c - 61 b c - 120 a b c - 346 a b c - 120 a b c - 61 a c 5 7 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 16 b c - 80 a b c - 128 a b c - 128 a b c - 80 a b c + 16 a c 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 4 2 6 + 164 b c + 160 a b c + 396 a b c + 64 a b c + 396 a b c 5 6 6 6 7 5 6 5 2 5 5 + 160 a b c + 164 a c + 16 b c + 160 a b c + 256 a b c 3 4 5 4 3 5 5 2 5 6 5 7 5 + 208 a b c + 208 a b c + 256 a b c + 160 a b c + 16 a c 8 4 7 4 2 6 4 3 5 4 4 4 4 - 61 b c - 80 a b c + 396 a b c + 208 a b c + 3042 a b c 5 3 4 6 2 4 7 4 8 4 9 3 8 3 + 208 a b c + 396 a b c - 80 a b c - 61 a c - 24 b c - 120 a b c 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 - 128 a b c + 64 a b c + 208 a b c + 208 a b c + 64 a b c 7 2 3 8 3 9 3 10 2 2 8 2 - 128 a b c - 120 a b c - 24 a c - 50 b c - 346 a b c 3 7 2 4 6 2 5 5 2 6 4 2 7 3 2 - 128 a b c + 396 a b c + 256 a b c + 396 a b c - 128 a b c 8 2 2 10 2 11 10 3 8 4 7 - 346 a b c - 50 a c + 8 b c + 32 a b c - 120 a b c - 80 a b c 5 6 6 5 7 4 8 3 10 11 + 160 a b c + 160 a b c - 80 a b c - 120 a b c + 32 a b c + 8 a c 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 + 29 b + 8 a b - 50 a b - 24 a b - 61 a b + 16 a b + 164 a b 7 5 8 4 9 3 10 2 11 12 + 16 a b - 61 a b - 24 a b - 50 a b + 8 a b + 29 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 10 2 10 4 8 4 8 2 4 6 4 2 6 60 b c + 60 a c + 12 b c + 12 a c + 120 a b c + 120 a b c 8 4 2 6 4 6 2 4 8 4 10 2 4 6 2 + 12 b c + 120 a b c + 120 a b c + 12 a c + 60 b c + 120 a b c 6 4 2 10 2 2 10 4 8 8 4 10 2 + 120 a b c + 60 a c + 60 a b + 12 a b + 12 a b + 60 a b >= 12 2 2 8 6 6 6 6 4 4 4 2 8 2 28 c + 180 a b c + 88 b c + 88 a c + 264 a b c + 180 a b c 8 2 2 12 6 6 12 + 180 a b c + 28 b + 88 a b + 28 a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 12 11 2 2 10 (18 z + (108 y + 108 x) z + (441 y + 486 x y + 441 x ) z 3 2 2 3 9 + (1215 y + 1665 x y + 1665 x y + 1215 x ) z 4 3 2 2 3 4 8 + (2367 y + 4341 x y + 4122 x y + 4341 x y + 2367 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (3366 y + 8202 x y + 8472 x y + 8472 x y + 8202 x y + 3366 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (3744 y + 10974 x y + 13746 x y + 14208 x y + 13746 x y + 10974 x y 6 6 7 6 2 5 3 4 + 3744 x ) z + (3366 y + 10974 x y + 15948 x y + 20064 x y 4 3 5 2 6 7 5 + 20064 x y + 15948 x y + 10974 x y + 3366 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (2367 y + 8202 x y + 13746 x y + 20064 x y + 24480 x y + 20064 x y 6 2 7 8 4 + 13746 x y + 8202 x y + 2367 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (1215 y + 4341 x y + 8472 x y + 14208 x y + 20064 x y + 20064 x y 6 3 7 2 8 9 3 + 14208 x y + 8472 x y + 4341 x y + 1215 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (441 y + 1665 x y + 4122 x y + 8472 x y + 13746 x y + 15948 x y 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 13746 x y + 8472 x y + 4122 x y + 1665 x y + 441 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (108 y + 486 x y + 1665 x y + 4341 x y + 8202 x y + 10974 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 10974 x y + 8202 x y + 4341 x y + 1665 x y + 486 x y + 108 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 18 y + 108 x y + 441 x y + 1215 x y + 2367 x y + 3366 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 3744 x y + 3366 x y + 2367 x y + 1215 x y + 441 x y + 108 x y 12 12 11 + 18 x )/512 >= (18 z + (108 y + 108 x) z 2 2 10 3 2 2 + (441 y + 486 x y + 441 x ) z + (1215 y + 1665 x y + 1665 x y 3 9 4 3 2 2 3 4 8 + 1215 x ) z + (2583 y + 3477 x y + 5418 x y + 3477 x y + 2583 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (4230 y + 5610 x y + 10200 x y + 10200 x y + 5610 x y + 4230 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (5040 y + 7518 x y + 14178 x y + 17152 x y + 14178 x y + 7518 x y 6 6 7 6 2 5 3 4 4 3 + 5040 x ) z + (4230 y + 7518 x y + 15948 x y + 21120 x y + 21120 x y 5 2 6 7 5 + 15948 x y + 7518 x y + 4230 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (2583 y + 5610 x y + 14178 x y + 21120 x y + 23568 x y + 21120 x y 6 2 7 8 4 + 14178 x y + 5610 x y + 2583 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (1215 y + 3477 x y + 10200 x y + 17152 x y + 21120 x y + 21120 x y 6 3 7 2 8 9 3 + 17152 x y + 10200 x y + 3477 x y + 1215 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (441 y + 1665 x y + 5418 x y + 10200 x y + 14178 x y + 15948 x y 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 14178 x y + 10200 x y + 5418 x y + 1665 x y + 441 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (108 y + 486 x y + 1665 x y + 3477 x y + 5610 x y + 7518 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 7518 x y + 5610 x y + 3477 x y + 1665 x y + 486 x y + 108 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 18 y + 108 x y + 441 x y + 1215 x y + 2583 x y + 4230 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 5040 x y + 4230 x y + 2583 x y + 1215 x y + 441 x y + 108 x y 12 + 18 x )/512 Multiplying both sides by 512 gives: 12 11 11 2 10 10 2 10 18 z + 108 y z + 108 x z + 441 y z + 486 x y z + 441 x z 3 9 2 9 2 9 3 9 4 8 + 1215 y z + 1665 x y z + 1665 x y z + 1215 x z + 2367 y z 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 + 4341 x y z + 4122 x y z + 4341 x y z + 2367 x z + 3366 y z 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 8202 x y z + 8472 x y z + 8472 x y z + 8202 x y z + 3366 x z 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 + 3744 y z + 10974 x y z + 13746 x y z + 14208 x y z 4 2 6 5 6 6 6 7 5 6 5 + 13746 x y z + 10974 x y z + 3744 x z + 3366 y z + 10974 x y z 2 5 5 3 4 5 4 3 5 5 2 5 + 15948 x y z + 20064 x y z + 20064 x y z + 15948 x y z 6 5 7 5 8 4 7 4 2 6 4 + 10974 x y z + 3366 x z + 2367 y z + 8202 x y z + 13746 x y z 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 4 + 20064 x y z + 24480 x y z + 20064 x y z + 13746 x y z 7 4 8 4 9 3 8 3 2 7 3 + 8202 x y z + 2367 x z + 1215 y z + 4341 x y z + 8472 x y z 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 14208 x y z + 20064 x y z + 20064 x y z + 14208 x y z 7 2 3 8 3 9 3 10 2 9 2 + 8472 x y z + 4341 x y z + 1215 x z + 441 y z + 1665 x y z 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 + 4122 x y z + 8472 x y z + 13746 x y z + 15948 x y z 6 4 2 7 3 2 8 2 2 9 2 10 2 + 13746 x y z + 8472 x y z + 4122 x y z + 1665 x y z + 441 x z 11 10 2 9 3 8 4 7 + 108 y z + 486 x y z + 1665 x y z + 4341 x y z + 8202 x y z 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 + 10974 x y z + 10974 x y z + 8202 x y z + 4341 x y z + 1665 x y z 10 11 12 11 2 10 3 9 + 486 x y z + 108 x z + 18 y + 108 x y + 441 x y + 1215 x y 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 9 3 + 2367 x y + 3366 x y + 3744 x y + 3366 x y + 2367 x y + 1215 x y 10 2 11 12 12 11 11 + 441 x y + 108 x y + 18 x >= 18 z + 108 y z + 108 x z 2 10 10 2 10 3 9 2 9 + 441 y z + 486 x y z + 441 x z + 1215 y z + 1665 x y z 2 9 3 9 4 8 3 8 2 2 8 + 1665 x y z + 1215 x z + 2583 y z + 3477 x y z + 5418 x y z 3 8 4 8 5 7 4 7 2 3 7 + 3477 x y z + 2583 x z + 4230 y z + 5610 x y z + 10200 x y z 3 2 7 4 7 5 7 6 6 5 6 + 10200 x y z + 5610 x y z + 4230 x z + 5040 y z + 7518 x y z 2 4 6 3 3 6 4 2 6 5 6 6 6 + 14178 x y z + 17152 x y z + 14178 x y z + 7518 x y z + 5040 x z 7 5 6 5 2 5 5 3 4 5 4 3 5 + 4230 y z + 7518 x y z + 15948 x y z + 21120 x y z + 21120 x y z 5 2 5 6 5 7 5 8 4 7 4 + 15948 x y z + 7518 x y z + 4230 x z + 2583 y z + 5610 x y z 2 6 4 3 5 4 4 4 4 5 3 4 + 14178 x y z + 21120 x y z + 23568 x y z + 21120 x y z 6 2 4 7 4 8 4 9 3 8 3 + 14178 x y z + 5610 x y z + 2583 x z + 1215 y z + 3477 x y z 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 + 10200 x y z + 17152 x y z + 21120 x y z + 21120 x y z 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 10 2 + 17152 x y z + 10200 x y z + 3477 x y z + 1215 x z + 441 y z 9 2 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 1665 x y z + 5418 x y z + 10200 x y z + 14178 x y z 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 15948 x y z + 14178 x y z + 10200 x y z + 5418 x y z 9 2 10 2 11 10 2 9 + 1665 x y z + 441 x z + 108 y z + 486 x y z + 1665 x y z 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 + 3477 x y z + 5610 x y z + 7518 x y z + 7518 x y z + 5610 x y z 8 3 9 2 10 11 12 11 + 3477 x y z + 1665 x y z + 486 x y z + 108 x z + 18 y + 108 x y 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 + 441 x y + 1215 x y + 2583 x y + 4230 x y + 5040 x y + 4230 x y 8 4 9 3 10 2 11 12 + 2583 x y + 1215 x y + 441 x y + 108 x y + 18 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 8 3 8 4 7 4 7 5 6 864 x y z + 864 x y z + 2592 x y z + 2592 x y z + 3456 x y z 5 6 6 5 6 5 7 4 4 4 4 + 3456 x y z + 3456 x y z + 3456 x y z + 2592 x y z + 912 x y z 7 4 8 3 8 3 3 8 4 7 + 2592 x y z + 864 x y z + 864 x y z + 864 x y z + 2592 x y z 5 6 6 5 7 4 8 3 + 3456 x y z + 3456 x y z + 2592 x y z + 864 x y z >= 4 8 2 2 8 4 8 5 7 2 3 7 216 y z + 1296 x y z + 216 x z + 864 y z + 1728 x y z 3 2 7 5 7 6 6 2 4 6 3 3 6 + 1728 x y z + 864 x z + 1296 y z + 432 x y z + 2944 x y z 4 2 6 6 6 7 5 3 4 5 4 3 5 + 432 x y z + 1296 x z + 864 y z + 1056 x y z + 1056 x y z 7 5 8 4 2 6 4 3 5 4 5 3 4 + 864 x z + 216 y z + 432 x y z + 1056 x y z + 1056 x y z 6 2 4 8 4 2 7 3 3 6 3 4 5 3 + 432 x y z + 216 x z + 1728 x y z + 2944 x y z + 1056 x y z 5 4 3 6 3 3 7 2 3 2 8 2 + 1056 x y z + 2944 x y z + 1728 x y z + 1296 x y z 3 7 2 4 6 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 1728 x y z + 432 x y z + 432 x y z + 1728 x y z + 1296 x y z 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 216 x y + 864 x y + 1296 x y + 864 x y + 216 x y Dividing both sides by 8 gives: 3 8 3 8 4 7 4 7 5 6 108 x y z + 108 x y z + 324 x y z + 324 x y z + 432 x y z 5 6 6 5 6 5 7 4 4 4 4 + 432 x y z + 432 x y z + 432 x y z + 324 x y z + 114 x y z 7 4 8 3 8 3 3 8 4 7 + 324 x y z + 108 x y z + 108 x y z + 108 x y z + 324 x y z 5 6 6 5 7 4 8 3 + 432 x y z + 432 x y z + 324 x y z + 108 x y z >= 4 8 2 2 8 4 8 5 7 2 3 7 3 2 7 27 y z + 162 x y z + 27 x z + 108 y z + 216 x y z + 216 x y z 5 7 6 6 2 4 6 3 3 6 4 2 6 6 6 + 108 x z + 162 y z + 54 x y z + 368 x y z + 54 x y z + 162 x z 7 5 3 4 5 4 3 5 7 5 8 4 2 6 4 + 108 y z + 132 x y z + 132 x y z + 108 x z + 27 y z + 54 x y z 3 5 4 5 3 4 6 2 4 8 4 2 7 3 + 132 x y z + 132 x y z + 54 x y z + 27 x z + 216 x y z 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 7 2 3 + 368 x y z + 132 x y z + 132 x y z + 368 x y z + 216 x y z 2 8 2 3 7 2 4 6 2 6 4 2 7 3 2 + 162 x y z + 216 x y z + 54 x y z + 54 x y z + 216 x y z 8 2 2 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 162 x y z + 27 x y + 108 x y + 162 x y + 108 x y + 27 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 108 {8, 3, 1} + 324 {7, 4, 1} + 432 {6, 5, 1} + 19 {4, 4, 4} >= 27 {8, 4, 0} + 81 {8, 2, 2} + 108 {7, 5, 0} + 216 {7, 3, 2} + 81 {6, 6, 0} + 54 {6, 4, 2} + 184 {6, 3, 3} + 132 {5, 4, 3} This follows from the following majorizations: 81 {8, 3, 1} >= 81 {8, 2, 2} left side: [19 {4, 4, 4}, 432 {6, 5, 1}, 324 {7, 4, 1}, 108 {8, 3, 1}] right side: [132 {5, 4, 3}, 184 {6, 3, 3}, 54 {6, 4, 2}, 81 {6, 6, 0}, 216 {7, 3, 2}, 108 {7, 5, 0}, 81 {8, 2, 2}, 27 {8, 4, 0}] Time= 327533 msec. (d9) notsure (c10) /* 7.6 */ trineq(csum(a^2)^2<=64*R^4+48*K^2); 4 2 2 2 2 2 To prove: 64 R + 48 K >= (c + b + a ) Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 4 4 4 6 a b c + 192 K 4 2 2 2 4 2 2 4 ----------------- >= c + (2 b + 2 a ) c + b + 2 a b + a 4 4 K 4 Multiplying both sides by 4 K gives: 4 4 4 6 4 4 4 2 2 4 2 2 4 4 4 2 2 a b c + 192 K >= 4 K c + 8 K b c + 8 K a c + 4 K b + 8 K a b 4 4 + 4 K a Replacing K^2 by F^2 gives: 4 4 4 6 4 4 4 2 4 2 2 4 4 4 2 2 a b c + 192 F >= 4 F c + (8 F b + 8 F a ) c + 4 F b + 8 F a b 4 4 + 4 F a Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 12 2 2 10 4 2 2 4 8 - (3 c + (- 18 b - 18 a ) c + (45 b + 54 a b + 45 a ) c 6 2 4 4 2 6 6 + (- 60 b - 36 a b - 36 a b - 60 a ) c 8 2 6 4 4 6 2 8 4 + (45 b - 36 a b - 82 a b - 36 a b + 45 a ) c 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 2 12 + (- 18 b + 54 a b - 36 a b - 36 a b + 54 a b - 18 a ) c + 3 b 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 12 - 18 a b + 45 a b - 60 a b + 45 a b - 18 a b + 3 a )/64 >= 12 2 2 10 4 2 2 4 8 (c + (- 2 b - 2 a ) c + (- b - 10 a b - a ) c 6 2 4 4 2 6 6 + (4 b + 12 a b + 12 a b + 4 a ) c 8 2 6 4 4 6 2 8 4 + (- b + 12 a b + 42 a b + 12 a b - a ) c 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 2 12 + (- 2 b - 10 a b + 12 a b + 12 a b - 10 a b - 2 a ) c + b 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 12 - 2 a b - a b + 4 a b - a b - 2 a b + a )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 12 2 10 2 10 4 8 2 2 8 4 8 6 6 - 3 c + 18 b c + 18 a c - 45 b c - 54 a b c - 45 a c + 60 b c 2 4 6 4 2 6 6 6 8 4 2 6 4 4 4 4 + 36 a b c + 36 a b c + 60 a c - 45 b c + 36 a b c + 82 a b c 6 2 4 8 4 10 2 2 8 2 4 6 2 6 4 2 + 36 a b c - 45 a c + 18 b c - 54 a b c + 36 a b c + 36 a b c 8 2 2 10 2 12 2 10 4 8 6 6 8 4 - 54 a b c + 18 a c - 3 b + 18 a b - 45 a b + 60 a b - 45 a b 10 2 12 12 2 10 2 10 4 8 2 2 8 4 8 + 18 a b - 3 a >= c - 2 b c - 2 a c - b c - 10 a b c - a c 6 6 2 4 6 4 2 6 6 6 8 4 2 6 4 + 4 b c + 12 a b c + 12 a b c + 4 a c - b c + 12 a b c 4 4 4 6 2 4 8 4 10 2 2 8 2 4 6 2 + 42 a b c + 12 a b c - a c - 2 b c - 10 a b c + 12 a b c 6 4 2 8 2 2 10 2 12 2 10 4 8 6 6 + 12 a b c - 10 a b c - 2 a c + b - 2 a b - a b + 4 a b 8 4 10 2 12 - a b - 2 a b + a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 10 2 10 6 6 2 4 6 4 2 6 6 6 20 b c + 20 a c + 56 b c + 24 a b c + 24 a b c + 56 a c 2 6 4 4 4 4 6 2 4 10 2 4 6 2 + 24 a b c + 40 a b c + 24 a b c + 20 b c + 24 a b c 6 4 2 10 2 2 10 6 6 10 2 + 24 a b c + 20 a c + 20 a b + 56 a b + 20 a b >= 12 4 8 2 2 8 4 8 8 4 8 4 2 8 2 4 c + 44 b c + 44 a b c + 44 a c + 44 b c + 44 a c + 44 a b c 8 2 2 12 4 8 8 4 12 + 44 a b c + 4 b + 44 a b + 44 a b + 4 a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 12 11 2 2 10 (24 z + (144 y + 144 x) z + (462 y + 748 x y + 462 x ) z 3 2 2 3 9 + (990 y + 2090 x y + 2090 x y + 990 x ) z 4 3 2 2 3 4 8 + (1633 y + 3958 x y + 5010 x y + 3958 x y + 1633 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (2176 y + 5864 x y + 8152 x y + 8152 x y + 5864 x y + 2176 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (2406 y + 7108 x y + 10582 x y + 12880 x y + 10582 x y + 7108 x y 6 6 7 6 2 5 3 4 4 3 + 2406 x ) z + (2176 y + 7108 x y + 11448 x y + 17396 x y + 17396 x y 5 2 6 7 5 + 11448 x y + 7108 x y + 2176 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (1633 y + 5864 x y + 10582 x y + 17396 x y + 22450 x y + 17396 x y 6 2 7 8 4 + 10582 x y + 5864 x y + 1633 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (990 y + 3958 x y + 8152 x y + 12880 x y + 17396 x y + 17396 x y 6 3 7 2 8 9 3 + 12880 x y + 8152 x y + 3958 x y + 990 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (462 y + 2090 x y + 5010 x y + 8152 x y + 10582 x y + 11448 x y 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 10582 x y + 8152 x y + 5010 x y + 2090 x y + 462 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (144 y + 748 x y + 2090 x y + 3958 x y + 5864 x y + 7108 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 7108 x y + 5864 x y + 3958 x y + 2090 x y + 748 x y + 144 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 24 y + 144 x y + 462 x y + 990 x y + 1633 x y + 2176 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 2406 x y + 2176 x y + 1633 x y + 990 x y + 462 x y + 144 x y 12 12 11 + 24 x )/1024 >= (24 z + (144 y + 144 x) z 2 2 10 3 2 2 3 + (462 y + 748 x y + 462 x ) z + (990 y + 2090 x y + 2090 x y + 990 x ) 9 4 3 2 2 3 4 8 z + (1617 y + 3894 x y + 5170 x y + 3894 x y + 1617 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (2112 y + 5544 x y + 8536 x y + 8536 x y + 5544 x y + 2112 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (2310 y + 6468 x y + 10934 x y + 11088 x y + 10934 x y + 6468 x y 6 6 7 6 2 5 3 4 4 3 + 2310 x ) z + (2112 y + 6468 x y + 11704 x y + 10164 x y + 10164 x y 5 2 6 7 5 + 11704 x y + 6468 x y + 2112 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (1617 y + 5544 x y + 10934 x y + 10164 x y + 6930 x y + 10164 x y 6 2 7 8 4 + 10934 x y + 5544 x y + 1617 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (990 y + 3894 x y + 8536 x y + 11088 x y + 10164 x y + 10164 x y 6 3 7 2 8 9 3 + 11088 x y + 8536 x y + 3894 x y + 990 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (462 y + 2090 x y + 5170 x y + 8536 x y + 10934 x y + 11704 x y 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 10934 x y + 8536 x y + 5170 x y + 2090 x y + 462 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (144 y + 748 x y + 2090 x y + 3894 x y + 5544 x y + 6468 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 6468 x y + 5544 x y + 3894 x y + 2090 x y + 748 x y + 144 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 24 y + 144 x y + 462 x y + 990 x y + 1617 x y + 2112 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 2310 x y + 2112 x y + 1617 x y + 990 x y + 462 x y + 144 x y 12 + 24 x )/1024 Multiplying both sides by 1024 gives: 12 11 11 2 10 10 2 10 24 z + 144 y z + 144 x z + 462 y z + 748 x y z + 462 x z 3 9 2 9 2 9 3 9 4 8 + 990 y z + 2090 x y z + 2090 x y z + 990 x z + 1633 y z 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 + 3958 x y z + 5010 x y z + 3958 x y z + 1633 x z + 2176 y z 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 5864 x y z + 8152 x y z + 8152 x y z + 5864 x y z + 2176 x z 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 4 2 6 + 2406 y z + 7108 x y z + 10582 x y z + 12880 x y z + 10582 x y z 5 6 6 6 7 5 6 5 2 5 5 + 7108 x y z + 2406 x z + 2176 y z + 7108 x y z + 11448 x y z 3 4 5 4 3 5 5 2 5 6 5 7 5 + 17396 x y z + 17396 x y z + 11448 x y z + 7108 x y z + 2176 x z 8 4 7 4 2 6 4 3 5 4 4 4 4 + 1633 y z + 5864 x y z + 10582 x y z + 17396 x y z + 22450 x y z 5 3 4 6 2 4 7 4 8 4 9 3 + 17396 x y z + 10582 x y z + 5864 x y z + 1633 x z + 990 y z 8 3 2 7 3 3 6 3 4 5 3 + 3958 x y z + 8152 x y z + 12880 x y z + 17396 x y z 5 4 3 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 + 17396 x y z + 12880 x y z + 8152 x y z + 3958 x y z + 990 x z 10 2 9 2 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 462 y z + 2090 x y z + 5010 x y z + 8152 x y z + 10582 x y z 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 11448 x y z + 10582 x y z + 8152 x y z + 5010 x y z 9 2 10 2 11 10 2 9 + 2090 x y z + 462 x z + 144 y z + 748 x y z + 2090 x y z 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 + 3958 x y z + 5864 x y z + 7108 x y z + 7108 x y z + 5864 x y z 8 3 9 2 10 11 12 11 + 3958 x y z + 2090 x y z + 748 x y z + 144 x z + 24 y + 144 x y 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 + 462 x y + 990 x y + 1633 x y + 2176 x y + 2406 x y + 2176 x y 8 4 9 3 10 2 11 12 + 1633 x y + 990 x y + 462 x y + 144 x y + 24 x >= 12 11 11 2 10 10 2 10 24 z + 144 y z + 144 x z + 462 y z + 748 x y z + 462 x z 3 9 2 9 2 9 3 9 4 8 + 990 y z + 2090 x y z + 2090 x y z + 990 x z + 1617 y z 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 + 3894 x y z + 5170 x y z + 3894 x y z + 1617 x z + 2112 y z 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 5544 x y z + 8536 x y z + 8536 x y z + 5544 x y z + 2112 x z 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 4 2 6 + 2310 y z + 6468 x y z + 10934 x y z + 11088 x y z + 10934 x y z 5 6 6 6 7 5 6 5 2 5 5 + 6468 x y z + 2310 x z + 2112 y z + 6468 x y z + 11704 x y z 3 4 5 4 3 5 5 2 5 6 5 7 5 + 10164 x y z + 10164 x y z + 11704 x y z + 6468 x y z + 2112 x z 8 4 7 4 2 6 4 3 5 4 4 4 4 + 1617 y z + 5544 x y z + 10934 x y z + 10164 x y z + 6930 x y z 5 3 4 6 2 4 7 4 8 4 9 3 + 10164 x y z + 10934 x y z + 5544 x y z + 1617 x z + 990 y z 8 3 2 7 3 3 6 3 4 5 3 + 3894 x y z + 8536 x y z + 11088 x y z + 10164 x y z 5 4 3 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 + 10164 x y z + 11088 x y z + 8536 x y z + 3894 x y z + 990 x z 10 2 9 2 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 462 y z + 2090 x y z + 5170 x y z + 8536 x y z + 10934 x y z 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 11704 x y z + 10934 x y z + 8536 x y z + 5170 x y z 9 2 10 2 11 10 2 9 + 2090 x y z + 462 x z + 144 y z + 748 x y z + 2090 x y z 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 + 3894 x y z + 5544 x y z + 6468 x y z + 6468 x y z + 5544 x y z 8 3 9 2 10 11 12 11 + 3894 x y z + 2090 x y z + 748 x y z + 144 x z + 24 y + 144 x y 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 + 462 x y + 990 x y + 1617 x y + 2112 x y + 2310 x y + 2112 x y 8 4 9 3 10 2 11 12 + 1617 x y + 990 x y + 462 x y + 144 x y + 24 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 8 3 8 3 8 4 8 5 7 4 7 16 y z + 64 x y z + 64 x y z + 16 x z + 64 y z + 320 x y z 4 7 5 7 6 6 5 6 3 3 6 + 320 x y z + 64 x z + 96 y z + 640 x y z + 1792 x y z 5 6 6 6 7 5 6 5 3 4 5 + 640 x y z + 96 x z + 64 y z + 640 x y z + 7232 x y z 4 3 5 6 5 7 5 8 4 7 4 + 7232 x y z + 640 x y z + 64 x z + 16 y z + 320 x y z 3 5 4 4 4 4 5 3 4 7 4 8 4 + 7232 x y z + 15520 x y z + 7232 x y z + 320 x y z + 16 x z 8 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 64 x y z + 1792 x y z + 7232 x y z + 7232 x y z + 1792 x y z 8 3 3 8 4 7 5 6 6 5 + 64 x y z + 64 x y z + 320 x y z + 640 x y z + 640 x y z 7 4 8 3 4 8 5 7 6 6 7 5 + 320 x y z + 64 x y z + 16 x y + 64 x y + 96 x y + 64 x y 8 4 2 2 8 2 3 7 3 2 7 2 4 6 + 16 x y >= 160 x y z + 384 x y z + 384 x y z + 352 x y z 4 2 6 2 5 5 5 2 5 2 6 4 6 2 4 + 352 x y z + 256 x y z + 256 x y z + 352 x y z + 352 x y z 2 7 3 7 2 3 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 384 x y z + 384 x y z + 160 x y z + 384 x y z + 352 x y z 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 256 x y z + 352 x y z + 384 x y z + 160 x y z Dividing both sides by 16 gives: 4 8 3 8 3 8 4 8 5 7 4 7 4 7 y z + 4 x y z + 4 x y z + x z + 4 y z + 20 x y z + 20 x y z 5 7 6 6 5 6 3 3 6 5 6 6 6 + 4 x z + 6 y z + 40 x y z + 112 x y z + 40 x y z + 6 x z 7 5 6 5 3 4 5 4 3 5 6 5 7 5 + 4 y z + 40 x y z + 452 x y z + 452 x y z + 40 x y z + 4 x z 8 4 7 4 3 5 4 4 4 4 5 3 4 7 4 + y z + 20 x y z + 452 x y z + 970 x y z + 452 x y z + 20 x y z 8 4 8 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 + x z + 4 x y z + 112 x y z + 452 x y z + 452 x y z 6 3 3 8 3 3 8 4 7 5 6 6 5 + 112 x y z + 4 x y z + 4 x y z + 20 x y z + 40 x y z + 40 x y z 7 4 8 3 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 20 x y z + 4 x y z + x y + 4 x y + 6 x y + 4 x y + x y >= 2 2 8 2 3 7 3 2 7 2 4 6 4 2 6 10 x y z + 24 x y z + 24 x y z + 22 x y z + 22 x y z 2 5 5 5 2 5 2 6 4 6 2 4 2 7 3 + 16 x y z + 16 x y z + 22 x y z + 22 x y z + 24 x y z 7 2 3 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 + 24 x y z + 10 x y z + 24 x y z + 22 x y z + 16 x y z 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 22 x y z + 24 x y z + 10 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 3 {8, 4, 0} + 12 {8, 3, 1} + 12 {7, 5, 0} + 60 {7, 4, 1} + 9 {6, 6, 0} + 120 {6, 5, 1} + 168 {6, 3, 3} + 1356 {5, 4, 3} + 485 {4, 4, 4} >= 15 {8, 2, 2} + 72 {7, 3, 2} + 66 {6, 4, 2} + 24 {5, 5, 2} This follows from the following majorizations: 9 {6, 6, 0} + 9 {4, 4, 4} >= 18 {6, 4, 2} left side: [485 {4, 4, 4}, 1356 {5, 4, 3}, 168 {6, 3, 3}, 120 {6, 5, 1}, 9 {6, 6, 0}, 60 {7, 4, 1}, 12 {7, 5, 0}, 12 {8, 3, 1}, 3 {8, 4, 0}] right side: [24 {5, 5, 2}, 66 {6, 4, 2}, 72 {7, 3, 2}, 15 {8, 2, 2}] Time= 202983 msec. (d10) notsure (c11) /* 7.7 */ trineq(8*K*(2*R-r)<=csum(a^3)); 3 3 3 To prove: c + b + a >= 8 K (2 R - r) Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 3 8 K r + c + b + a >= 16 K R Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 3 3 3 2 (c + b + a ) s + 8 K ----------------------- >= 4 a b c s Multiplying both sides by s gives: 3 3 3 2 c s + b s + a s + 8 K >= 4 a b c s Replacing K^2 by F^2 gives: 3 3 3 2 (c + b + a ) s + 8 F >= 4 a b c s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 3 2 2 2 3 3 3 2 2 3 (b + a) c + (2 b + 2 a ) c + (b + a ) c + a b + 2 a b + a b ------------------------------------------------------------------- >= 2 2 2 2 2 a b c + (2 a b + 2 a b) c Multiplying both sides by 2 gives: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 b c + a c + 2 b c + 2 a c + b c + a c + a b + 2 a b + a b >= 2 2 2 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (2 z + (5 y + 5 x) z + (6 y + 14 x y + 6 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (5 y + 14 x y + 14 x y + 5 x ) z + 2 y + 5 x y + 6 x y + 5 x y 4 3 2 2 2 + 2 x )/8 >= ((y + x) z + (2 y + 4 x y + 2 x ) z 3 2 2 3 3 2 2 3 + (y + 4 x y + 4 x y + x ) z + x y + 2 x y + x y)/2 Multiplying both sides by 8 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 z + 5 y z + 5 x z + 6 y z + 14 x y z + 6 x z + 5 y z + 14 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 14 x y z + 5 x z + 2 y + 5 x y + 6 x y + 5 x y + 2 x >= 3 3 2 2 2 2 2 3 2 4 y z + 4 x z + 8 y z + 16 x y z + 8 x z + 4 y z + 16 x y z 2 3 3 2 2 3 + 16 x y z + 4 x z + 4 x y + 8 x y + 4 x y Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 3 3 3 4 3 3 4 2 z + y z + x z + y z + x z + 2 y + x y + x y + 2 x >= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z + 2 x y z + 2 x z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 0, 0} + {3, 1, 0} >= {2, 2, 0} + {2, 1, 1} This follows from the following majorizations: {4, 0, 0} >= {2, 2, 0} {3, 1, 0} >= {2, 1, 1} Time= 36916 msec. (d11) true (c12) /* 7.8 */ trineq(4*R*(R-4*K/s)^3>=(s^2/4+4*K^2/s^2-2*R^2-5*K*R/s)^2); 2 2 4 K 3 s 5 K R 4 K 2 2 To prove: 4 R (R - ---) >= (-- - ----- + ---- - 2 R ) s 4 s 2 s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 4 3 3 4 2 2 5 K R s 183 K R s 68 K R 216 K R 16 K 2 R s + ------- + --------- >= -- + ------- + -------- + ----- + 2 K 2 2 16 s 3 4 s s s Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 4 2 3 2 2 2 2 a b c s + 10 K a b c s + 183 K a b c ---------------------------------------------- >= 2 2 16 K s 2 8 4 4 3 3 3 3 4 6 K s + 32 K s + 17 a b c s + 864 K a b c s + 256 K ----------------------------------------------------------- 2 4 16 K s 2 4 Multiplying both sides by 16 K s gives: 2 2 2 6 2 5 2 2 2 2 2 a b c s + 10 K a b c s + 183 K a b c s >= 2 8 4 4 3 3 3 3 4 6 K s + 32 K s + 17 a b c s + 864 K a b c s + 256 K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 6 2 5 2 2 2 2 2 a b c s + 10 F a b c s + 183 F a b c s >= 2 8 4 4 3 3 3 3 4 6 F s + 32 F s + 17 a b c s + 864 F a b c s + 256 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 10 2 2 9 3 2 2 3 8 - (5 a b c + (25 a b + 25 a b) c + (40 a b + 828 a b + 40 a b) c 2 3 3 2 7 5 2 4 3 3 + (1540 a b + 1540 a b ) c + (- 70 a b - 892 a b + 1284 a b 4 2 5 6 6 2 5 3 4 4 3 - 892 a b - 70 a b) c + (- 70 a b - 3258 a b - 3568 a b - 3568 a b 5 2 6 5 2 6 3 5 4 4 - 3258 a b - 70 a b) c + (- 892 a b - 3568 a b - 5352 a b 5 3 6 2 4 8 2 7 3 6 4 5 - 3568 a b - 892 a b ) c + (40 a b + 1540 a b + 1284 a b - 3568 a b 5 4 6 3 7 2 8 3 - 3568 a b + 1284 a b + 1540 a b + 40 a b) c 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 + (25 a b + 828 a b + 1540 a b - 892 a b - 3258 a b - 892 a b 7 3 8 2 9 2 + 1540 a b + 828 a b + 25 a b) c 10 2 9 3 8 5 6 6 5 8 3 9 2 + (5 a b + 25 a b + 40 a b - 70 a b - 70 a b + 40 a b + 25 a b 10 12 11 + 5 a b) c)/256 >= - (225 c + (- 120 b - 120 a) c 2 2 10 + (- 1574 b - 7240 a b - 1574 a ) c 3 2 2 3 9 + (424 b - 6632 a b - 6632 a b + 424 a ) c 4 3 2 2 3 4 8 + (4399 b + 29224 a b + 6130 a b + 29224 a b + 4399 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (- 304 b + 28368 a b + 29280 a b + 29280 a b + 28368 a b - 304 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (- 6100 b - 43600 a b - 4812 a b - 37536 a b - 4812 a b - 43600 a b 6 6 7 6 2 5 3 4 - 6100 a ) c + (- 304 b - 43600 a b - 45808 a b - 58256 a b 4 3 5 2 6 7 5 - 58256 a b - 45808 a b - 43600 a b - 304 a ) c 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (4399 b + 28368 a b - 4812 a b - 58256 a b - 58950 a b - 58256 a b 6 2 7 8 4 - 4812 a b + 28368 a b + 4399 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (424 b + 29224 a b + 29280 a b - 37536 a b - 58256 a b - 58256 a b 6 3 7 2 8 9 3 - 37536 a b + 29280 a b + 29224 a b + 424 a ) c 10 9 2 8 3 7 4 6 + (- 1574 b - 6632 a b + 6130 a b + 29280 a b - 4812 a b 5 5 6 4 7 3 8 2 9 10 - 45808 a b - 4812 a b + 29280 a b + 6130 a b - 6632 a b - 1574 a ) 2 11 10 2 9 3 8 4 7 c + (- 120 b - 7240 a b - 6632 a b + 29224 a b + 28368 a b 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 - 43600 a b - 43600 a b + 28368 a b + 29224 a b - 6632 a b 10 11 12 11 2 10 3 9 - 7240 a b - 120 a ) c + 225 b - 120 a b - 1574 a b + 424 a b 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 9 3 + 4399 a b - 304 a b - 6100 a b - 304 a b + 4399 a b + 424 a b 10 2 11 12 - 1574 a b - 120 a b + 225 a )/4096 Multiplying both sides by 4096 gives: 10 2 9 2 9 3 8 2 2 8 - 80 a b c - 400 a b c - 400 a b c - 640 a b c - 13248 a b c 3 8 2 3 7 3 2 7 5 6 - 640 a b c - 24640 a b c - 24640 a b c + 1120 a b c 2 4 6 3 3 6 4 2 6 5 6 + 14272 a b c - 20544 a b c + 14272 a b c + 1120 a b c 6 5 2 5 5 3 4 5 4 3 5 + 1120 a b c + 52128 a b c + 57088 a b c + 57088 a b c 5 2 5 6 5 2 6 4 3 5 4 + 52128 a b c + 1120 a b c + 14272 a b c + 57088 a b c 4 4 4 5 3 4 6 2 4 8 3 + 85632 a b c + 57088 a b c + 14272 a b c - 640 a b c 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 - 24640 a b c - 20544 a b c + 57088 a b c + 57088 a b c 6 3 3 7 2 3 8 3 9 2 2 8 2 - 20544 a b c - 24640 a b c - 640 a b c - 400 a b c - 13248 a b c 3 7 2 4 6 2 5 5 2 6 4 2 - 24640 a b c + 14272 a b c + 52128 a b c + 14272 a b c 7 3 2 8 2 2 9 2 10 2 9 - 24640 a b c - 13248 a b c - 400 a b c - 80 a b c - 400 a b c 3 8 5 6 6 5 8 3 9 2 - 640 a b c + 1120 a b c + 1120 a b c - 640 a b c - 400 a b c 10 12 11 11 2 10 10 - 80 a b c >= - 225 c + 120 b c + 120 a c + 1574 b c + 7240 a b c 2 10 3 9 2 9 2 9 3 9 + 1574 a c - 424 b c + 6632 a b c + 6632 a b c - 424 a c 4 8 3 8 2 2 8 3 8 4 8 - 4399 b c - 29224 a b c - 6130 a b c - 29224 a b c - 4399 a c 5 7 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 + 304 b c - 28368 a b c - 29280 a b c - 29280 a b c - 28368 a b c 5 7 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 + 304 a c + 6100 b c + 43600 a b c + 4812 a b c + 37536 a b c 4 2 6 5 6 6 6 7 5 6 5 + 4812 a b c + 43600 a b c + 6100 a c + 304 b c + 43600 a b c 2 5 5 3 4 5 4 3 5 5 2 5 + 45808 a b c + 58256 a b c + 58256 a b c + 45808 a b c 6 5 7 5 8 4 7 4 2 6 4 + 43600 a b c + 304 a c - 4399 b c - 28368 a b c + 4812 a b c 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 4 + 58256 a b c + 58950 a b c + 58256 a b c + 4812 a b c 7 4 8 4 9 3 8 3 2 7 3 - 28368 a b c - 4399 a c - 424 b c - 29224 a b c - 29280 a b c 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 37536 a b c + 58256 a b c + 58256 a b c + 37536 a b c 7 2 3 8 3 9 3 10 2 9 2 - 29280 a b c - 29224 a b c - 424 a c + 1574 b c + 6632 a b c 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 - 6130 a b c - 29280 a b c + 4812 a b c + 45808 a b c 6 4 2 7 3 2 8 2 2 9 2 10 2 + 4812 a b c - 29280 a b c - 6130 a b c + 6632 a b c + 1574 a c 11 10 2 9 3 8 4 7 + 120 b c + 7240 a b c + 6632 a b c - 29224 a b c - 28368 a b c 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 + 43600 a b c + 43600 a b c - 28368 a b c - 29224 a b c + 6632 a b c 10 11 12 11 2 10 3 9 + 7240 a b c + 120 a c - 225 b + 120 a b + 1574 a b - 424 a b 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 9 3 - 4399 a b + 304 a b + 6100 a b + 304 a b - 4399 a b - 424 a b 10 2 11 12 + 1574 a b + 120 a b - 225 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 12 3 9 3 9 4 8 3 8 3 8 225 c + 424 b c + 424 a c + 4399 b c + 28584 a b c + 28584 a b c 4 8 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 + 4399 a c + 28368 a b c + 4640 a b c + 4640 a b c + 28368 a b c 2 4 6 4 2 6 2 5 5 5 2 5 8 4 + 9460 a b c + 9460 a b c + 6320 a b c + 6320 a b c + 4399 b c 7 4 2 6 4 4 4 4 6 2 4 + 28368 a b c + 9460 a b c + 26682 a b c + 9460 a b c 7 4 8 4 9 3 8 3 2 7 3 + 28368 a b c + 4399 a c + 424 b c + 28584 a b c + 4640 a b c 7 2 3 8 3 9 3 3 7 2 4 6 2 + 4640 a b c + 28584 a b c + 424 a c + 4640 a b c + 9460 a b c 5 5 2 6 4 2 7 3 2 3 8 + 6320 a b c + 9460 a b c + 4640 a b c + 28584 a b c 4 7 7 4 8 3 12 3 9 + 28368 a b c + 28368 a b c + 28584 a b c + 225 b + 424 a b 4 8 8 4 9 3 12 + 4399 a b + 4399 a b + 424 a b + 225 a >= 11 11 2 10 10 2 10 2 9 120 b c + 120 a c + 1574 b c + 7320 a b c + 1574 a c + 7032 a b c 2 9 2 2 8 5 7 5 7 6 6 + 7032 a b c + 7118 a b c + 304 b c + 304 a c + 6100 b c 5 6 3 3 6 5 6 6 6 7 5 + 42480 a b c + 58080 a b c + 42480 a b c + 6100 a c + 304 b c 6 5 3 4 5 4 3 5 6 5 7 5 + 42480 a b c + 1168 a b c + 1168 a b c + 42480 a b c + 304 a c 3 5 4 5 3 4 3 6 3 4 5 3 + 1168 a b c + 1168 a b c + 58080 a b c + 1168 a b c 5 4 3 6 3 3 10 2 9 2 2 8 2 + 1168 a b c + 58080 a b c + 1574 b c + 7032 a b c + 7118 a b c 8 2 2 9 2 10 2 11 10 + 7118 a b c + 7032 a b c + 1574 a c + 120 b c + 7320 a b c 2 9 5 6 6 5 9 2 10 + 7032 a b c + 42480 a b c + 42480 a b c + 7032 a b c + 7320 a b c 11 11 2 10 5 7 6 6 7 5 + 120 a c + 120 a b + 1574 a b + 304 a b + 6100 a b + 304 a b 10 2 11 + 1574 a b + 120 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 12 11 2 2 10 (2524 z + (43620 y + 43620 x) z + (210486 y + 406604 x y + 210486 x ) z 3 2 2 3 9 + (560354 y + 1523362 x y + 1523362 x y + 560354 x ) z 4 3 2 2 3 4 8 + (999989 y + 3460790 x y + 4934174 x y + 3460790 x y + 999989 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 + (1333064 y + 5600168 x y + 9785944 x y + 9785944 x y + 5600168 x y 5 7 6 5 2 4 + 1333064 x ) z + (1450178 y + 7000100 x y + 13755386 x y 3 3 4 2 5 6 6 + 16245392 x y + 13755386 x y + 7000100 x y + 1450178 x ) z 7 6 2 5 3 4 + (1333064 y + 7000100 x y + 15172200 x y + 18952276 x y 4 3 5 2 6 7 5 + 18952276 x y + 15172200 x y + 7000100 x y + 1333064 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 + (999989 y + 5600168 x y + 13755386 x y + 18952276 x y + 19618158 x y 5 3 6 2 7 8 4 + 18952276 x y + 13755386 x y + 5600168 x y + 999989 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 + (560354 y + 3460790 x y + 9785944 x y + 16245392 x y + 18952276 x y 5 4 6 3 7 2 8 9 + 18952276 x y + 16245392 x y + 9785944 x y + 3460790 x y + 560354 x ) 3 10 9 2 8 3 7 z + (210486 y + 1523362 x y + 4934174 x y + 9785944 x y 4 6 5 5 6 4 7 3 + 13755386 x y + 15172200 x y + 13755386 x y + 9785944 x y 8 2 9 10 2 + 4934174 x y + 1523362 x y + 210486 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 + (43620 y + 406604 x y + 1523362 x y + 3460790 x y + 5600168 x y 5 6 6 5 7 4 8 3 + 7000100 x y + 7000100 x y + 5600168 x y + 3460790 x y 9 2 10 11 12 11 + 1523362 x y + 406604 x y + 43620 x ) z + 2524 y + 43620 x y 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 + 210486 x y + 560354 x y + 999989 x y + 1333064 x y + 1450178 x y 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 1333064 x y + 999989 x y + 560354 x y + 210486 x y + 43620 x y 12 12 11 + 2524 x )/1024 >= (2524 z + (43620 y + 43620 x) z 2 2 10 + (209462 y + 405580 x y + 209462 x ) z 3 2 2 3 9 + (569570 y + 1549986 x y + 1549986 x y + 569570 x ) z 4 3 2 2 3 4 8 + (1075765 y + 3539638 x y + 4973086 x y + 3539638 x y + 1075765 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 + (1536840 y + 5590952 x y + 9810520 x y + 9810520 x y + 5590952 x y 5 7 6 5 2 4 + 1536840 x ) z + (1726658 y + 6773796 x y + 13955066 x y 3 3 4 2 5 6 6 + 17912464 x y + 13955066 x y + 6773796 x y + 1726658 x ) z 7 6 2 5 3 4 + (1536840 y + 6773796 x y + 15544936 x y + 24299604 x y 4 3 5 2 6 7 5 + 24299604 x y + 15544936 x y + 6773796 x y + 1536840 x ) z 8 7 2 6 3 5 + (1075765 y + 5590952 x y + 13955066 x y + 24299604 x y 4 4 5 3 6 2 7 + 29743470 x y + 24299604 x y + 13955066 x y + 5590952 x y 8 4 9 8 2 7 3 6 + 1075765 x ) z + (569570 y + 3539638 x y + 9810520 x y + 17912464 x y 4 5 5 4 6 3 7 2 + 24299604 x y + 24299604 x y + 17912464 x y + 9810520 x y 8 9 3 10 9 2 8 + 3539638 x y + 569570 x ) z + (209462 y + 1549986 x y + 4973086 x y 3 7 4 6 5 5 6 4 + 9810520 x y + 13955066 x y + 15544936 x y + 13955066 x y 7 3 8 2 9 10 2 + 9810520 x y + 4973086 x y + 1549986 x y + 209462 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 + (43620 y + 405580 x y + 1549986 x y + 3539638 x y + 5590952 x y 5 6 6 5 7 4 8 3 + 6773796 x y + 6773796 x y + 5590952 x y + 3539638 x y 9 2 10 11 12 11 + 1549986 x y + 405580 x y + 43620 x ) z + 2524 y + 43620 x y 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 + 209462 x y + 569570 x y + 1075765 x y + 1536840 x y + 1726658 x y 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 1536840 x y + 1075765 x y + 569570 x y + 209462 x y + 43620 x y 12 + 2524 x )/1024 Multiplying both sides by 1024 gives: 12 11 11 2 10 10 2524 z + 43620 y z + 43620 x z + 210486 y z + 406604 x y z 2 10 3 9 2 9 2 9 + 210486 x z + 560354 y z + 1523362 x y z + 1523362 x y z 3 9 4 8 3 8 2 2 8 + 560354 x z + 999989 y z + 3460790 x y z + 4934174 x y z 3 8 4 8 5 7 4 7 + 3460790 x y z + 999989 x z + 1333064 y z + 5600168 x y z 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 9785944 x y z + 9785944 x y z + 5600168 x y z + 1333064 x z 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 + 1450178 y z + 7000100 x y z + 13755386 x y z + 16245392 x y z 4 2 6 5 6 6 6 7 5 + 13755386 x y z + 7000100 x y z + 1450178 x z + 1333064 y z 6 5 2 5 5 3 4 5 4 3 5 + 7000100 x y z + 15172200 x y z + 18952276 x y z + 18952276 x y z 5 2 5 6 5 7 5 8 4 + 15172200 x y z + 7000100 x y z + 1333064 x z + 999989 y z 7 4 2 6 4 3 5 4 4 4 4 + 5600168 x y z + 13755386 x y z + 18952276 x y z + 19618158 x y z 5 3 4 6 2 4 7 4 8 4 + 18952276 x y z + 13755386 x y z + 5600168 x y z + 999989 x z 9 3 8 3 2 7 3 3 6 3 + 560354 y z + 3460790 x y z + 9785944 x y z + 16245392 x y z 4 5 3 5 4 3 6 3 3 7 2 3 + 18952276 x y z + 18952276 x y z + 16245392 x y z + 9785944 x y z 8 3 9 3 10 2 9 2 + 3460790 x y z + 560354 x z + 210486 y z + 1523362 x y z 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 + 4934174 x y z + 9785944 x y z + 13755386 x y z + 15172200 x y z 6 4 2 7 3 2 8 2 2 9 2 + 13755386 x y z + 9785944 x y z + 4934174 x y z + 1523362 x y z 10 2 11 10 2 9 + 210486 x z + 43620 y z + 406604 x y z + 1523362 x y z 3 8 4 7 5 6 6 5 + 3460790 x y z + 5600168 x y z + 7000100 x y z + 7000100 x y z 7 4 8 3 9 2 10 + 5600168 x y z + 3460790 x y z + 1523362 x y z + 406604 x y z 11 12 11 2 10 3 9 + 43620 x z + 2524 y + 43620 x y + 210486 x y + 560354 x y 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 999989 x y + 1333064 x y + 1450178 x y + 1333064 x y + 999989 x y 9 3 10 2 11 12 + 560354 x y + 210486 x y + 43620 x y + 2524 x >= 12 11 11 2 10 10 2524 z + 43620 y z + 43620 x z + 209462 y z + 405580 x y z 2 10 3 9 2 9 2 9 + 209462 x z + 569570 y z + 1549986 x y z + 1549986 x y z 3 9 4 8 3 8 2 2 8 + 569570 x z + 1075765 y z + 3539638 x y z + 4973086 x y z 3 8 4 8 5 7 4 7 + 3539638 x y z + 1075765 x z + 1536840 y z + 5590952 x y z 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 9810520 x y z + 9810520 x y z + 5590952 x y z + 1536840 x z 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 + 1726658 y z + 6773796 x y z + 13955066 x y z + 17912464 x y z 4 2 6 5 6 6 6 7 5 + 13955066 x y z + 6773796 x y z + 1726658 x z + 1536840 y z 6 5 2 5 5 3 4 5 4 3 5 + 6773796 x y z + 15544936 x y z + 24299604 x y z + 24299604 x y z 5 2 5 6 5 7 5 8 4 + 15544936 x y z + 6773796 x y z + 1536840 x z + 1075765 y z 7 4 2 6 4 3 5 4 4 4 4 + 5590952 x y z + 13955066 x y z + 24299604 x y z + 29743470 x y z 5 3 4 6 2 4 7 4 8 4 + 24299604 x y z + 13955066 x y z + 5590952 x y z + 1075765 x z 9 3 8 3 2 7 3 3 6 3 + 569570 y z + 3539638 x y z + 9810520 x y z + 17912464 x y z 4 5 3 5 4 3 6 3 3 7 2 3 + 24299604 x y z + 24299604 x y z + 17912464 x y z + 9810520 x y z 8 3 9 3 10 2 9 2 + 3539638 x y z + 569570 x z + 209462 y z + 1549986 x y z 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 + 4973086 x y z + 9810520 x y z + 13955066 x y z + 15544936 x y z 6 4 2 7 3 2 8 2 2 9 2 + 13955066 x y z + 9810520 x y z + 4973086 x y z + 1549986 x y z 10 2 11 10 2 9 + 209462 x z + 43620 y z + 405580 x y z + 1549986 x y z 3 8 4 7 5 6 6 5 + 3539638 x y z + 5590952 x y z + 6773796 x y z + 6773796 x y z 7 4 8 3 9 2 10 + 5590952 x y z + 3539638 x y z + 1549986 x y z + 405580 x y z 11 12 11 2 10 3 9 + 43620 x z + 2524 y + 43620 x y + 209462 x y + 569570 x y 4 8 5 7 6 6 7 5 + 1075765 x y + 1536840 x y + 1726658 x y + 1536840 x y 8 4 9 3 10 2 11 12 + 1075765 x y + 569570 x y + 209462 x y + 43620 x y + 2524 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 10 10 2 10 4 7 4 7 1024 y z + 1024 x y z + 1024 x z + 9216 x y z + 9216 x y z 5 6 5 6 6 5 6 5 + 226304 x y z + 226304 x y z + 226304 x y z + 226304 x y z 7 4 7 4 10 2 10 2 10 + 9216 x y z + 9216 x y z + 1024 y z + 1024 x z + 1024 x y z 4 7 5 6 6 5 7 4 10 + 9216 x y z + 226304 x y z + 226304 x y z + 9216 x y z + 1024 x y z 2 10 10 2 3 9 2 9 2 9 + 1024 x y + 1024 x y >= 9216 y z + 26624 x y z + 26624 x y z 3 9 4 8 3 8 2 2 8 3 8 + 9216 x z + 75776 y z + 78848 x y z + 38912 x y z + 78848 x y z 4 8 5 7 2 3 7 3 2 7 5 7 + 75776 x z + 203776 y z + 24576 x y z + 24576 x y z + 203776 x z 6 6 2 4 6 3 3 6 4 2 6 + 276480 y z + 199680 x y z + 1667072 x y z + 199680 x y z 6 6 7 5 2 5 5 3 4 5 + 276480 x z + 203776 y z + 372736 x y z + 5347328 x y z 4 3 5 5 2 5 7 5 8 4 + 5347328 x y z + 372736 x y z + 203776 x z + 75776 y z 2 6 4 3 5 4 4 4 4 5 3 4 + 199680 x y z + 5347328 x y z + 10125312 x y z + 5347328 x y z 6 2 4 8 4 9 3 8 3 2 7 3 + 199680 x y z + 75776 x z + 9216 y z + 78848 x y z + 24576 x y z 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 1667072 x y z + 5347328 x y z + 5347328 x y z + 1667072 x y z 7 2 3 8 3 9 3 9 2 2 8 2 + 24576 x y z + 78848 x y z + 9216 x z + 26624 x y z + 38912 x y z 3 7 2 4 6 2 5 5 2 6 4 2 + 24576 x y z + 199680 x y z + 372736 x y z + 199680 x y z 7 3 2 8 2 2 9 2 2 9 + 24576 x y z + 38912 x y z + 26624 x y z + 26624 x y z 3 8 8 3 9 2 3 9 4 8 + 78848 x y z + 78848 x y z + 26624 x y z + 9216 x y + 75776 x y 5 7 6 6 7 5 8 4 9 3 + 203776 x y + 276480 x y + 203776 x y + 75776 x y + 9216 x y Dividing both sides by 1024 gives: 2 10 10 2 10 4 7 4 7 5 6 5 6 y z + x y z + x z + 9 x y z + 9 x y z + 221 x y z + 221 x y z 6 5 6 5 7 4 7 4 10 2 10 2 + 221 x y z + 221 x y z + 9 x y z + 9 x y z + y z + x z 10 4 7 5 6 6 5 7 4 10 + x y z + 9 x y z + 221 x y z + 221 x y z + 9 x y z + x y z 2 10 10 2 3 9 2 9 2 9 3 9 4 8 + x y + x y >= 9 y z + 26 x y z + 26 x y z + 9 x z + 74 y z 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 2 3 7 + 77 x y z + 38 x y z + 77 x y z + 74 x z + 199 y z + 24 x y z 3 2 7 5 7 6 6 2 4 6 3 3 6 + 24 x y z + 199 x z + 270 y z + 195 x y z + 1628 x y z 4 2 6 6 6 7 5 2 5 5 3 4 5 + 195 x y z + 270 x z + 199 y z + 364 x y z + 5222 x y z 4 3 5 5 2 5 7 5 8 4 2 6 4 + 5222 x y z + 364 x y z + 199 x z + 74 y z + 195 x y z 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 4 8 4 + 5222 x y z + 9888 x y z + 5222 x y z + 195 x y z + 74 x z 9 3 8 3 2 7 3 3 6 3 4 5 3 + 9 y z + 77 x y z + 24 x y z + 1628 x y z + 5222 x y z 5 4 3 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 + 5222 x y z + 1628 x y z + 24 x y z + 77 x y z + 9 x z 9 2 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 + 26 x y z + 38 x y z + 24 x y z + 195 x y z + 364 x y z 6 4 2 7 3 2 8 2 2 9 2 2 9 + 195 x y z + 24 x y z + 38 x y z + 26 x y z + 26 x y z 3 8 8 3 9 2 3 9 4 8 5 7 + 77 x y z + 77 x y z + 26 x y z + 9 x y + 74 x y + 199 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 + 270 x y + 199 x y + 74 x y + 9 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 2 {10, 2, 0} + {10, 1, 1} + 18 {7, 4, 1} + 442 {6, 5, 1} >= 18 {9, 3, 0} + 52 {9, 2, 1} + 148 {8, 4, 0} + 154 {8, 3, 1} + 38 {8, 2, 2} + 398 {7, 5, 0} + 48 {7, 3, 2} + 270 {6, 6, 0} + 390 {6, 4, 2} + 1628 {6, 3, 3} + 364 {5, 5, 2} + 10444 {5, 4, 3} + 3296 {4, 4, 4} This follows from the following majorizations: 2 {10, 2, 0} >= 2 {9, 3, 0} {10, 1, 1} >= {9, 2, 1} 18 {7, 4, 1} >= 18 {7, 3, 2} 390 {6, 5, 1} >= 390 {6, 4, 2} 52 {6, 5, 1} >= 52 {6, 3, 3} left side: [442 {6, 5, 1}, 18 {7, 4, 1}, {10, 1, 1}, 2 {10, 2, 0}] right side: [3296 {4, 4, 4}, 10444 {5, 4, 3}, 364 {5, 5, 2}, 1628 {6, 3, 3}, 390 {6, 4, 2}, 270 {6, 6, 0}, 48 {7, 3, 2}, 398 {7, 5, 0}, 38 {8, 2, 2}, 154 {8, 3, 1}, 148 {8, 4, 0}, 52 {9, 2, 1}, 18 {9, 3, 0}] Time= 285450 msec. (d12) notyetimplemented (c13) /* 7.9 modified */ trineq(4*K<=3*R^2*sqrt(3)); 2 To prove: 3 sqrt(3) R >= 4 K Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 3 sqrt(3) a b c ------------------ >= 4 K 2 16 K 2 Multiplying both sides by 16 K gives: 2 2 2 3 3 sqrt(3) a b c >= 64 K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 3 sqrt(3) a b c >= 64 F K 2 Since 64 F is positive, and since 2 2 2 3 sqrt(3) a b c is positive, we can square both sides to get: 4 4 4 4 4 4 4 4 3 27 a b c >= 4096 F s + (- 4096 F c - 4096 F b - 4096 F a) s 4 4 4 2 4 + ((4096 F b + 4096 F a) c + 4096 F a b) s - 4096 F a b c s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4096 F c s + 4096 F b s + 4096 F a s + 4096 F a b c s + 27 a b c >= 4 4 4 2 4 2 4 2 4096 F s + 4096 F b c s + 4096 F a c s + 4096 F a b s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 12 11 2 2 10 3 3 9 2 c + (8 b + 8 a) c + (4 b + 32 a b + 4 a ) c + (- 24 b - 24 a ) c 4 3 2 2 3 4 8 + (- 34 b - 120 a b - 76 a b - 120 a b - 34 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (16 b - 80 a b - 128 a b - 128 a b - 80 a b + 16 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 6 + (56 b + 160 a b + 72 a b + 64 a b + 72 a b + 160 a b + 56 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (16 b + 160 a b + 256 a b + 208 a b + 208 a b + 256 a b + 160 a b 7 5 8 7 2 6 3 5 4 4 + 16 a ) c + (- 34 b - 80 a b + 72 a b + 208 a b + 207 a b 5 3 6 2 7 8 4 + 208 a b + 72 a b - 80 a b - 34 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (- 24 b - 120 a b - 128 a b + 64 a b + 208 a b + 208 a b 6 3 7 2 8 9 3 + 64 a b - 128 a b - 120 a b - 24 a ) c 10 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 + (4 b - 76 a b - 128 a b + 72 a b + 256 a b + 72 a b - 128 a b 8 2 10 2 11 10 3 8 4 7 5 6 - 76 a b + 4 a ) c + (8 b + 32 a b - 120 a b - 80 a b + 160 a b 6 5 7 4 8 3 10 11 12 11 + 160 a b - 80 a b - 120 a b + 32 a b + 8 a ) c + 2 b + 8 a b 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 4 a b - 24 a b - 34 a b + 16 a b + 56 a b + 16 a b - 34 a b 9 3 10 2 11 12 - 24 a b + 4 a b + 8 a b + 2 a >= 12 11 2 2 10 3 3 9 c + (8 b + 8 a) c + (10 b + 32 a b + 10 a ) c + (- 24 b - 24 a ) c 4 3 2 2 3 4 8 + (- 49 b - 120 a b - 94 a b - 120 a b - 49 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (16 b - 80 a b - 128 a b - 128 a b - 80 a b + 16 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 6 + (76 b + 160 a b + 84 a b + 64 a b + 84 a b + 160 a b + 76 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (16 b + 160 a b + 256 a b + 208 a b + 208 a b + 256 a b + 160 a b 7 5 8 7 2 6 3 5 4 4 + 16 a ) c + (- 49 b - 80 a b + 84 a b + 208 a b + 186 a b 5 3 6 2 7 8 4 + 208 a b + 84 a b - 80 a b - 49 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (- 24 b - 120 a b - 128 a b + 64 a b + 208 a b + 208 a b 6 3 7 2 8 9 3 + 64 a b - 128 a b - 120 a b - 24 a ) c 10 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 + (10 b - 94 a b - 128 a b + 84 a b + 256 a b + 84 a b - 128 a b 8 2 10 2 11 10 3 8 4 7 5 6 - 94 a b + 10 a ) c + (8 b + 32 a b - 120 a b - 80 a b + 160 a b 6 5 7 4 8 3 10 11 12 11 + 160 a b - 80 a b - 120 a b + 32 a b + 8 a ) c + b + 8 a b 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 10 a b - 24 a b - 49 a b + 16 a b + 76 a b + 16 a b - 49 a b 9 3 10 2 11 12 - 24 a b + 10 a b + 8 a b + a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 12 4 8 2 2 8 4 8 8 4 4 4 4 8 4 c + 15 b c + 18 a b c + 15 a c + 15 b c + 21 a b c + 15 a c 2 8 2 8 2 2 12 4 8 8 4 12 + 18 a b c + 18 a b c + b + 15 a b + 15 a b + a >= 2 10 2 10 6 6 2 4 6 4 2 6 6 6 6 b c + 6 a c + 20 b c + 12 a b c + 12 a b c + 20 a c 2 6 4 6 2 4 10 2 4 6 2 6 4 2 10 2 + 12 a b c + 12 a b c + 6 b c + 12 a b c + 12 a b c + 6 a c 2 10 6 6 10 2 + 6 a b + 20 a b + 6 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 12 11 2 2 10 (32 z + (192 y + 192 x) z + (612 y + 1032 x y + 612 x ) z 3 2 2 3 9 + (1300 y + 2940 x y + 2940 x y + 1300 x ) z 4 3 2 2 3 4 8 + (2133 y + 5664 x y + 7542 x y + 5664 x y + 2133 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (2844 y + 8508 x y + 13224 x y + 13224 x y + 8508 x y + 2844 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (3150 y + 10416 x y + 18186 x y + 19152 x y + 18186 x y + 10416 x y 6 6 7 6 2 5 3 4 + 3150 x ) z + (2844 y + 10416 x y + 20160 x y + 20244 x y 4 3 5 2 6 7 5 + 20244 x y + 20160 x y + 10416 x y + 2844 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (2133 y + 8508 x y + 18186 x y + 20244 x y + 17346 x y + 20244 x y 6 2 7 8 4 + 18186 x y + 8508 x y + 2133 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (1300 y + 5664 x y + 13224 x y + 19152 x y + 20244 x y + 20244 x y 6 3 7 2 8 9 3 + 19152 x y + 13224 x y + 5664 x y + 1300 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (612 y + 2940 x y + 7542 x y + 13224 x y + 18186 x y + 20160 x y 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 18186 x y + 13224 x y + 7542 x y + 2940 x y + 612 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (192 y + 1032 x y + 2940 x y + 5664 x y + 8508 x y + 10416 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 10416 x y + 8508 x y + 5664 x y + 2940 x y + 1032 x y + 192 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 32 y + 192 x y + 612 x y + 1300 x y + 2133 x y + 2844 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 3150 x y + 2844 x y + 2133 x y + 1300 x y + 612 x y + 192 x y 12 12 11 + 32 x )/4096 >= (16 z + (96 y + 96 x) z 2 2 10 3 2 2 3 + (306 y + 516 x y + 306 x ) z + (650 y + 1470 x y + 1470 x y + 650 x ) 9 4 3 2 2 3 4 8 z + (1053 y + 2778 x y + 3690 x y + 2778 x y + 1053 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (1368 y + 3984 x y + 6072 x y + 6072 x y + 3984 x y + 1368 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (1494 y + 4668 x y + 7662 x y + 9680 x y + 7662 x y + 4668 x y 6 6 7 6 2 5 3 4 4 3 + 1494 x ) z + (1368 y + 4668 x y + 8136 x y + 12756 x y + 12756 x y 5 2 6 7 5 + 8136 x y + 4668 x y + 1368 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (1053 y + 3984 x y + 7662 x y + 12756 x y + 16290 x y + 12756 x y 6 2 7 8 4 + 7662 x y + 3984 x y + 1053 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (650 y + 2778 x y + 6072 x y + 9680 x y + 12756 x y + 12756 x y 6 3 7 2 8 9 3 + 9680 x y + 6072 x y + 2778 x y + 650 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (306 y + 1470 x y + 3690 x y + 6072 x y + 7662 x y + 8136 x y 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 7662 x y + 6072 x y + 3690 x y + 1470 x y + 306 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (96 y + 516 x y + 1470 x y + 2778 x y + 3984 x y + 4668 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 4668 x y + 3984 x y + 2778 x y + 1470 x y + 516 x y + 96 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 16 y + 96 x y + 306 x y + 650 x y + 1053 x y + 1368 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 1494 x y + 1368 x y + 1053 x y + 650 x y + 306 x y + 96 x y 12 + 16 x )/2048 Multiplying both sides by 4096 gives: 12 11 11 2 10 10 2 10 32 z + 192 y z + 192 x z + 612 y z + 1032 x y z + 612 x z 3 9 2 9 2 9 3 9 4 8 + 1300 y z + 2940 x y z + 2940 x y z + 1300 x z + 2133 y z 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 + 5664 x y z + 7542 x y z + 5664 x y z + 2133 x z + 2844 y z 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 8508 x y z + 13224 x y z + 13224 x y z + 8508 x y z + 2844 x z 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 + 3150 y z + 10416 x y z + 18186 x y z + 19152 x y z 4 2 6 5 6 6 6 7 5 6 5 + 18186 x y z + 10416 x y z + 3150 x z + 2844 y z + 10416 x y z 2 5 5 3 4 5 4 3 5 5 2 5 + 20160 x y z + 20244 x y z + 20244 x y z + 20160 x y z 6 5 7 5 8 4 7 4 2 6 4 + 10416 x y z + 2844 x z + 2133 y z + 8508 x y z + 18186 x y z 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 4 + 20244 x y z + 17346 x y z + 20244 x y z + 18186 x y z 7 4 8 4 9 3 8 3 2 7 3 + 8508 x y z + 2133 x z + 1300 y z + 5664 x y z + 13224 x y z 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 19152 x y z + 20244 x y z + 20244 x y z + 19152 x y z 7 2 3 8 3 9 3 10 2 9 2 + 13224 x y z + 5664 x y z + 1300 x z + 612 y z + 2940 x y z 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 + 7542 x y z + 13224 x y z + 18186 x y z + 20160 x y z 6 4 2 7 3 2 8 2 2 9 2 10 2 + 18186 x y z + 13224 x y z + 7542 x y z + 2940 x y z + 612 x z 11 10 2 9 3 8 4 7 + 192 y z + 1032 x y z + 2940 x y z + 5664 x y z + 8508 x y z 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 + 10416 x y z + 10416 x y z + 8508 x y z + 5664 x y z + 2940 x y z 10 11 12 11 2 10 3 9 + 1032 x y z + 192 x z + 32 y + 192 x y + 612 x y + 1300 x y 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 9 3 + 2133 x y + 2844 x y + 3150 x y + 2844 x y + 2133 x y + 1300 x y 10 2 11 12 12 11 11 + 612 x y + 192 x y + 32 x >= 32 z + 192 y z + 192 x z 2 10 10 2 10 3 9 2 9 + 612 y z + 1032 x y z + 612 x z + 1300 y z + 2940 x y z 2 9 3 9 4 8 3 8 2 2 8 + 2940 x y z + 1300 x z + 2106 y z + 5556 x y z + 7380 x y z 3 8 4 8 5 7 4 7 2 3 7 + 5556 x y z + 2106 x z + 2736 y z + 7968 x y z + 12144 x y z 3 2 7 4 7 5 7 6 6 5 6 + 12144 x y z + 7968 x y z + 2736 x z + 2988 y z + 9336 x y z 2 4 6 3 3 6 4 2 6 5 6 6 6 + 15324 x y z + 19360 x y z + 15324 x y z + 9336 x y z + 2988 x z 7 5 6 5 2 5 5 3 4 5 4 3 5 + 2736 y z + 9336 x y z + 16272 x y z + 25512 x y z + 25512 x y z 5 2 5 6 5 7 5 8 4 7 4 + 16272 x y z + 9336 x y z + 2736 x z + 2106 y z + 7968 x y z 2 6 4 3 5 4 4 4 4 5 3 4 + 15324 x y z + 25512 x y z + 32580 x y z + 25512 x y z 6 2 4 7 4 8 4 9 3 8 3 + 15324 x y z + 7968 x y z + 2106 x z + 1300 y z + 5556 x y z 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 + 12144 x y z + 19360 x y z + 25512 x y z + 25512 x y z 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 10 2 + 19360 x y z + 12144 x y z + 5556 x y z + 1300 x z + 612 y z 9 2 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 2940 x y z + 7380 x y z + 12144 x y z + 15324 x y z 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 16272 x y z + 15324 x y z + 12144 x y z + 7380 x y z 9 2 10 2 11 10 2 9 + 2940 x y z + 612 x z + 192 y z + 1032 x y z + 2940 x y z 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 + 5556 x y z + 7968 x y z + 9336 x y z + 9336 x y z + 7968 x y z 8 3 9 2 10 11 12 11 + 5556 x y z + 2940 x y z + 1032 x y z + 192 x z + 32 y + 192 x y 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 + 612 x y + 1300 x y + 2106 x y + 2736 x y + 2988 x y + 2736 x y 8 4 9 3 10 2 11 12 + 2106 x y + 1300 x y + 612 x y + 192 x y + 32 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 8 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 27 y z + 108 x y z + 162 x y z + 108 x y z + 27 x z + 108 y z 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 540 x y z + 1080 x y z + 1080 x y z + 540 x y z + 108 x z 6 6 5 6 2 4 6 4 2 6 5 6 + 162 y z + 1080 x y z + 2862 x y z + 2862 x y z + 1080 x y z 6 6 7 5 6 5 2 5 5 5 2 5 + 162 x z + 108 y z + 1080 x y z + 3888 x y z + 3888 x y z 6 5 7 5 8 4 7 4 2 6 4 + 1080 x y z + 108 x z + 27 y z + 540 x y z + 2862 x y z 6 2 4 7 4 8 4 8 3 2 7 3 + 2862 x y z + 540 x y z + 27 x z + 108 x y z + 1080 x y z 7 2 3 8 3 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 1080 x y z + 108 x y z + 162 x y z + 1080 x y z + 2862 x y z 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 3 8 + 3888 x y z + 2862 x y z + 1080 x y z + 162 x y z + 108 x y z 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 + 540 x y z + 1080 x y z + 1080 x y z + 540 x y z + 108 x y z 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 27 x y + 108 x y + 162 x y + 108 x y + 27 x y >= 3 3 6 3 4 5 4 3 5 3 5 4 4 4 4 208 x y z + 5268 x y z + 5268 x y z + 5268 x y z + 15234 x y z 5 3 4 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 5268 x y z + 208 x y z + 5268 x y z + 5268 x y z + 208 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 27 {8, 4, 0} + 108 {8, 3, 1} + 81 {8, 2, 2} + 108 {7, 5, 0} + 540 {7, 4, 1} + 1080 {7, 3, 2} + 81 {6, 6, 0} + 1080 {6, 5, 1} + 2862 {6, 4, 2} + 1944 {5, 5, 2} >= 104 {6, 3, 3} + 5268 {5, 4, 3} + 2539 {4, 4, 4} This follows from the following majorizations: left side: [1944 {5, 5, 2}, 2862 {6, 4, 2}, 1080 {6, 5, 1}, 81 {6, 6, 0}, 1080 {7, 3, 2}, 540 {7, 4, 1}, 108 {7, 5, 0}, 81 {8, 2, 2}, 108 {8, 3, 1}, 27 {8, 4, 0}] right side: [2539 {4, 4, 4}, 5268 {5, 4, 3}, 104 {6, 3, 3}] Time= 188600 msec. (d13) notsure (c14) trineq(3*r^2*sqrt(3)<=K); 2 To prove: K >= 3 sqrt(3) r Let r = K/s . We get: 2 3 sqrt(3) K K >= ------------ 2 s 2 Multiplying both sides by s gives: 2 2 K s >= 3 sqrt(3) K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 K s >= 3 sqrt(3) F 2 Since s is positive, and since 2 3 sqrt(3) F is positive, we can square both sides to get: 8 7 6 5 4 s + (- c - b - a) s + ((b + a) c + a b) s - a b c s >= 27 F Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 6 6 6 7 7 7 5 4 s + b c s + a c s + a b s >= c s + b s + a s + a b c s + 27 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 7 2 2 6 (c + (12 b + 12 a) c + (52 b + 108 a b + 52 a ) c 3 2 2 3 5 + (116 b + 372 a b + 372 a b + 116 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (150 b + 660 a b + 1020 a b + 660 a b + 150 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (116 b + 660 a b + 1400 a b + 1400 a b + 660 a b + 116 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + (52 b + 372 a b + 1020 a b + 1400 a b + 1020 a b + 372 a b + 52 a ) 2 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 c + (12 b + 108 a b + 372 a b + 660 a b + 660 a b + 372 a b 6 7 8 7 2 6 3 5 4 4 + 108 a b + 12 a ) c + b + 12 a b + 52 a b + 116 a b + 150 a b 5 3 6 2 7 8 + 116 a b + 52 a b + 12 a b + a )/256 >= 8 7 2 2 6 (29 c + (16 b + 16 a) c + (- 52 b + 120 a b - 52 a ) c 3 2 2 3 5 + (112 b + 376 a b + 376 a b + 112 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (302 b + 640 a b + 1108 a b + 640 a b + 302 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (112 b + 640 a b + 1360 a b + 1360 a b + 640 a b + 112 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (- 52 b + 376 a b + 1108 a b + 1360 a b + 1108 a b + 376 a b 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 - 52 a ) c + (16 b + 120 a b + 376 a b + 640 a b + 640 a b 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 376 a b + 120 a b + 16 a ) c + 29 b + 16 a b - 52 a b + 112 a b 4 4 5 3 6 2 7 8 + 302 a b + 112 a b - 52 a b + 16 a b + 29 a )/256 Multiplying both sides by 256 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 c + 12 b c + 12 a c + 52 b c + 108 a b c + 52 a c + 116 b c 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 372 a b c + 372 a b c + 116 a c + 150 b c + 660 a b c 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 1020 a b c + 660 a b c + 150 a c + 116 b c + 660 a b c 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 1400 a b c + 1400 a b c + 660 a b c + 116 a c + 52 b c 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 372 a b c + 1020 a b c + 1400 a b c + 1020 a b c + 372 a b c 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 52 a c + 12 b c + 108 a b c + 372 a b c + 660 a b c + 660 a b c 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 372 a b c + 108 a b c + 12 a c + b + 12 a b + 52 a b + 116 a b 4 4 5 3 6 2 7 8 + 150 a b + 116 a b + 52 a b + 12 a b + a >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 29 c + 16 b c + 16 a c - 52 b c + 120 a b c - 52 a c + 112 b c 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 376 a b c + 376 a b c + 112 a c + 302 b c + 640 a b c 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 1108 a b c + 640 a b c + 302 a c + 112 b c + 640 a b c 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 1360 a b c + 1360 a b c + 640 a b c + 112 a c - 52 b c 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 376 a b c + 1108 a b c + 1360 a b c + 1108 a b c + 376 a b c 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 - 52 a c + 16 b c + 120 a b c + 376 a b c + 640 a b c + 640 a b c 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 376 a b c + 120 a b c + 16 a c + 29 b + 16 a b - 52 a b + 112 a b 4 4 5 3 6 2 7 8 + 302 a b + 112 a b - 52 a b + 16 a b + 29 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 3 4 3 4 5 3 104 b c + 104 a c + 4 b c + 4 a c + 20 a b c + 20 a b c + 4 b c 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 20 a b c + 40 a b c + 40 a b c + 20 a b c + 4 a c + 104 b c 3 3 2 6 2 3 4 4 3 2 6 3 5 + 40 a b c + 104 a c + 20 a b c + 20 a b c + 104 a b + 4 a b 5 3 6 2 8 7 7 6 2 5 + 4 a b + 104 a b >= 28 c + 4 b c + 4 a c + 12 a b c + 4 a b c 2 5 4 4 2 2 4 4 4 5 2 2 4 2 + 4 a b c + 152 b c + 88 a b c + 152 a c + 4 a b c + 88 a b c 4 2 2 5 2 7 6 2 5 5 2 + 88 a b c + 4 a b c + 4 b c + 12 a b c + 4 a b c + 4 a b c 6 7 8 7 4 4 7 8 + 12 a b c + 4 a c + 28 b + 4 a b + 152 a b + 4 a b + 28 a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (27 z + (113 y + 113 x) z + (263 y + 424 x y + 263 x ) z 3 2 2 3 5 + (397 y + 900 x y + 900 x y + 397 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (465 y + 1270 x y + 1350 x y + 1270 x y + 465 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (397 y + 1270 x y + 1320 x y + 1320 x y + 1270 x y + 397 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (263 y + 900 x y + 1350 x y + 1320 x y + 1350 x y + 900 x y 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 263 x ) z + (113 y + 424 x y + 900 x y + 1270 x y + 1270 x y 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 900 x y + 424 x y + 113 x ) z + 27 y + 113 x y + 263 x y + 397 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 465 x y + 397 x y + 263 x y + 113 x y + 27 x )/32 >= 8 7 2 2 6 (27 z + (113 y + 113 x) z + (263 y + 392 x y + 263 x ) z 3 2 2 3 5 + (397 y + 740 x y + 740 x y + 397 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (465 y + 950 x y + 1574 x y + 950 x y + 465 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (397 y + 950 x y + 2088 x y + 2088 x y + 950 x y + 397 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (263 y + 740 x y + 1574 x y + 2088 x y + 1574 x y + 740 x y 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 263 x ) z + (113 y + 392 x y + 740 x y + 950 x y + 950 x y 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 740 x y + 392 x y + 113 x ) z + 27 y + 113 x y + 263 x y + 397 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 465 x y + 397 x y + 263 x y + 113 x y + 27 x )/32 Multiplying both sides by 32 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 27 z + 113 y z + 113 x z + 263 y z + 424 x y z + 263 x z + 397 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 900 x y z + 900 x y z + 397 x z + 465 y z + 1270 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 1350 x y z + 1270 x y z + 465 x z + 397 y z + 1270 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 1320 x y z + 1320 x y z + 1270 x y z + 397 x z + 263 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 900 x y z + 1350 x y z + 1320 x y z + 1350 x y z + 900 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 + 263 x z + 113 y z + 424 x y z + 900 x y z + 1270 x y z 4 3 5 2 6 7 8 7 + 1270 x y z + 900 x y z + 424 x y z + 113 x z + 27 y + 113 x y 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 + 263 x y + 397 x y + 465 x y + 397 x y + 263 x y + 113 x y 8 8 7 7 2 6 6 2 6 + 27 x >= 27 z + 113 y z + 113 x z + 263 y z + 392 x y z + 263 x z 3 5 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 397 y z + 740 x y z + 740 x y z + 397 x z + 465 y z + 950 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 1574 x y z + 950 x y z + 465 x z + 397 y z + 950 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 2088 x y z + 2088 x y z + 950 x y z + 397 x z + 263 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 740 x y z + 1574 x y z + 2088 x y z + 1574 x y z + 740 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 263 x z + 113 y z + 392 x y z + 740 x y z + 950 x y z + 950 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 + 740 x y z + 392 x y z + 113 x z + 27 y + 113 x y + 263 x y 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 + 397 x y + 465 x y + 397 x y + 263 x y + 113 x y + 27 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 6 2 5 2 5 3 4 3 4 4 3 32 x y z + 160 x y z + 160 x y z + 320 x y z + 320 x y z + 320 x y z 4 3 5 2 5 2 6 2 5 + 320 x y z + 160 x y z + 160 x y z + 32 x y z + 160 x y z 3 4 4 3 5 2 6 + 320 x y z + 320 x y z + 160 x y z + 32 x y z >= 2 2 4 2 3 3 3 2 3 2 4 2 3 3 2 224 x y z + 768 x y z + 768 x y z + 224 x y z + 768 x y z 4 2 2 + 224 x y z Dividing both sides by 32 x y z gives: 5 4 4 2 3 2 3 3 2 3 2 4 z + 5 y z + 5 x z + 10 y z + 10 x z + 10 y z + 10 x z + 5 y z 4 5 4 2 3 3 2 4 5 + 5 x z + y + 5 x y + 10 x y + 10 x y + 5 x y + x >= 3 2 2 2 2 3 2 2 3 7 x y z + 24 x y z + 24 x y z + 7 x y z + 24 x y z + 7 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {5, 0, 0} + 10 {4, 1, 0} + 20 {3, 2, 0} >= 7 {3, 1, 1} + 24 {2, 2, 1} This follows from the following majorizations: {5, 0, 0} >= {3, 1, 1} 6 {4, 1, 0} >= 6 {3, 1, 1} 4 {4, 1, 0} >= 4 {2, 2, 1} 20 {3, 2, 0} >= 20 {2, 2, 1} Time= 106233 msec. (d14) true (c15) /* 7.10 */ trineq(r^3*(16*R-5*r)<=K^2); 2 3 To prove: K >= (16 R - 5 r) r Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 3 5 r + K >= 16 R r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 4 4 2 K s + 5 K 4 K a b c ------------ >= ---------- 4 3 s s 4 Multiplying both sides by s gives: 2 4 4 2 K s + 5 K >= 4 K a b c s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 4 4 2 F s + 5 F >= 4 F a b c s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 7 2 2 6 3 2 2 3 5 (c + (- b - a) c + (- 6 b - 3 a b - 6 a ) c + (b - a b - a b + a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (10 b + 5 a b + 10 a b + 5 a b + 10 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (b + 5 a b + 10 a b + 10 a b + 5 a b + a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (- 6 b - a b + 10 a b + 10 a b + 10 a b - a b - 6 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8 + (- b - 3 a b - a b + 5 a b + 5 a b - a b - 3 a b - a ) c + b 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 - a b - 6 a b + a b + 10 a b + a b - 6 a b - a b + a )/64 >= 6 2 2 5 3 3 4 - (a b c + (a b + a b) c + (- 2 a b - 2 a b) c 4 2 3 3 2 4 3 5 3 3 5 2 + (- 2 a b - 2 a b - 2 a b - 2 a b) c + (a b - 2 a b + a b) c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (a b + a b - 2 a b - 2 a b + a b + a b) c)/8 Multiplying both sides by 64 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 2 5 2 5 c - b c - a c - 6 b c - 3 a b c - 6 a c + b c - a b c - a b c 3 5 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4 4 5 3 + a c + 10 b c + 5 a b c + 10 a b c + 5 a b c + 10 a c + b c 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 5 a b c + 10 a b c + 10 a b c + 5 a b c + a c - 6 b c 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 7 - a b c + 10 a b c + 10 a b c + 10 a b c - a b c - 6 a c - b c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8 - 3 a b c - a b c + 5 a b c + 5 a b c - a b c - 3 a b c - a c + b 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 - a b - 6 a b + a b + 10 a b + a b - 6 a b - a b + a >= 6 2 5 2 5 3 4 3 4 4 3 - 8 a b c - 8 a b c - 8 a b c + 16 a b c + 16 a b c + 16 a b c 2 3 3 3 2 3 4 3 5 2 3 3 2 5 2 + 16 a b c + 16 a b c + 16 a b c - 8 a b c + 16 a b c - 8 a b c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 - 8 a b c - 8 a b c + 16 a b c + 16 a b c - 8 a b c - 8 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 6 3 5 2 5 2 5 3 5 4 4 2 2 4 c + 5 a b c + b c + 7 a b c + 7 a b c + a c + 10 b c + 10 a b c 4 4 5 3 5 3 5 2 2 4 2 4 2 2 5 2 + 10 a c + b c + a c + 7 a b c + 10 a b c + 10 a b c + 7 a b c 6 2 5 5 2 6 8 3 5 4 4 5 3 + 5 a b c + 7 a b c + 7 a b c + 5 a b c + b + a b + 10 a b + a b 8 7 7 2 6 2 6 3 4 3 4 4 3 + a >= b c + a c + 6 b c + 6 a c + 11 a b c + 11 a b c + 11 a b c 2 3 3 3 2 3 4 3 6 2 3 3 2 6 2 7 + 6 a b c + 6 a b c + 11 a b c + 6 b c + 6 a b c + 6 a c + b c 3 4 4 3 7 7 2 6 6 2 7 + 11 a b c + 11 a b c + a c + a b + 6 a b + 6 a b + a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (14 z + (80 y + 80 x) z + (219 y + 426 x y + 219 x ) z 3 2 2 3 5 + (363 y + 949 x y + 949 x y + 363 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (430 y + 1265 x y + 1870 x y + 1265 x y + 430 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (363 y + 1265 x y + 2260 x y + 2260 x y + 1265 x y + 363 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (219 y + 949 x y + 1870 x y + 2260 x y + 1870 x y + 949 x y 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 219 x ) z + (80 y + 426 x y + 949 x y + 1265 x y + 1265 x y 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 949 x y + 426 x y + 80 x ) z + 14 y + 80 x y + 219 x y + 363 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 430 x y + 363 x y + 219 x y + 80 x y + 14 x )/256 >= 8 7 2 2 6 (14 z + (80 y + 80 x) z + (219 y + 362 x y + 219 x ) z 3 2 2 3 5 + (363 y + 885 x y + 885 x y + 363 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (430 y + 1393 x y + 1806 x y + 1393 x y + 430 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (363 y + 1393 x y + 2260 x y + 2260 x y + 1393 x y + 363 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (219 y + 885 x y + 1806 x y + 2260 x y + 1806 x y + 885 x y 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 219 x ) z + (80 y + 362 x y + 885 x y + 1393 x y + 1393 x y 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 885 x y + 362 x y + 80 x ) z + 14 y + 80 x y + 219 x y + 363 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 430 x y + 363 x y + 219 x y + 80 x y + 14 x )/256 Multiplying both sides by 256 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 14 z + 80 y z + 80 x z + 219 y z + 426 x y z + 219 x z + 363 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 949 x y z + 949 x y z + 363 x z + 430 y z + 1265 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 1870 x y z + 1265 x y z + 430 x z + 363 y z + 1265 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 2260 x y z + 2260 x y z + 1265 x y z + 363 x z + 219 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 949 x y z + 1870 x y z + 2260 x y z + 1870 x y z + 949 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 219 x z + 80 y z + 426 x y z + 949 x y z + 1265 x y z + 1265 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 949 x y z + 426 x y z + 80 x z + 14 y + 80 x y + 219 x y + 363 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 430 x y + 363 x y + 219 x y + 80 x y + 14 x >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 14 z + 80 y z + 80 x z + 219 y z + 362 x y z + 219 x z + 363 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 885 x y z + 885 x y z + 363 x z + 430 y z + 1393 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 1806 x y z + 1393 x y z + 430 x z + 363 y z + 1393 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 2260 x y z + 2260 x y z + 1393 x y z + 363 x z + 219 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 885 x y z + 1806 x y z + 2260 x y z + 1806 x y z + 885 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 219 x z + 80 y z + 362 x y z + 885 x y z + 1393 x y z + 1393 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 885 x y z + 362 x y z + 80 x z + 14 y + 80 x y + 219 x y + 363 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 430 x y + 363 x y + 219 x y + 80 x y + 14 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 6 2 5 2 5 2 2 4 5 2 2 4 2 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z 4 2 2 5 2 6 2 5 5 2 + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z 6 3 4 3 4 4 3 4 3 + 64 x y z >= 128 x y z + 128 x y z + 128 x y z + 128 x y z 3 4 4 3 + 128 x y z + 128 x y z Dividing both sides by 64 x y z gives: 5 4 4 3 4 3 3 4 5 4 4 z + y z + x z + x y z + y z + x y z + x y z + x z + y + x y + x y 5 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 + x >= 2 y z + 2 x z + 2 y z + 2 x z + 2 x y + 2 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {5, 0, 0} + 2 {4, 1, 0} + {3, 1, 1} >= 4 {3, 2, 0} This follows from the following majorizations: 2 {4, 1, 0} >= 2 {3, 2, 0} {5, 0, 0} >= {3, 2, 0} left side: [{3, 1, 1}, 2 {4, 1, 0}, {5, 0, 0}] right side: [4 {3, 2, 0}] Time= 86233 msec. (d15) notyetimplemented (c16) trineq(K^2<=r^2*(3*r^2+4*R*r+4*R^2)); 2 2 2 2 To prove: r (3 r + 4 R r + 4 R ) >= K Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 4 a b c s + 4 K a b c s + 12 K 2 ---------------------------------- >= K 4 4 s 4 Multiplying both sides by 4 s gives: 2 2 2 2 2 4 2 4 a b c s + 4 K a b c s + 12 K >= 4 K s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 4 2 4 a b c s + 4 F a b c s + 12 F >= 4 F s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 2 2 6 2 2 5 (3 c + (- 12 b - 8 a b - 12 a ) c + (- 8 a b - 8 a b) c 4 3 2 2 3 4 4 + (18 b + 16 a b + 28 a b + 16 a b + 18 a ) c 4 2 3 3 2 4 3 + (16 a b + 48 a b + 48 a b + 16 a b) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (- 12 b - 8 a b + 28 a b + 48 a b + 28 a b - 8 a b - 12 a ) c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 8 + (- 8 a b - 8 a b + 16 a b + 16 a b - 8 a b - 8 a b) c + 3 b 2 6 4 4 6 2 8 - 12 a b + 18 a b - 12 a b + 3 a )/64 >= 8 7 2 2 6 - (c + (4 b + 4 a) c + (4 b + 12 a b + 4 a ) c 3 2 2 3 5 + (- 4 b + 4 a b + 4 a b - 4 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (- 10 b - 20 a b - 20 a b - 20 a b - 10 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (- 4 b - 20 a b - 40 a b - 40 a b - 20 a b - 4 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (4 b + 4 a b - 20 a b - 40 a b - 20 a b + 4 a b + 4 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 + (4 b + 12 a b + 4 a b - 20 a b - 20 a b + 4 a b + 12 a b + 4 a ) 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 c + b + 4 a b + 4 a b - 4 a b - 10 a b - 4 a b + 4 a b + 4 a b 8 + a )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 8 2 6 6 2 6 2 5 2 5 4 4 3 c - 12 b c - 8 a b c - 12 a c - 8 a b c - 8 a b c + 18 b c 3 4 2 2 4 3 4 4 4 4 3 2 3 3 + 16 a b c + 28 a b c + 16 a b c + 18 a c + 16 a b c + 48 a b c 3 2 3 4 3 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 + 48 a b c + 16 a b c - 12 b c - 8 a b c + 28 a b c + 48 a b c 4 2 2 5 2 6 2 6 2 5 3 4 + 28 a b c - 8 a b c - 12 a c - 8 a b c - 8 a b c + 16 a b c 4 3 5 2 6 8 2 6 4 4 6 2 + 16 a b c - 8 a b c - 8 a b c + 3 b - 12 a b + 18 a b - 12 a b 8 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 + 3 a >= - c - 4 b c - 4 a c - 4 b c - 12 a b c - 4 a c + 4 b c 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 2 2 4 - 4 a b c - 4 a b c + 4 a c + 10 b c + 20 a b c + 20 a b c 3 4 4 4 5 3 4 3 2 3 3 3 2 3 + 20 a b c + 10 a c + 4 b c + 20 a b c + 40 a b c + 40 a b c 4 3 5 3 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 + 20 a b c + 4 a c - 4 b c - 4 a b c + 20 a b c + 40 a b c 4 2 2 5 2 6 2 7 6 2 5 + 20 a b c - 4 a b c - 4 a c - 4 b c - 12 a b c - 4 a b c 3 4 4 3 5 2 6 7 8 7 + 20 a b c + 20 a b c - 4 a b c - 12 a b c - 4 a c - b - 4 a b 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 - 4 a b + 4 a b + 10 a b + 4 a b - 4 a b - 4 a b - a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 7 7 6 4 4 2 2 4 4 4 2 3 3 4 c + 4 b c + 4 a c + 4 a b c + 8 b c + 8 a b c + 8 a c + 8 a b c 3 2 3 2 4 2 3 3 2 4 2 2 7 6 + 8 a b c + 8 a b c + 8 a b c + 8 a b c + 4 b c + 4 a b c 6 7 8 7 4 4 7 8 + 4 a b c + 4 a c + 4 b + 4 a b + 8 a b + 4 a b + 4 a >= 2 6 2 6 3 5 2 5 2 5 3 5 3 4 8 b c + 8 a c + 4 b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a c + 4 a b c 3 4 5 3 4 3 4 3 5 3 6 2 5 2 + 4 a b c + 4 b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a c + 8 b c + 4 a b c 5 2 6 2 2 5 3 4 4 3 5 2 + 4 a b c + 8 a c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c 2 6 3 5 5 3 6 2 + 8 a b + 4 a b + 4 a b + 8 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (6 z + (28 y + 28 x) z + (81 y + 86 x y + 81 x ) z 3 2 2 3 5 + (157 y + 183 x y + 183 x y + 157 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (198 y + 291 x y + 338 x y + 291 x y + 198 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (157 y + 291 x y + 452 x y + 452 x y + 291 x y + 157 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (81 y + 183 x y + 338 x y + 452 x y + 338 x y + 183 x y + 81 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (28 y + 86 x y + 183 x y + 291 x y + 291 x y + 183 x y + 86 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 28 x ) z + 6 y + 28 x y + 81 x y + 157 x y + 198 x y + 157 x y 6 2 7 8 8 7 + 81 x y + 28 x y + 6 x )/64 >= (6 z + (28 y + 28 x) z 2 2 6 3 2 2 3 5 + (65 y + 118 x y + 65 x ) z + (93 y + 247 x y + 247 x y + 93 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (102 y + 323 x y + 402 x y + 323 x y + 102 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (93 y + 323 x y + 420 x y + 420 x y + 323 x y + 93 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (65 y + 247 x y + 402 x y + 420 x y + 402 x y + 247 x y + 65 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (28 y + 118 x y + 247 x y + 323 x y + 323 x y + 247 x y + 118 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 28 x ) z + 6 y + 28 x y + 65 x y + 93 x y + 102 x y + 93 x y 6 2 7 8 + 65 x y + 28 x y + 6 x )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 6 z + 28 y z + 28 x z + 81 y z + 86 x y z + 81 x z + 157 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 183 x y z + 183 x y z + 157 x z + 198 y z + 291 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 338 x y z + 291 x y z + 198 x z + 157 y z + 291 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 452 x y z + 452 x y z + 291 x y z + 157 x z + 81 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 183 x y z + 338 x y z + 452 x y z + 338 x y z + 183 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 81 x z + 28 y z + 86 x y z + 183 x y z + 291 x y z + 291 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 183 x y z + 86 x y z + 28 x z + 6 y + 28 x y + 81 x y + 157 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 198 x y + 157 x y + 81 x y + 28 x y + 6 x >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 6 z + 28 y z + 28 x z + 65 y z + 118 x y z + 65 x z + 93 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 247 x y z + 247 x y z + 93 x z + 102 y z + 323 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 402 x y z + 323 x y z + 102 x z + 93 y z + 323 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 420 x y z + 420 x y z + 323 x y z + 93 x z + 65 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 247 x y z + 402 x y z + 420 x y z + 402 x y z + 247 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 65 x z + 28 y z + 118 x y z + 247 x y z + 323 x y z + 323 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 247 x y z + 118 x y z + 28 x z + 6 y + 28 x y + 65 x y + 93 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 102 x y + 93 x y + 65 x y + 28 x y + 6 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 4 4 5 3 16 y z + 16 x z + 64 y z + 64 x z + 96 y z + 96 x z + 64 y z 2 3 3 3 2 3 5 3 6 2 3 3 2 6 2 + 32 x y z + 32 x y z + 64 x z + 16 y z + 32 x y z + 16 x z 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 16 x y + 64 x y + 96 x y + 64 x y + 16 x y >= 6 2 5 2 5 3 4 2 2 4 3 4 32 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 32 x y z 4 3 4 3 5 2 2 4 2 4 2 2 + 32 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z 5 2 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 64 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 32 x y z + 32 x y z + 64 x y z 6 + 32 x y z 2 Dividing both sides by 16 (z + y + x) gives: 2 4 2 4 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 y z + x z + 2 y z - 2 x y z - 2 x y z + 2 x z + y z - 2 x y z 2 2 2 3 2 4 2 2 3 3 2 2 4 3 3 + 6 x y z - 2 x y z + x z - 2 x y z - 2 x y z + x y + 2 x y 4 2 4 4 4 + x y >= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 2 4 3 3 3 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 y z + x z + 2 y z + 2 x z + y z + 6 x y z + x z + x y 3 3 4 2 4 2 3 2 3 3 2 3 2 + 2 x y + x y >= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z 4 2 3 3 2 4 + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 2, 0} + {3, 3, 0} + {2, 2, 2} >= {4, 1, 1} + 2 {3, 2, 1} This follows from the following majorizations: {3, 3, 0} + {2, 2, 2} >= 2 {3, 2, 1} {4, 2, 0} >= {4, 1, 1} Time= 108983 msec. (d16) true (c17) /* 7.12 */ trineq(9*r/(2*K)<=csum(1/a)); 1 1 1 9 r To prove: - + - + - >= --- c b a 2 K Let r = K/s . We get: (b + a) c + a b 9 --------------- >= --- a b c 2 s Multiplying both sides by 2 a b c s gives: 2 b c s + 2 a c s + 2 a b s >= 9 a b c Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 2 2 2 (b + a) c + (b + 3 a b + a ) c + a b + a b >= 9 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 2 2 2 b c + a c + b c + a c + a b + a b >= 6 a b c Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 3 2 2 2 3 2 2 (2 z + (5 y + 5 x) z + (5 y + 12 x y + 5 x ) z + 2 y + 5 x y + 5 x y 2 2 2 2 2 3 (3 y + 3 x) z + (3 y + 6 x y + 3 x ) z + 3 x y + 3 x y + 2 x )/8 >= ---------------------------------------------------------- 4 Multiplying both sides by 8 gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 2 z + 5 y z + 5 x z + 5 y z + 12 x y z + 5 x z + 2 y + 5 x y + 5 x y 3 2 2 2 2 2 2 + 2 x >= 6 y z + 6 x z + 6 y z + 12 x y z + 6 x z + 6 x y + 6 x y Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 z + 2 y + 2 x >= y z + x z + y z + x z + x y + x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {3, 0, 0} >= {2, 1, 0} This result follows from the majorization theorem. Time= 19100 msec. (d17) true (c18) trineq(csum(1/a)<=9*R/(4*K)); 9 R 1 1 1 To prove: --- >= - + - + - 4 K c b a Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 9 a b c (b + a) c + a b ------- >= --------------- 2 a b c 16 K 2 Multiplying both sides by 16 K a b c gives: 2 2 2 2 2 2 9 a b c >= 16 K b c + 16 K a c + 16 K a b Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 2 9 a b c >= (16 F b + 16 F a) c + 16 F a b Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 2 5 4 3 2 2 3 3 9 a b c >= (- b - a) c - a b c + (2 b + 2 a b + 2 a b + 2 a ) c 3 3 2 5 4 2 3 3 2 4 5 + (2 a b + 2 a b) c + (- b - a b + 2 a b + 2 a b - a b - a ) c 5 3 3 5 - a b + 2 a b - a b Expanding and collecting terms of the same sign gives: 5 5 4 2 2 2 5 4 4 5 5 b c + a c + a b c + 9 a b c + b c + a b c + a b c + a c + a b 5 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 2 + a b >= 2 b c + 2 a b c + 2 a b c + 2 a c + 2 a b c + 2 a b c 2 3 3 2 3 3 + 2 a b c + 2 a b c + 2 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 6 5 2 2 4 (2 z + (10 y + 10 x) z + (29 y + 48 x y + 29 x ) z 3 2 2 3 3 + (44 y + 88 x y + 88 x y + 44 x ) z 4 3 2 2 3 4 2 + (29 y + 88 x y + 108 x y + 88 x y + 29 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 6 5 + (10 y + 48 x y + 88 x y + 88 x y + 48 x y + 10 x ) z + 2 y + 10 x y 2 4 3 3 4 2 5 6 + 29 x y + 44 x y + 29 x y + 10 x y + 2 x )/64 >= 6 5 2 2 4 (z + (5 y + 5 x) z + (10 y + 23 x y + 10 x ) z 3 2 2 3 3 + (13 y + 49 x y + 49 x y + 13 x ) z 4 3 2 2 3 4 2 + (10 y + 49 x y + 81 x y + 49 x y + 10 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 6 5 + (5 y + 23 x y + 49 x y + 49 x y + 23 x y + 5 x ) z + y + 5 x y 2 4 3 3 4 2 5 6 + 10 x y + 13 x y + 10 x y + 5 x y + x )/32 Multiplying both sides by 64 gives: 6 5 5 2 4 4 2 4 3 3 2 z + 10 y z + 10 x z + 29 y z + 48 x y z + 29 x z + 44 y z 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 2 2 2 + 88 x y z + 88 x y z + 44 x z + 29 y z + 88 x y z + 108 x y z 3 2 4 2 5 4 2 3 3 2 + 88 x y z + 29 x z + 10 y z + 48 x y z + 88 x y z + 88 x y z 4 5 6 5 2 4 3 3 4 2 + 48 x y z + 10 x z + 2 y + 10 x y + 29 x y + 44 x y + 29 x y 5 6 6 5 5 2 4 4 2 4 + 10 x y + 2 x >= 2 z + 10 y z + 10 x z + 20 y z + 46 x y z + 20 x z 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 + 26 y z + 98 x y z + 98 x y z + 26 x z + 20 y z + 98 x y z 2 2 2 3 2 4 2 5 4 2 3 + 162 x y z + 98 x y z + 20 x z + 10 y z + 46 x y z + 98 x y z 3 2 4 5 6 5 2 4 3 3 + 98 x y z + 46 x y z + 10 x z + 2 y + 10 x y + 20 x y + 26 x y 4 2 5 6 + 20 x y + 10 x y + 2 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 4 2 4 3 3 3 3 4 2 4 2 9 y z + 2 x y z + 9 x z + 18 y z + 18 x z + 9 y z + 9 x z 4 4 2 4 3 3 4 2 + 2 x y z + 2 x y z + 9 x y + 18 x y + 9 x y >= 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 10 x y z + 10 x y z + 10 x y z + 54 x y z + 10 x y z + 10 x y z 3 2 + 10 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 9 {4, 2, 0} + {4, 1, 1} + 9 {3, 3, 0} >= 10 {3, 2, 1} + 9 {2, 2, 2} This follows from the following majorizations: 9 {4, 2, 0} >= 9 {3, 2, 1} {4, 1, 1} >= {3, 2, 1} 9 {3, 3, 0} >= 9 {2, 2, 2} Time= 55650 msec. (d18) true (c19) /* 7.13 */ trineq(4*R*r+r^2<=K*sqrt(3)+(1/2)*csum((a-b)^2)); 2 2 2 (c - a) + (b - c) + (a - b) 2 To prove: ------------------------------ + sqrt(3) K >= r + 4 R r 2 Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 2 c + b + a + sqrt(3) K >= r + 4 R r + b c + a c + a b Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 ((b + a) c + a b) s + a b c s + K c + b + a + sqrt(3) K >= ----------------------------------- 2 s 2 Multiplying both sides by s gives: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c s + b s + a s + sqrt(3) K s >= b c s + a c s + a b s + a b c s + K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 2 (c + b + a + sqrt(3) K) s >= ((b + a) c + a b) s + a b c s + F left side: [8 {2, 1, 1}, 2 {2, 2, 0}] right side: [{4, 0, 0}] Warning: cannot determine if the other side, 2 2 2 2 2 2 - (c + b + a ) s + ((b + a) c + a b) s + a b c s + F is positive. (Assuming it is.) Bringing all terms involving K to the left side yields: 2 2 2 2 2 2 2 sqrt(3) K s >= - (c + b + a ) s + ((b + a) c + a b) s + a b c s + F 2 Since sqrt(3) s is positive, and since 2 2 2 2 2 2 - (c + b + a ) s + ((b + a) c + a b) s + a b c s + F is positive, we can square both sides to get: 8 7 6 5 3 s + (- 3 c - 3 b - 3 a) s + ((3 b + 3 a) c + 3 a b) s - 3 a b c s >= 4 3 2 2 2 3 3 4 3 (c + (- 2 b - 2 a) c + (3 b + 3 a ) c + (- 2 b - 2 a ) c + b - 2 a b 2 2 3 4 4 3 2 2 2 + 3 a b - 2 a b + a ) s + (- 2 a b c + (2 a b + 2 a b) c 3 2 2 3 3 2 2 2 2 + (- 2 a b + 2 a b - 2 a b) c) s + ((a b - 2 F ) c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 + (2 F b + 2 F a) c - 2 F b + 2 F a b - 2 F a ) s + 2 F a b c s + F Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 6 6 6 3 4 3 4 3 4 3 s + 3 b c s + 3 a c s + 3 a b s + 2 b c s + 2 a c s + 2 b c s 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 3 + 2 a c s + 2 a b s + 2 a b s + 2 a b c s + 2 a b c s + 2 a b c s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2 F c s + 2 F b s + 2 F a s >= 7 7 7 5 4 4 2 2 4 2 2 4 4 4 3 c s + 3 b s + 3 a s + 3 a b c s + c s + 3 b c s + 3 a c s + b s 2 2 4 4 4 2 2 3 2 2 3 2 2 3 + 3 a b s + a s + 2 a b c s + 2 a b c s + 2 a b c s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 + a b c s + 2 F b c s + 2 F a c s + 2 F a b s + 2 F a b c s + F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 7 2 2 6 - (5 c + (- 52 b - 52 a) c + (- 284 b - 628 a b - 284 a ) c 3 2 2 3 5 + (- 588 b - 1900 a b - 1900 a b - 588 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (- 722 b - 2924 a b - 4276 a b - 2924 a b - 722 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (- 588 b - 2924 a b - 5320 a b - 5320 a b - 2924 a b - 588 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (- 284 b - 1900 a b - 4276 a b - 5320 a b - 4276 a b - 1900 a b 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 - 284 a ) c + (- 52 b - 628 a b - 1900 a b - 2924 a b - 2924 a b 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 - 1900 a b - 628 a b - 52 a ) c + 5 b - 52 a b - 284 a b - 588 a b 4 4 5 3 6 2 7 8 - 722 a b - 588 a b - 284 a b - 52 a b + 5 a )/256 >= 8 7 2 2 6 (23 c + (104 b + 104 a) c + (292 b + 496 a b + 292 a ) c 3 2 2 3 5 + (600 b + 1536 a b + 1536 a b + 600 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (778 b + 2856 a b + 4284 a b + 2856 a b + 778 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (600 b + 2856 a b + 6080 a b + 6080 a b + 2856 a b + 600 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (292 b + 1536 a b + 4284 a b + 6080 a b + 4284 a b + 1536 a b 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 292 a ) c + (104 b + 496 a b + 1536 a b + 2856 a b + 2856 a b 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 1536 a b + 496 a b + 104 a ) c + 23 b + 104 a b + 292 a b + 600 a b 4 4 5 3 6 2 7 8 + 778 a b + 600 a b + 292 a b + 104 a b + 23 a )/256 Multiplying both sides by 256 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 - 5 c + 52 b c + 52 a c + 284 b c + 628 a b c + 284 a c + 588 b c 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 1900 a b c + 1900 a b c + 588 a c + 722 b c + 2924 a b c 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 4276 a b c + 2924 a b c + 722 a c + 588 b c + 2924 a b c 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 5320 a b c + 5320 a b c + 2924 a b c + 588 a c + 284 b c 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 1900 a b c + 4276 a b c + 5320 a b c + 4276 a b c + 1900 a b c 6 2 7 6 2 5 3 4 + 284 a c + 52 b c + 628 a b c + 1900 a b c + 2924 a b c 4 3 5 2 6 7 8 7 + 2924 a b c + 1900 a b c + 628 a b c + 52 a c - 5 b + 52 a b 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 + 284 a b + 588 a b + 722 a b + 588 a b + 284 a b + 52 a b 8 8 7 7 2 6 6 2 6 - 5 a >= 23 c + 104 b c + 104 a c + 292 b c + 496 a b c + 292 a c 3 5 2 5 2 5 3 5 4 4 + 600 b c + 1536 a b c + 1536 a b c + 600 a c + 778 b c 3 4 2 2 4 3 4 4 4 5 3 + 2856 a b c + 4284 a b c + 2856 a b c + 778 a c + 600 b c 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 + 2856 a b c + 6080 a b c + 6080 a b c + 2856 a b c + 600 a c 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 292 b c + 1536 a b c + 4284 a b c + 6080 a b c + 4284 a b c 5 2 6 2 7 6 2 5 + 1536 a b c + 292 a c + 104 b c + 496 a b c + 1536 a b c 3 4 4 3 5 2 6 7 8 + 2856 a b c + 2856 a b c + 1536 a b c + 496 a b c + 104 a c + 23 b 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 104 a b + 292 a b + 600 a b + 778 a b + 600 a b + 292 a b 7 8 + 104 a b + 23 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 6 2 5 2 5 3 4 3 4 4 3 132 a b c + 364 a b c + 364 a b c + 68 a b c + 68 a b c + 68 a b c 4 3 5 2 5 2 6 2 5 + 68 a b c + 364 a b c + 364 a b c + 132 a b c + 364 a b c 3 4 4 3 5 2 6 + 68 a b c + 68 a b c + 364 a b c + 132 a b c >= 8 7 7 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 28 c + 52 b c + 52 a c + 8 b c + 8 a c + 12 b c + 12 a c + 56 b c 2 2 4 4 4 5 3 2 3 3 3 2 3 5 3 + 8 a b c + 56 a c + 12 b c + 760 a b c + 760 a b c + 12 a c 6 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 6 2 7 + 8 b c + 8 a b c + 760 a b c + 8 a b c + 8 a c + 52 b c 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 52 a c + 28 b + 52 a b + 8 a b + 12 a b + 56 a b + 12 a b 6 2 7 8 + 8 a b + 52 a b + 28 a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 7 2 2 6 ((282 y + 282 x) z + (1169 y + 2338 x y + 1169 x ) z 3 2 2 3 5 + (2229 y + 6013 x y + 6013 x y + 2229 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (2684 y + 8141 x y + 10914 x y + 8141 x y + 2684 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (2229 y + 8141 x y + 12140 x y + 12140 x y + 8141 x y + 2229 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (1169 y + 6013 x y + 10914 x y + 12140 x y + 10914 x y + 6013 x y 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 1169 x ) z + (282 y + 2338 x y + 6013 x y + 8141 x y + 8141 x y 5 2 6 7 7 2 6 3 5 + 6013 x y + 2338 x y + 282 x ) z + 282 x y + 1169 x y + 2229 x y 4 4 5 3 6 2 7 + 2684 x y + 2229 x y + 1169 x y + 282 x y)/64 >= 8 7 2 2 6 (64 z + (282 y + 282 x) z + (913 y + 1122 x y + 913 x ) z 3 2 2 3 5 + (2229 y + 4029 x y + 4029 x y + 2229 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (3068 y + 8269 x y + 11426 x y + 8269 x y + 3068 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (2229 y + 8269 x y + 16620 x y + 16620 x y + 8269 x y + 2229 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (913 y + 4029 x y + 11426 x y + 16620 x y + 11426 x y + 4029 x y 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 913 x ) z + (282 y + 1122 x y + 4029 x y + 8269 x y + 8269 x y 5 2 6 7 8 7 2 6 + 4029 x y + 1122 x y + 282 x ) z + 64 y + 282 x y + 913 x y 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 + 2229 x y + 3068 x y + 2229 x y + 913 x y + 282 x y + 64 x )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 7 7 2 6 6 2 6 3 5 282 y z + 282 x z + 1169 y z + 2338 x y z + 1169 x z + 2229 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 6013 x y z + 6013 x y z + 2229 x z + 2684 y z + 8141 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 10914 x y z + 8141 x y z + 2684 x z + 2229 y z + 8141 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 12140 x y z + 12140 x y z + 8141 x y z + 2229 x z + 1169 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 6013 x y z + 10914 x y z + 12140 x y z + 10914 x y z 5 2 6 2 7 6 2 5 + 6013 x y z + 1169 x z + 282 y z + 2338 x y z + 6013 x y z 3 4 4 3 5 2 6 7 + 8141 x y z + 8141 x y z + 6013 x y z + 2338 x y z + 282 x z 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 282 x y + 1169 x y + 2229 x y + 2684 x y + 2229 x y + 1169 x y 7 8 7 7 2 6 6 + 282 x y >= 64 z + 282 y z + 282 x z + 913 y z + 1122 x y z 2 6 3 5 2 5 2 5 3 5 + 913 x z + 2229 y z + 4029 x y z + 4029 x y z + 2229 x z 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4 4 + 3068 y z + 8269 x y z + 11426 x y z + 8269 x y z + 3068 x z 5 3 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 + 2229 y z + 8269 x y z + 16620 x y z + 16620 x y z + 8269 x y z 5 3 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 + 2229 x z + 913 y z + 4029 x y z + 11426 x y z + 16620 x y z 4 2 2 5 2 6 2 7 6 + 11426 x y z + 4029 x y z + 913 x z + 282 y z + 1122 x y z 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + 4029 x y z + 8269 x y z + 8269 x y z + 4029 x y z + 1122 x y z 7 8 7 2 6 3 5 4 4 + 282 x z + 64 y + 282 x y + 913 x y + 2229 x y + 3068 x y 5 3 6 2 7 8 + 2229 x y + 913 x y + 282 x y + 64 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 6 2 6 2 5 2 5 6 2 256 y z + 1216 x y z + 256 x z + 1984 x y z + 1984 x y z + 256 y z 5 2 5 2 6 2 6 2 5 + 1984 x y z + 1984 x y z + 256 x z + 1216 x y z + 1984 x y z 5 2 6 2 6 6 2 + 1984 x y z + 1216 x y z + 256 x y + 256 x y >= 8 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4 4 64 z + 384 y z + 128 x y z + 512 x y z + 128 x y z + 384 x z 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 2 4 2 + 128 x y z + 4480 x y z + 4480 x y z + 128 x y z + 512 x y z 3 3 2 4 2 2 3 4 4 3 8 4 4 + 4480 x y z + 512 x y z + 128 x y z + 128 x y z + 64 y + 384 x y 8 + 64 x Dividing both sides by 64 gives: 2 6 6 2 6 2 5 2 5 6 2 5 2 4 y z + 19 x y z + 4 x z + 31 x y z + 31 x y z + 4 y z + 31 x y z 5 2 6 2 6 2 5 5 2 6 + 31 x y z + 4 x z + 19 x y z + 31 x y z + 31 x y z + 19 x y z 2 6 6 2 8 4 4 3 4 2 2 4 3 4 + 4 x y + 4 x y >= z + 6 y z + 2 x y z + 8 x y z + 2 x y z 4 4 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 2 4 2 + 6 x z + 2 x y z + 70 x y z + 70 x y z + 2 x y z + 8 x y z 3 3 2 4 2 2 3 4 4 3 8 4 4 8 + 70 x y z + 8 x y z + 2 x y z + 2 x y z + y + 6 x y + x Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 8 {6, 2, 0} + 19 {6, 1, 1} + 62 {5, 2, 1} >= {8, 0, 0} + 6 {4, 4, 0} + 4 {4, 3, 1} + 8 {4, 2, 2} + 70 {3, 3, 2} This follows from the following majorizations: 6 {6, 2, 0} >= 6 {4, 4, 0} left side: [62 {5, 2, 1}, 19 {6, 1, 1}, 8 {6, 2, 0}] right side: [70 {3, 3, 2}, 8 {4, 2, 2}, 4 {4, 3, 1}, 6 {4, 4, 0}, {8, 0, 0}] Time= 174066 msec. (d19) notsure (c20) print("Summary:") $ Summary: Time= 33 msec. (c21) print("Proved",triangtrue,"inequalities out of",triangcount,".") $ Proved 6 inequalities out of 15 . Time= 50 msec. Time= 2991016 msec. (d22) BATCH DONE (c23)