DOE MACSYMA Version 10. (c1) Batching the file triang Batching done. (d1) triang (c2) (c3) /* */ showproof: true $ (c4) /* 5.1 */ trineq(2*r<=R); To prove: R >= 2 r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: a b c 2 K ----- >= --- 4 K s Multiplying both sides by 4 K s gives: 2 a b c s >= 8 K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 a b c s >= 8 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 a b c + (a b + a b) c c + (- 2 b - 2 a ) c + b - 2 a b + a ------------------------ >= - ------------------------------------------- 2 2 Multiplying both sides by 2 gives: 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 a b c + a b c + a b c >= - c + 2 b c + 2 a c - b + 2 a b - a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 c + a b c + a b c + a b c + b + a >= 2 b c + 2 a c + 2 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (z + (3 y + 3 x) z + (5 y + 4 x y + 5 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (3 y + 4 x y + 4 x y + 3 x ) z + y + 3 x y + 5 x y + 3 x y + x ) 4 3 2 2 2 /8 >= (z + (2 y + 2 x) z + (3 y + 8 x y + 3 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (2 y + 8 x y + 8 x y + 2 x ) z + y + 2 x y + 3 x y + 2 x y + x )/8 Multiplying both sides by 8 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 z + 3 y z + 3 x z + 5 y z + 4 x y z + 5 x z + 3 y z + 4 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 4 x y z + 3 x z + y + 3 x y + 5 x y + 3 x y + x >= 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 z + 2 y z + 2 x z + 3 y z + 8 x y z + 3 x z + 2 y z + 8 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 8 x y z + 2 x z + y + 2 x y + 3 x y + 2 x y + x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 y z + x z + 2 y z + 2 x z + y z + x z + x y + 2 x y + x y >= 2 2 2 4 x y z + 4 x y z + 4 x y z Dividing both sides by z + y + x gives: 2 2 2 2 2 2 y z + x z + y z - 2 x y z + x z + x y + x y >= 4 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 2 2 2 y z + x z + y z + x z + x y + x y >= 6 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {2, 1, 0} >= {1, 1, 1} This result follows from the majorization theorem. (d4) true (c5) /* 5.3 */ trineq(csum(a)<=3*R*sqrt(3)); To prove: 3 sqrt(3) R >= c + b + a Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 3 sqrt(3) a b c --------------- >= c + b + a 4 K Multiplying both sides by 4 K gives: 3 sqrt(3) a b c >= 4 K c + 4 K b + 4 K a Since 4 c + 4 b + 4 a is positive, and since 3 sqrt(3) a b c is positive, we can square both sides to get: 2 2 2 2 2 2 4 27 a b c >= (16 c + (32 b + 32 a) c + 16 b + 32 a b + 16 a ) s 3 2 2 2 3 + (- 16 c + (- 48 b - 48 a) c + (- 48 b - 96 a b - 48 a ) c - 16 b 2 2 3 3 3 - 48 a b - 48 a b - 16 a ) s + ((16 b + 16 a) c 2 2 2 3 2 2 3 + (32 b + 80 a b + 32 a ) c + (16 b + 80 a b + 80 a b + 16 a ) c 3 2 2 3 2 3 2 2 2 + 16 a b + 32 a b + 16 a b) s + (- 16 a b c + (- 32 a b - 32 a b) c 3 2 2 3 + (- 16 a b - 32 a b - 16 a b) c) s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 16 c s + 48 b c s + 48 a c s + 48 b c s + 96 a b c s + 48 a c s 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 2 + 16 b s + 48 a b s + 48 a b s + 16 a s + 16 a b c s + 32 a b c s 2 2 3 2 2 3 2 2 2 + 32 a b c s + 16 a b c s + 32 a b c s + 16 a b c s + 27 a b c >= 2 4 4 4 2 4 4 2 4 3 2 16 c s + 32 b c s + 32 a c s + 16 b s + 32 a b s + 16 a s + 16 b c s 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 + 16 a c s + 32 b c s + 80 a b c s + 32 a c s + 16 b c s 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 + 80 a b c s + 80 a b c s + 16 a c s + 16 a b s + 32 a b s 3 2 + 16 a b s Let s = (c+b+a)/2 . We get: 6 5 2 2 4 2 c + (12 b + 12 a) c + (30 b + 68 a b + 30 a ) c 3 2 2 3 3 + (40 b + 144 a b + 144 a b + 40 a ) c 4 3 2 2 3 4 2 + (30 b + 144 a b + 255 a b + 144 a b + 30 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 6 + (12 b + 68 a b + 144 a b + 144 a b + 68 a b + 12 a ) c + 2 b 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + 12 a b + 30 a b + 40 a b + 30 a b + 12 a b + 2 a >= 6 5 2 2 4 c + (10 b + 10 a) c + (31 b + 66 a b + 31 a ) c 3 2 2 3 3 + (44 b + 148 a b + 148 a b + 44 a ) c 4 3 2 2 3 4 2 + (31 b + 148 a b + 234 a b + 148 a b + 31 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 6 5 + (10 b + 66 a b + 148 a b + 148 a b + 66 a b + 10 a ) c + b + 10 a b 2 4 3 3 4 2 5 6 + 31 a b + 44 a b + 31 a b + 10 a b + a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 6 5 5 4 2 2 2 5 4 4 c + 2 b c + 2 a c + 2 a b c + 21 a b c + 2 b c + 2 a b c + 2 a b c 5 6 5 5 6 + 2 a c + b + 2 a b + 2 a b + a >= 2 4 2 4 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 b c + a c + 4 b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a c + b c + 4 a b c 3 2 4 2 2 3 3 2 2 4 3 3 4 2 + 4 a b c + a c + 4 a b c + 4 a b c + a b + 4 a b + a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 6 5 2 2 4 (3 z + (13 y + 13 x) z + (38 y + 51 x y + 38 x ) z 3 2 2 3 3 + (57 y + 97 x y + 97 x y + 57 x ) z 4 3 2 2 3 4 2 + (38 y + 97 x y + 123 x y + 97 x y + 38 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 6 5 + (13 y + 51 x y + 97 x y + 97 x y + 51 x y + 13 x ) z + 3 y + 13 x y 2 4 3 3 4 2 5 6 + 38 x y + 57 x y + 38 x y + 13 x y + 3 x )/32 >= 6 5 2 2 4 (6 z + (26 y + 26 x) z + (49 y + 112 x y + 49 x ) z 3 2 2 3 3 + (60 y + 224 x y + 224 x y + 60 x ) z 4 3 2 2 3 4 2 + (49 y + 224 x y + 360 x y + 224 x y + 49 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 6 + (26 y + 112 x y + 224 x y + 224 x y + 112 x y + 26 x ) z + 6 y 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + 26 x y + 49 x y + 60 x y + 49 x y + 26 x y + 6 x )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 6 5 5 2 4 4 2 4 3 3 6 z + 26 y z + 26 x z + 76 y z + 102 x y z + 76 x z + 114 y z 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 + 194 x y z + 194 x y z + 114 x z + 76 y z + 194 x y z 2 2 2 3 2 4 2 5 4 2 3 + 246 x y z + 194 x y z + 76 x z + 26 y z + 102 x y z + 194 x y z 3 2 4 5 6 5 2 4 3 3 + 194 x y z + 102 x y z + 26 x z + 6 y + 26 x y + 76 x y + 114 x y 4 2 5 6 6 5 5 2 4 + 76 x y + 26 x y + 6 x >= 6 z + 26 y z + 26 x z + 49 y z 4 2 4 3 3 2 3 2 3 3 3 + 112 x y z + 49 x z + 60 y z + 224 x y z + 224 x y z + 60 x z 4 2 3 2 2 2 2 3 2 4 2 5 + 49 y z + 224 x y z + 360 x y z + 224 x y z + 49 x z + 26 y z 4 2 3 3 2 4 5 6 + 112 x y z + 224 x y z + 224 x y z + 112 x y z + 26 x z + 6 y 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + 26 x y + 49 x y + 60 x y + 49 x y + 26 x y + 6 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 2 4 3 3 3 3 4 2 4 2 2 4 27 y z + 27 x z + 54 y z + 54 x z + 27 y z + 27 x z + 27 x y 3 3 4 2 4 2 3 2 3 3 2 + 54 x y + 27 x y >= 10 x y z + 30 x y z + 30 x y z + 30 x y z 2 2 2 3 2 4 2 3 3 2 4 + 114 x y z + 30 x y z + 10 x y z + 30 x y z + 30 x y z + 10 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 27 {4, 2, 0} + 27 {3, 3, 0} >= 5 {4, 1, 1} + 30 {3, 2, 1} + 19 {2, 2, 2} This follows from the following majorizations: 5 {4, 2, 0} >= 5 {4, 1, 1} 22 {4, 2, 0} >= 22 {3, 2, 1} 8 {3, 3, 0} >= 8 {3, 2, 1} 19 {3, 3, 0} >= 19 {2, 2, 2} (d5) true (c6) /* 5.4 */ trineq(s<=2*R+(3*sqrt(3)-4)*r); To prove: (3 sqrt(3) - 4) r + 2 R >= s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 sqrt(3) r + 2 R >= s + 4 r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) K s + 4 K ---------------------- >= -------- 2 K s s Multiplying both sides by 2 K s gives: 2 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) K >= 2 K s + 8 K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) F >= 2 K s + 8 F Bringing all terms involving K to the right side yields: 2 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) F - 8 F >= 2 K s 2 Since 2 s is positive, and since 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) F - 8 F is positive, we can square both sides to get: 2 2 2 2 2 4 a b c s + (12 sqrt(3) - 16) F a b c s + (172 - 96 sqrt(3)) F >= 8 7 6 5 4 s + (- 4 c - 4 b - 4 a) s + ((4 b + 4 a) c + 4 a b) s - 4 a b c s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 7 7 7 5 2 2 2 2 2 4 c s + 4 b s + 4 a s + 4 a b c s + a b c s + 12 sqrt(3) F a b c s 4 8 6 6 6 2 + 172 F >= 4 s + 4 b c s + 4 a c s + 4 a b s + 16 F a b c s 4 + 96 sqrt(3) F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 7 2 2 6 (45 c + (16 b + 16 a) c + (- 116 b + (120 - 24 sqrt(3)) a b - 116 a ) c 3 2 2 3 5 + (112 b + (376 - 24 sqrt(3)) a b + (376 - 24 sqrt(3)) a b + 112 a ) c 4 3 2 2 3 + (398 b + (48 sqrt(3) + 640) a b + 1188 a b + (48 sqrt(3) + 640) a b 4 4 5 4 2 3 + 398 a ) c + (112 b + (48 sqrt(3) + 640) a b + (48 sqrt(3) + 1392) a b 3 2 4 5 3 + (48 sqrt(3) + 1392) a b + (48 sqrt(3) + 640) a b + 112 a ) c 6 5 2 4 3 3 + (- 116 b + (376 - 24 sqrt(3)) a b + 1188 a b + (48 sqrt(3) + 1392) a b 4 2 5 6 2 + 1188 a b + (376 - 24 sqrt(3)) a b - 116 a ) c 7 6 2 5 + (16 b + (120 - 24 sqrt(3)) a b + (376 - 24 sqrt(3)) a b 3 4 4 3 + (48 sqrt(3) + 640) a b + (48 sqrt(3) + 640) a b 5 2 6 7 8 + (376 - 24 sqrt(3)) a b + (120 - 24 sqrt(3)) a b + 16 a ) c + 45 b 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 16 a b - 116 a b + 112 a b + 398 a b + 112 a b - 116 a b 7 8 8 7 + 16 a b + 45 a )/64 >= ((24 sqrt(3) + 1) c + (12 b + 12 a) c 2 2 6 + ((52 - 96 sqrt(3)) b + 76 a b + (52 - 96 sqrt(3)) a ) c 3 2 2 3 5 + (116 b + 340 a b + 340 a b + 116 a ) c 4 3 2 2 3 + ((144 sqrt(3) + 150) b + 724 a b + (96 sqrt(3) + 1020) a b + 724 a b 4 4 5 4 2 3 3 2 + (144 sqrt(3) + 150) a ) c + (116 b + 724 a b + 1464 a b + 1464 a b 4 5 3 6 5 + 724 a b + 116 a ) c + ((52 - 96 sqrt(3)) b + 340 a b 2 4 3 3 4 2 + (96 sqrt(3) + 1020) a b + 1464 a b + (96 sqrt(3) + 1020) a b 5 6 2 7 6 2 5 + 340 a b + (52 - 96 sqrt(3)) a ) c + (12 b + 76 a b + 340 a b 3 4 4 3 5 2 6 7 8 + 724 a b + 724 a b + 340 a b + 76 a b + 12 a ) c + (24 sqrt(3) + 1) b 7 2 6 3 5 4 4 + 12 a b + (52 - 96 sqrt(3)) a b + 116 a b + (144 sqrt(3) + 150) a b 5 3 6 2 7 8 + 116 a b + (52 - 96 sqrt(3)) a b + 12 a b + (24 sqrt(3) + 1) a )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 8 7 7 2 6 6 6 45 c + 16 b c + 16 a c - 116 b c - 24 sqrt(3) a b c + 120 a b c 2 6 3 5 2 5 2 5 - 116 a c + 112 b c - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c 2 5 2 5 3 5 4 4 - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c + 112 a c + 398 b c 3 4 3 4 2 2 4 3 4 + 48 sqrt(3) a b c + 640 a b c + 1188 a b c + 48 sqrt(3) a b c 3 4 4 4 5 3 4 3 4 3 + 640 a b c + 398 a c + 112 b c + 48 sqrt(3) a b c + 640 a b c 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 + 48 sqrt(3) a b c + 1392 a b c + 48 sqrt(3) a b c + 1392 a b c 4 3 4 3 5 3 6 2 + 48 sqrt(3) a b c + 640 a b c + 112 a c - 116 b c 5 2 5 2 2 4 2 3 3 2 - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c + 1188 a b c + 48 sqrt(3) a b c 3 3 2 4 2 2 5 2 5 2 6 2 + 1392 a b c + 1188 a b c - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c - 116 a c 7 6 6 2 5 2 5 + 16 b c - 24 sqrt(3) a b c + 120 a b c - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c 3 4 3 4 4 3 4 3 + 48 sqrt(3) a b c + 640 a b c + 48 sqrt(3) a b c + 640 a b c 5 2 5 2 6 6 7 - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c - 24 sqrt(3) a b c + 120 a b c + 16 a c 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 45 b + 16 a b - 116 a b + 112 a b + 398 a b + 112 a b - 116 a b 7 8 8 8 7 7 2 6 + 16 a b + 45 a >= 24 sqrt(3) c + c + 12 b c + 12 a c - 96 sqrt(3) b c 2 6 6 2 6 2 6 3 5 2 5 + 52 b c + 76 a b c - 96 sqrt(3) a c + 52 a c + 116 b c + 340 a b c 2 5 3 5 4 4 4 4 3 4 + 340 a b c + 116 a c + 144 sqrt(3) b c + 150 b c + 724 a b c 2 2 4 2 2 4 3 4 4 4 + 96 sqrt(3) a b c + 1020 a b c + 724 a b c + 144 sqrt(3) a c 4 4 5 3 4 3 2 3 3 3 2 3 + 150 a c + 116 b c + 724 a b c + 1464 a b c + 1464 a b c 4 3 5 3 6 2 6 2 5 2 + 724 a b c + 116 a c - 96 sqrt(3) b c + 52 b c + 340 a b c 2 4 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 96 sqrt(3) a b c + 1020 a b c + 1464 a b c + 96 sqrt(3) a b c 4 2 2 5 2 6 2 6 2 7 + 1020 a b c + 340 a b c - 96 sqrt(3) a c + 52 a c + 12 b c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 76 a b c + 340 a b c + 724 a b c + 724 a b c + 340 a b c 6 7 8 8 7 2 6 + 76 a b c + 12 a c + 24 sqrt(3) b + b + 12 a b - 96 sqrt(3) a b 2 6 3 5 4 4 4 4 5 3 + 52 a b + 116 a b + 144 sqrt(3) a b + 150 a b + 116 a b 6 2 6 2 7 8 8 - 96 sqrt(3) a b + 52 a b + 12 a b + 24 sqrt(3) a + a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 44 c + 4 b c + 4 a c + 96 sqrt(3) b c + 44 a b c + 96 sqrt(3) a c 2 5 2 5 4 4 3 4 2 2 4 + 36 a b c + 36 a b c + 248 b c + 48 sqrt(3) a b c + 168 a b c 3 4 4 4 4 3 2 3 3 + 48 sqrt(3) a b c + 248 a c + 48 sqrt(3) a b c + 48 sqrt(3) a b c 3 2 3 4 3 6 2 5 2 + 48 sqrt(3) a b c + 48 sqrt(3) a b c + 96 sqrt(3) b c + 36 a b c 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 168 a b c + 48 sqrt(3) a b c + 168 a b c + 36 a b c 6 2 7 6 2 5 3 4 + 96 sqrt(3) a c + 4 b c + 44 a b c + 36 a b c + 48 sqrt(3) a b c 4 3 5 2 6 7 8 7 + 48 sqrt(3) a b c + 36 a b c + 44 a b c + 4 a c + 44 b + 4 a b 2 6 4 4 6 2 7 8 + 96 sqrt(3) a b + 248 a b + 96 sqrt(3) a b + 4 a b + 44 a >= 8 2 6 6 2 6 3 5 24 sqrt(3) c + 168 b c + 24 sqrt(3) a b c + 168 a c + 4 b c 2 5 2 5 3 5 4 4 + 24 sqrt(3) a b c + 24 sqrt(3) a b c + 4 a c + 144 sqrt(3) b c 3 4 2 2 4 3 4 4 4 5 3 + 84 a b c + 96 sqrt(3) a b c + 84 a b c + 144 sqrt(3) a c + 4 b c 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 84 a b c + 72 a b c + 72 a b c + 84 a b c + 4 a c + 168 b c 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 24 sqrt(3) a b c + 96 sqrt(3) a b c + 72 a b c + 96 sqrt(3) a b c 5 2 6 2 6 2 5 + 24 sqrt(3) a b c + 168 a c + 24 sqrt(3) a b c + 24 sqrt(3) a b c 3 4 4 3 5 2 6 + 84 a b c + 84 a b c + 24 sqrt(3) a b c + 24 sqrt(3) a b c 8 2 6 3 5 4 4 5 3 + 24 sqrt(3) b + 168 a b + 4 a b + 144 sqrt(3) a b + 4 a b 6 2 8 + 168 a b + 24 sqrt(3) a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 ((24 sqrt(3) + 43) z + ((108 sqrt(3) + 193) y + (108 sqrt(3) + 193) x) z 2 2 + ((264 sqrt(3) + 475) y + (432 sqrt(3) + 752) x y + (264 sqrt(3) + 475) x ) 6 3 2 z + ((408 sqrt(3) + 745) y + (972 sqrt(3) + 1512) x y 2 3 5 + (972 sqrt(3) + 1512) x y + (408 sqrt(3) + 745) x ) z 4 3 + ((480 sqrt(3) + 881) y + (1428 sqrt(3) + 1978) x y 2 2 3 + (1656 sqrt(3) + 3150) x y + (1428 sqrt(3) + 1978) x y 4 4 5 + (480 sqrt(3) + 881) x ) z + ((408 sqrt(3) + 745) y 4 2 3 + (1428 sqrt(3) + 1978) x y + (1800 sqrt(3) + 4056) x y 3 2 4 + (1800 sqrt(3) + 4056) x y + (1428 sqrt(3) + 1978) x y 5 3 6 + (408 sqrt(3) + 745) x ) z + ((264 sqrt(3) + 475) y 5 2 4 + (972 sqrt(3) + 1512) x y + (1656 sqrt(3) + 3150) x y 3 3 4 2 + (1800 sqrt(3) + 4056) x y + (1656 sqrt(3) + 3150) x y 5 6 2 + (972 sqrt(3) + 1512) x y + (264 sqrt(3) + 475) x ) z 7 6 + ((108 sqrt(3) + 193) y + (432 sqrt(3) + 752) x y 2 5 3 4 + (972 sqrt(3) + 1512) x y + (1428 sqrt(3) + 1978) x y 4 3 5 2 + (1428 sqrt(3) + 1978) x y + (972 sqrt(3) + 1512) x y 6 7 8 + (432 sqrt(3) + 752) x y + (108 sqrt(3) + 193) x ) z + (24 sqrt(3) + 43) y 7 2 6 + (108 sqrt(3) + 193) x y + (264 sqrt(3) + 475) x y 3 5 4 4 + (408 sqrt(3) + 745) x y + (480 sqrt(3) + 881) x y 5 3 6 2 + (408 sqrt(3) + 745) x y + (264 sqrt(3) + 475) x y 7 8 + (108 sqrt(3) + 193) x y + (24 sqrt(3) + 43) x )/32 >= 8 7 ((24 sqrt(3) + 43) z + ((108 sqrt(3) + 193) y + (108 sqrt(3) + 193) x) z 2 2 + ((264 sqrt(3) + 467) y + (432 sqrt(3) + 768) x y + (264 sqrt(3) + 467) x ) 6 3 2 z + ((408 sqrt(3) + 713) y + (876 sqrt(3) + 1704) x y 2 3 5 + (876 sqrt(3) + 1704) x y + (408 sqrt(3) + 713) x ) z 4 3 + ((480 sqrt(3) + 833) y + (1140 sqrt(3) + 2474) x y 2 2 3 + (1848 sqrt(3) + 2862) x y + (1140 sqrt(3) + 2474) x y 4 4 5 + (480 sqrt(3) + 833) x ) z + ((408 sqrt(3) + 713) y 4 2 3 + (1140 sqrt(3) + 2474) x y + (2376 sqrt(3) + 3080) x y 3 2 4 + (2376 sqrt(3) + 3080) x y + (1140 sqrt(3) + 2474) x y 5 3 6 + (408 sqrt(3) + 713) x ) z + ((264 sqrt(3) + 467) y 5 2 4 + (876 sqrt(3) + 1704) x y + (1848 sqrt(3) + 2862) x y 3 3 4 2 + (2376 sqrt(3) + 3080) x y + (1848 sqrt(3) + 2862) x y 5 6 2 + (876 sqrt(3) + 1704) x y + (264 sqrt(3) + 467) x ) z 7 6 + ((108 sqrt(3) + 193) y + (432 sqrt(3) + 768) x y 2 5 3 4 + (876 sqrt(3) + 1704) x y + (1140 sqrt(3) + 2474) x y 4 3 5 2 + (1140 sqrt(3) + 2474) x y + (876 sqrt(3) + 1704) x y 6 7 8 + (432 sqrt(3) + 768) x y + (108 sqrt(3) + 193) x ) z + (24 sqrt(3) + 43) y 7 2 6 + (108 sqrt(3) + 193) x y + (264 sqrt(3) + 467) x y 3 5 4 4 + (408 sqrt(3) + 713) x y + (480 sqrt(3) + 833) x y 5 3 6 2 + (408 sqrt(3) + 713) x y + (264 sqrt(3) + 467) x y 7 8 + (108 sqrt(3) + 193) x y + (24 sqrt(3) + 43) x )/32 Multiplying both sides by 32 gives: 8 8 7 7 7 24 sqrt(3) z + 43 z + 108 sqrt(3) y z + 193 y z + 108 sqrt(3) x z 7 2 6 2 6 6 6 + 193 x z + 264 sqrt(3) y z + 475 y z + 432 sqrt(3) x y z + 752 x y z 2 6 2 6 3 5 3 5 + 264 sqrt(3) x z + 475 x z + 408 sqrt(3) y z + 745 y z 2 5 2 5 2 5 2 5 + 972 sqrt(3) x y z + 1512 x y z + 972 sqrt(3) x y z + 1512 x y z 3 5 3 5 4 4 4 4 + 408 sqrt(3) x z + 745 x z + 480 sqrt(3) y z + 881 y z 3 4 3 4 2 2 4 2 2 4 + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z + 1656 sqrt(3) x y z + 3150 x y z 3 4 3 4 4 4 4 4 + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z + 480 sqrt(3) x z + 881 x z 5 3 5 3 4 3 4 3 + 408 sqrt(3) y z + 745 y z + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z 2 3 3 2 3 3 3 2 3 + 1800 sqrt(3) x y z + 4056 x y z + 1800 sqrt(3) x y z 3 2 3 4 3 4 3 5 3 + 4056 x y z + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z + 408 sqrt(3) x z 5 3 6 2 6 2 5 2 + 745 x z + 264 sqrt(3) y z + 475 y z + 972 sqrt(3) x y z 5 2 2 4 2 2 4 2 3 3 2 + 1512 x y z + 1656 sqrt(3) x y z + 3150 x y z + 1800 sqrt(3) x y z 3 3 2 4 2 2 4 2 2 5 2 + 4056 x y z + 1656 sqrt(3) x y z + 3150 x y z + 972 sqrt(3) x y z 5 2 6 2 6 2 7 7 + 1512 x y z + 264 sqrt(3) x z + 475 x z + 108 sqrt(3) y z + 193 y z 6 6 2 5 2 5 + 432 sqrt(3) x y z + 752 x y z + 972 sqrt(3) x y z + 1512 x y z 3 4 3 4 4 3 4 3 + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z 5 2 5 2 6 6 + 972 sqrt(3) x y z + 1512 x y z + 432 sqrt(3) x y z + 752 x y z 7 7 8 8 7 + 108 sqrt(3) x z + 193 x z + 24 sqrt(3) y + 43 y + 108 sqrt(3) x y 7 2 6 2 6 3 5 3 5 + 193 x y + 264 sqrt(3) x y + 475 x y + 408 sqrt(3) x y + 745 x y 4 4 4 4 5 3 5 3 + 480 sqrt(3) x y + 881 x y + 408 sqrt(3) x y + 745 x y 6 2 6 2 7 7 8 + 264 sqrt(3) x y + 475 x y + 108 sqrt(3) x y + 193 x y + 24 sqrt(3) x 8 8 8 7 7 + 43 x >= 24 sqrt(3) z + 43 z + 108 sqrt(3) y z + 193 y z 7 7 2 6 2 6 + 108 sqrt(3) x z + 193 x z + 264 sqrt(3) y z + 467 y z 6 6 2 6 2 6 + 432 sqrt(3) x y z + 768 x y z + 264 sqrt(3) x z + 467 x z 3 5 3 5 2 5 2 5 + 408 sqrt(3) y z + 713 y z + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z 2 5 2 5 3 5 3 5 + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z + 408 sqrt(3) x z + 713 x z 4 4 4 4 3 4 3 4 + 480 sqrt(3) y z + 833 y z + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z 2 2 4 2 2 4 3 4 3 4 + 1848 sqrt(3) x y z + 2862 x y z + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z 4 4 4 4 5 3 5 3 + 480 sqrt(3) x z + 833 x z + 408 sqrt(3) y z + 713 y z 4 3 4 3 2 3 3 2 3 3 + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z + 2376 sqrt(3) x y z + 3080 x y z 3 2 3 3 2 3 4 3 4 3 + 2376 sqrt(3) x y z + 3080 x y z + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z 5 3 5 3 6 2 6 2 + 408 sqrt(3) x z + 713 x z + 264 sqrt(3) y z + 467 y z 5 2 5 2 2 4 2 2 4 2 + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z + 1848 sqrt(3) x y z + 2862 x y z 3 3 2 3 3 2 4 2 2 + 2376 sqrt(3) x y z + 3080 x y z + 1848 sqrt(3) x y z 4 2 2 5 2 5 2 6 2 + 2862 x y z + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z + 264 sqrt(3) x z 6 2 7 7 6 6 + 467 x z + 108 sqrt(3) y z + 193 y z + 432 sqrt(3) x y z + 768 x y z 2 5 2 5 3 4 3 4 + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z 4 3 4 3 5 2 5 2 + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z 6 6 7 7 + 432 sqrt(3) x y z + 768 x y z + 108 sqrt(3) x z + 193 x z 8 8 7 7 2 6 + 24 sqrt(3) y + 43 y + 108 sqrt(3) x y + 193 x y + 264 sqrt(3) x y 2 6 3 5 3 5 4 4 4 4 + 467 x y + 408 sqrt(3) x y + 713 x y + 480 sqrt(3) x y + 833 x y 5 3 5 3 6 2 6 2 + 408 sqrt(3) x y + 713 x y + 264 sqrt(3) x y + 467 x y 7 7 8 8 + 108 sqrt(3) x y + 193 x y + 24 sqrt(3) x + 43 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 2 6 3 5 2 5 2 5 8 y z + 8 x z + 32 y z + 96 sqrt(3) x y z + 96 sqrt(3) x y z 3 5 4 4 3 4 2 2 4 + 32 x z + 48 y z + 288 sqrt(3) x y z + 288 x y z 3 4 4 4 5 3 4 3 + 288 sqrt(3) x y z + 48 x z + 32 y z + 288 sqrt(3) x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 976 x y z + 976 x y z + 288 sqrt(3) x y z + 32 x z + 8 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 96 sqrt(3) x y z + 288 x y z + 976 x y z + 288 x y z 5 2 6 2 2 5 3 4 + 96 sqrt(3) x y z + 8 x z + 96 sqrt(3) x y z + 288 sqrt(3) x y z 4 3 5 2 2 6 3 5 4 4 + 288 sqrt(3) x y z + 96 sqrt(3) x y z + 8 x y + 32 x y + 48 x y 5 3 6 2 6 2 5 2 5 3 4 + 32 x y + 8 x y >= 16 x y z + 192 x y z + 192 x y z + 496 x y z 2 2 4 3 4 4 3 2 3 3 + 192 sqrt(3) x y z + 496 x y z + 496 x y z + 576 sqrt(3) x y z 3 2 3 4 3 5 2 2 4 2 + 576 sqrt(3) x y z + 496 x y z + 192 x y z + 192 sqrt(3) x y z 3 3 2 4 2 2 5 2 6 + 576 sqrt(3) x y z + 192 sqrt(3) x y z + 192 x y z + 16 x y z 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + 192 x y z + 496 x y z + 496 x y z + 192 x y z + 16 x y z Dividing both sides by 8 gives: 2 6 2 6 3 5 2 5 2 5 3 5 y z + x z + 4 y z + 12 sqrt(3) x y z + 12 sqrt(3) x y z + 4 x z 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4 4 + 6 y z + 36 sqrt(3) x y z + 36 x y z + 36 sqrt(3) x y z + 6 x z 5 3 4 3 2 3 3 3 2 3 + 4 y z + 36 sqrt(3) x y z + 122 x y z + 122 x y z 4 3 5 3 6 2 5 2 2 4 2 + 36 sqrt(3) x y z + 4 x z + y z + 12 sqrt(3) x y z + 36 x y z 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 2 5 + 122 x y z + 36 x y z + 12 sqrt(3) x y z + x z + 12 sqrt(3) x y z 3 4 4 3 5 2 2 6 + 36 sqrt(3) x y z + 36 sqrt(3) x y z + 12 sqrt(3) x y z + x y 3 5 4 4 5 3 6 2 + 4 x y + 6 x y + 4 x y + x y >= 6 2 5 2 5 3 4 2 2 4 2 x y z + 24 x y z + 24 x y z + 62 x y z + 24 sqrt(3) x y z 3 4 4 3 2 3 3 3 2 3 + 62 x y z + 62 x y z + 72 sqrt(3) x y z + 72 sqrt(3) x y z 4 3 5 2 2 4 2 3 3 2 + 62 x y z + 24 x y z + 24 sqrt(3) x y z + 72 sqrt(3) x y z 4 2 2 5 2 6 2 5 3 4 + 24 sqrt(3) x y z + 24 x y z + 2 x y z + 24 x y z + 62 x y z 4 3 5 2 6 + 62 x y z + 24 x y z + 2 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {6, 2, 0} + 4 {5, 3, 0} + 12 {5, 2, 1} + 3 {4, 4, 0} + 36 {4, 3, 1} + 18 {4, 2, 2} + 61 {3, 3, 2} >= {6, 1, 1} + 24 {5, 2, 1} + 62 {4, 3, 1} + 12 {4, 2, 2} + 36 {3, 3, 2} This follows from the following majorizations: {6, 2, 0} >= {6, 1, 1} left side: [61 {3, 3, 2}, 18 {4, 2, 2}, 36 {4, 3, 1}, 3 {4, 4, 0}, 12 {5, 2, 1}, 4 {5, 3, 0}, {6, 2, 0}] right side: [36 {3, 3, 2}, 12 {4, 2, 2}, 62 {4, 3, 1}, 24 {5, 2, 1}, {6, 1, 1}] (d6) notsure (c7) /* 5.5 */ trineq(9*r*(4*R+r)<=s*s^2); 3 To prove: s >= 9 r (r + 4 R) Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 3 9 a b c s + 9 K s >= ---------------- 2 s 2 Multiplying both sides by s gives: 5 2 s >= 9 a b c s + 9 K Replacing K^2 by F^2 gives: 5 2 s >= 9 a b c s + 9 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 5 4 2 2 3 (c + (5 b + 5 a) c + (10 b + 20 a b + 10 a ) c 3 2 2 3 2 + (10 b + 30 a b + 30 a b + 10 a ) c 4 3 2 2 3 4 5 4 2 3 + (5 b + 20 a b + 30 a b + 20 a b + 5 a ) c + b + 5 a b + 10 a b 3 2 4 5 4 2 2 2 + 10 a b + 5 a b + a )/32 >= - (9 c + (- 18 b - 72 a b - 18 a ) c 2 2 4 2 2 4 + (- 72 a b - 72 a b) c + 9 b - 18 a b + 9 a )/16 Multiplying both sides by 32 gives: 5 4 4 2 3 3 2 3 3 2 2 2 c + 5 b c + 5 a c + 10 b c + 20 a b c + 10 a c + 10 b c + 30 a b c 2 2 3 2 4 3 2 2 3 4 + 30 a b c + 10 a c + 5 b c + 20 a b c + 30 a b c + 20 a b c + 5 a c 5 4 2 3 3 2 4 5 + b + 5 a b + 10 a b + 10 a b + 5 a b + a >= 4 2 2 2 2 2 2 2 4 - 18 c + 36 b c + 144 a b c + 36 a c + 144 a b c + 144 a b c - 18 b 2 2 4 + 36 a b - 18 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 5 4 4 4 2 3 3 2 3 3 2 c + 5 b c + 5 a c + 18 c + 10 b c + 20 a b c + 10 a c + 10 b c 2 2 2 2 3 2 4 3 2 2 + 30 a b c + 30 a b c + 10 a c + 5 b c + 20 a b c + 30 a b c 3 4 5 4 4 2 3 3 2 4 5 + 20 a b c + 5 a c + b + 5 a b + 18 b + 10 a b + 10 a b + 5 a b + a 4 2 2 2 2 2 2 2 + 18 a >= 36 b c + 144 a b c + 36 a c + 144 a b c + 144 a b c 2 2 + 36 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 5 4 2 2 3 (4 z + (20 y + 20 x + 9) z + (40 y + (80 x + 18) y + 40 x + 18 x) z 3 2 2 3 2 2 + (40 y + (120 x + 27) y + 120 x y + 40 x + 27 x ) z 4 3 2 2 3 4 3 5 + (20 y + (80 x + 18) y + 120 x y + 80 x y + 20 x + 18 x ) z + 4 y 4 2 3 3 2 2 4 3 + (20 x + 9) y + (40 x + 18 x) y + (40 x + 27 x ) y + (20 x + 18 x ) y 5 4 4 3 2 2 2 + 4 x + 9 x )/4 >= (9 z + (90 y + 90 x) z + (171 y + 360 x y + 171 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 + (90 y + 360 x y + 360 x y + 90 x ) z + 9 y + 90 x y + 171 x y 3 4 + 90 x y + 9 x )/4 Multiplying both sides by 4 gives: 5 4 4 4 2 3 3 3 2 3 4 z + 20 y z + 20 x z + 9 z + 40 y z + 80 x y z + 18 y z + 40 x z 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 + 18 x z + 40 y z + 120 x y z + 27 y z + 120 x y z + 40 x z 2 2 4 3 3 2 2 3 4 + 27 x z + 20 y z + 80 x y z + 18 y z + 120 x y z + 80 x y z + 20 x z 3 5 4 4 2 3 3 3 2 2 2 + 18 x z + 4 y + 20 x y + 9 y + 40 x y + 18 x y + 40 x y + 27 x y 4 3 5 4 4 3 3 2 2 + 20 x y + 18 x y + 4 x + 9 x >= 9 z + 90 y z + 90 x z + 171 y z 2 2 2 3 2 2 3 4 + 360 x y z + 171 x z + 90 y z + 360 x y z + 360 x y z + 90 x z + 9 y 3 2 2 3 4 + 90 x y + 171 x y + 90 x y + 9 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 5 4 4 2 3 3 2 3 3 2 4 z + 20 y z + 20 x z + 40 y z + 80 x y z + 40 x z + 40 y z 2 2 2 2 3 2 4 3 2 2 + 120 x y z + 120 x y z + 40 x z + 20 y z + 80 x y z + 120 x y z 3 4 5 4 2 3 3 2 4 + 80 x y z + 20 x z + 4 y + 20 x y + 40 x y + 40 x y + 20 x y 5 3 3 2 2 2 2 2 3 + 4 x >= 72 y z + 72 x z + 144 y z + 360 x y z + 144 x z + 72 y z 2 2 3 3 2 2 3 + 360 x y z + 360 x y z + 72 x z + 72 x y + 144 x y + 72 x y 2 Dividing both sides by 4 (z + y + x) gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 z + 3 y z + 3 x z + 3 y z + 6 x y z + 3 x z + y + 3 x y + 3 x y 3 + x >= 18 y z + 18 x z + 18 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {3, 0, 0} + 6 {2, 1, 0} + 2 {1, 1, 1} >= 18 {1, 1, 0} This follows from the following majorizations: 2 {1, 1, 1} >= 2 {1, 1, 0} 6 {2, 1, 0} >= 6 {1, 1, 0} {3, 0, 0} >= {1, 1, 0} left side: [2 {1, 1, 1}, 6 {2, 1, 0}, {3, 0, 0}] right side: [18 {1, 1, 0}] (d7) notyetimplemented (c8) trineq(3*s^2<=(4*R+r)^2); 2 2 To prove: (r + 4 R) >= 3 s Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 4 a b c s + 2 K a b c s + K 2 ------------------------------- >= 3 s 2 2 K s 2 2 Multiplying both sides by K s gives: 2 2 2 2 2 4 2 4 a b c s + 2 K a b c s + K >= 3 K s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 4 2 4 a b c s + 2 F a b c s + F >= 3 F s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 2 2 6 2 2 5 (c + (- 4 b - 16 a b - 4 a ) c + (- 16 a b - 16 a b) c 4 3 2 2 3 4 4 + (6 b + 32 a b + 68 a b + 32 a b + 6 a ) c 4 2 3 3 2 4 3 + (32 a b + 160 a b + 160 a b + 32 a b) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (- 4 b - 16 a b + 68 a b + 160 a b + 68 a b - 16 a b - 4 a ) c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 8 + (- 16 a b - 16 a b + 32 a b + 32 a b - 16 a b - 16 a b) c + b 2 6 4 4 6 2 8 - 4 a b + 6 a b - 4 a b + a )/256 >= 8 7 2 2 6 - (3 c + (12 b + 12 a) c + (12 b + 36 a b + 12 a ) c 3 2 2 3 5 + (- 12 b + 12 a b + 12 a b - 12 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (- 30 b - 60 a b - 60 a b - 60 a b - 30 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (- 12 b - 60 a b - 120 a b - 120 a b - 60 a b - 12 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (12 b + 12 a b - 60 a b - 120 a b - 60 a b + 12 a b + 12 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (12 b + 36 a b + 12 a b - 60 a b - 60 a b + 12 a b + 36 a b 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 12 a ) c + 3 b + 12 a b + 12 a b - 12 a b - 30 a b - 12 a b 6 2 7 8 + 12 a b + 12 a b + 3 a )/256 Multiplying both sides by 256 gives: 8 2 6 6 2 6 2 5 2 5 4 4 c - 4 b c - 16 a b c - 4 a c - 16 a b c - 16 a b c + 6 b c 3 4 2 2 4 3 4 4 4 4 3 2 3 3 + 32 a b c + 68 a b c + 32 a b c + 6 a c + 32 a b c + 160 a b c 3 2 3 4 3 6 2 5 2 2 4 2 + 160 a b c + 32 a b c - 4 b c - 16 a b c + 68 a b c 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 6 2 5 + 160 a b c + 68 a b c - 16 a b c - 4 a c - 16 a b c - 16 a b c 3 4 4 3 5 2 6 8 2 6 4 4 + 32 a b c + 32 a b c - 16 a b c - 16 a b c + b - 4 a b + 6 a b 6 2 8 8 7 7 2 6 6 2 6 - 4 a b + a >= - 3 c - 12 b c - 12 a c - 12 b c - 36 a b c - 12 a c 3 5 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 12 b c - 12 a b c - 12 a b c + 12 a c + 30 b c + 60 a b c 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 2 3 3 + 60 a b c + 60 a b c + 30 a c + 12 b c + 60 a b c + 120 a b c 3 2 3 4 3 5 3 6 2 5 2 2 4 2 + 120 a b c + 60 a b c + 12 a c - 12 b c - 12 a b c + 60 a b c 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 7 6 + 120 a b c + 60 a b c - 12 a b c - 12 a c - 12 b c - 36 a b c 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 - 12 a b c + 60 a b c + 60 a b c - 12 a b c - 36 a b c - 12 a c 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 - 3 b - 12 a b - 12 a b + 12 a b + 30 a b + 12 a b - 12 a b 7 8 - 12 a b - 3 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 2 2 4 4 c + 12 b c + 12 a c + 8 b c + 20 a b c + 8 a c + 8 a b c 2 3 3 3 2 3 6 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 40 a b c + 40 a b c + 8 b c + 8 a b c + 40 a b c + 8 a b c 6 2 7 6 6 7 8 7 + 8 a c + 12 b c + 20 a b c + 20 a b c + 12 a c + 4 b + 12 a b 2 6 6 2 7 8 + 8 a b + 8 a b + 12 a b + 4 a >= 3 5 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 12 b c + 4 a b c + 4 a b c + 12 a c + 24 b c + 28 a b c 3 4 4 4 5 3 4 3 4 3 5 3 + 28 a b c + 24 a c + 12 b c + 28 a b c + 28 a b c + 12 a c 5 2 5 2 2 5 3 4 4 3 5 2 + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 28 a b c + 28 a b c + 4 a b c 3 5 4 4 5 3 + 12 a b + 24 a b + 12 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (12 z + (64 y + 64 x) z + (197 y + 238 x y + 197 x ) z 3 2 2 3 5 + (413 y + 555 x y + 555 x y + 413 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (536 y + 943 x y + 914 x y + 943 x y + 536 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (413 y + 943 x y + 1124 x y + 1124 x y + 943 x y + 413 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + (197 y + 555 x y + 914 x y + 1124 x y + 914 x y + 555 x y + 197 x ) 2 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 z + (64 y + 238 x y + 555 x y + 943 x y + 943 x y + 555 x y 6 7 8 7 2 6 3 5 4 4 + 238 x y + 64 x ) z + 12 y + 64 x y + 197 x y + 413 x y + 536 x y 5 3 6 2 7 8 + 413 x y + 197 x y + 64 x y + 12 x )/64 >= 8 7 2 2 6 (12 z + (64 y + 64 x) z + (133 y + 302 x y + 133 x ) z 3 2 2 3 5 + (157 y + 619 x y + 619 x y + 157 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (152 y + 815 x y + 1362 x y + 815 x y + 152 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (157 y + 815 x y + 1764 x y + 1764 x y + 815 x y + 157 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (133 y + 619 x y + 1362 x y + 1764 x y + 1362 x y + 619 x y 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 133 x ) z + (64 y + 302 x y + 619 x y + 815 x y + 815 x y 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 619 x y + 302 x y + 64 x ) z + 12 y + 64 x y + 133 x y + 157 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 152 x y + 157 x y + 133 x y + 64 x y + 12 x )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 12 z + 64 y z + 64 x z + 197 y z + 238 x y z + 197 x z + 413 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 555 x y z + 555 x y z + 413 x z + 536 y z + 943 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 914 x y z + 943 x y z + 536 x z + 413 y z + 943 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 1124 x y z + 1124 x y z + 943 x y z + 413 x z + 197 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 555 x y z + 914 x y z + 1124 x y z + 914 x y z + 555 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 197 x z + 64 y z + 238 x y z + 555 x y z + 943 x y z + 943 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 555 x y z + 238 x y z + 64 x z + 12 y + 64 x y + 197 x y + 413 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 536 x y + 413 x y + 197 x y + 64 x y + 12 x >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 12 z + 64 y z + 64 x z + 133 y z + 302 x y z + 133 x z + 157 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 619 x y z + 619 x y z + 157 x z + 152 y z + 815 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 1362 x y z + 815 x y z + 152 x z + 157 y z + 815 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 1764 x y z + 1764 x y z + 815 x y z + 157 x z + 133 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 619 x y z + 1362 x y z + 1764 x y z + 1362 x y z + 619 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 133 x z + 64 y z + 302 x y z + 619 x y z + 815 x y z + 815 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 619 x y z + 302 x y z + 64 x z + 12 y + 64 x y + 133 x y + 157 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 152 x y + 157 x y + 133 x y + 64 x y + 12 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 3 4 64 y z + 64 x z + 256 y z + 256 x z + 384 y z + 128 x y z 3 4 4 4 5 3 4 3 4 3 5 3 + 128 x y z + 384 x z + 256 y z + 128 x y z + 128 x y z + 256 x z 6 2 6 2 3 4 4 3 2 6 3 5 + 64 y z + 64 x z + 128 x y z + 128 x y z + 64 x y + 256 x y 4 4 5 3 6 2 + 384 x y + 256 x y + 64 x y >= 6 2 5 2 5 2 2 4 2 3 3 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 448 x y z + 640 x y z 3 2 3 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 640 x y z + 64 x y z + 448 x y z + 640 x y z + 448 x y z 5 2 6 2 5 5 2 6 + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z Dividing both sides by 64 gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 3 4 3 4 4 4 y z + x z + 4 y z + 4 x z + 6 y z + 2 x y z + 2 x y z + 6 x z 5 3 4 3 4 3 5 3 6 2 6 2 3 4 + 4 y z + 2 x y z + 2 x y z + 4 x z + y z + x z + 2 x y z 4 3 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 2 x y z + x y + 4 x y + 6 x y + 4 x y + x y >= 6 2 5 2 5 2 2 4 2 3 3 3 2 3 5 2 x y z + x y z + x y z + 7 x y z + 10 x y z + 10 x y z + x y z 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 5 5 2 + 7 x y z + 10 x y z + 7 x y z + x y z + x y z + x y z + x y z 6 + x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 2 {6, 2, 0} + 8 {5, 3, 0} + 6 {4, 4, 0} + 4 {4, 3, 1} >= {6, 1, 1} + 2 {5, 2, 1} + 7 {4, 2, 2} + 10 {3, 3, 2} This follows from the following majorizations: {6, 2, 0} >= {6, 1, 1} left side: [4 {4, 3, 1}, 6 {4, 4, 0}, 8 {5, 3, 0}, 2 {6, 2, 0}] right side: [10 {3, 3, 2}, 7 {4, 2, 2}, 2 {5, 2, 1}, {6, 1, 1}] (d8) notsure (c9) /* 5.6 */ trineq(6*r*(4*R+r)<=2*s^2); 2 To prove: 2 s >= 6 r (r + 4 R) Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 6 a b c s + 6 K 2 s >= ---------------- 2 s 2 Multiplying both sides by s gives: 4 2 2 s >= 6 a b c s + 6 K Replacing K^2 by F^2 gives: 4 2 2 s >= 6 a b c s + 6 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 4 3 2 2 2 (c + (4 b + 4 a) c + (6 b + 12 a b + 6 a ) c 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (4 b + 12 a b + 12 a b + 4 a ) c + b + 4 a b + 6 a b + 4 a b + a ) 4 2 2 2 2 2 4 /8 >= - (3 c + (- 6 b - 24 a b - 6 a ) c + (- 24 a b - 24 a b) c + 3 b 2 2 4 - 6 a b + 3 a )/8 Multiplying both sides by 8 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 c + 4 b c + 4 a c + 6 b c + 12 a b c + 6 a c + 4 b c + 12 a b c 2 3 4 3 2 2 3 4 + 12 a b c + 4 a c + b + 4 a b + 6 a b + 4 a b + a >= 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 - 3 c + 6 b c + 24 a b c + 6 a c + 24 a b c + 24 a b c - 3 b + 6 a b 4 - 3 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 3 3 3 4 3 3 4 4 c + 4 b c + 4 a c + 4 b c + 4 a c + 4 b + 4 a b + 4 a b + 4 a >= 2 2 2 12 a b c + 12 a b c + 12 a b c Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (2 z + (5 y + 5 x) z + (6 y + 6 x y + 6 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (5 y + 6 x y + 6 x y + 5 x ) z + 2 y + 5 x y + 6 x y + 5 x y + 2 x ) 3 2 2 2 /2 >= ((3 y + 3 x) z + (6 y + 12 x y + 6 x ) z 3 2 2 3 3 2 2 3 + (3 y + 12 x y + 12 x y + 3 x ) z + 3 x y + 6 x y + 3 x y)/2 Multiplying both sides by 2 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 z + 5 y z + 5 x z + 6 y z + 6 x y z + 6 x z + 5 y z + 6 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 6 x y z + 5 x z + 2 y + 5 x y + 6 x y + 5 x y + 2 x >= 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 y z + 3 x z + 6 y z + 12 x y z + 6 x z + 3 y z + 12 x y z 2 3 3 2 2 3 + 12 x y z + 3 x z + 3 x y + 6 x y + 3 x y Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 3 3 3 4 3 3 4 2 z + 2 y z + 2 x z + 2 y z + 2 x z + 2 y + 2 x y + 2 x y + 2 x >= 2 2 2 6 x y z + 6 x y z + 6 x y z Dividing both sides by 2 (z + y + x) gives: 3 3 3 z + y + x >= 3 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {3, 0, 0} >= {1, 1, 1} This result follows from the majorization theorem. (d9) true (c10) trineq(2*s^2<=2*(2*R+r)^2+R^2); 2 2 2 To prove: 2 (r + 2 R) + R >= 2 s Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 4 9 a b c s + 32 K a b c s + 32 K 2 ------------------------------------- >= 2 s 2 2 16 K s 2 2 Multiplying both sides by 16 K s gives: 2 2 2 2 2 4 2 4 9 a b c s + 32 K a b c s + 32 K >= 32 K s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 4 2 4 9 a b c s + 32 F a b c s + 32 F >= 32 F s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 2 2 6 2 2 5 (c + (- 4 b - 8 a b - 4 a ) c + (- 8 a b - 8 a b) c 4 3 2 2 3 4 4 + (6 b + 16 a b + 22 a b + 16 a b + 6 a ) c 4 2 3 3 2 4 3 + (16 a b + 52 a b + 52 a b + 16 a b) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (- 4 b - 8 a b + 22 a b + 52 a b + 22 a b - 8 a b - 4 a ) c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 8 + (- 8 a b - 8 a b + 16 a b + 16 a b - 8 a b - 8 a b) c + b 2 6 4 4 6 2 8 - 4 a b + 6 a b - 4 a b + a )/8 >= 8 7 2 2 6 - (c + (4 b + 4 a) c + (4 b + 12 a b + 4 a ) c 3 2 2 3 5 + (- 4 b + 4 a b + 4 a b - 4 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (- 10 b - 20 a b - 20 a b - 20 a b - 10 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (- 4 b - 20 a b - 40 a b - 40 a b - 20 a b - 4 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (4 b + 4 a b - 20 a b - 40 a b - 20 a b + 4 a b + 4 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 + (4 b + 12 a b + 4 a b - 20 a b - 20 a b + 4 a b + 12 a b + 4 a ) 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 c + b + 4 a b + 4 a b - 4 a b - 10 a b - 4 a b + 4 a b + 4 a b 8 + a )/8 Multiplying both sides by 8 gives: 8 2 6 6 2 6 2 5 2 5 4 4 c - 4 b c - 8 a b c - 4 a c - 8 a b c - 8 a b c + 6 b c 3 4 2 2 4 3 4 4 4 4 3 2 3 3 + 16 a b c + 22 a b c + 16 a b c + 6 a c + 16 a b c + 52 a b c 3 2 3 4 3 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 + 52 a b c + 16 a b c - 4 b c - 8 a b c + 22 a b c + 52 a b c 4 2 2 5 2 6 2 6 2 5 3 4 + 22 a b c - 8 a b c - 4 a c - 8 a b c - 8 a b c + 16 a b c 4 3 5 2 6 8 2 6 4 4 6 2 + 16 a b c - 8 a b c - 8 a b c + b - 4 a b + 6 a b - 4 a b 8 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 + a >= - c - 4 b c - 4 a c - 4 b c - 12 a b c - 4 a c + 4 b c 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 2 2 4 - 4 a b c - 4 a b c + 4 a c + 10 b c + 20 a b c + 20 a b c 3 4 4 4 5 3 4 3 2 3 3 3 2 3 + 20 a b c + 10 a c + 4 b c + 20 a b c + 40 a b c + 40 a b c 4 3 5 3 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 + 20 a b c + 4 a c - 4 b c - 4 a b c + 20 a b c + 40 a b c 4 2 2 5 2 6 2 7 6 2 5 + 20 a b c - 4 a b c - 4 a c - 4 b c - 12 a b c - 4 a b c 3 4 4 3 5 2 6 7 8 7 + 20 a b c + 20 a b c - 4 a b c - 12 a b c - 4 a c - b - 4 a b 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 - 4 a b + 4 a b + 10 a b + 4 a b - 4 a b - 4 a b - a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 7 7 6 2 2 4 2 3 3 3 2 3 2 c + 4 b c + 4 a c + 4 a b c + 2 a b c + 12 a b c + 12 a b c 2 4 2 3 3 2 4 2 2 7 6 6 + 2 a b c + 12 a b c + 2 a b c + 4 b c + 4 a b c + 4 a b c 7 8 7 7 8 + 4 a c + 2 b + 4 a b + 4 a b + 2 a >= 3 5 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 3 4 4 b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a c + 4 b c + 4 a b c + 4 a b c 4 4 5 3 4 3 4 3 5 3 5 2 5 2 + 4 a c + 4 b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a c + 4 a b c + 4 a b c 2 5 3 4 4 3 5 2 3 5 4 4 5 3 + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b + 4 a b + 4 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (3 z + (16 y + 16 x) z + (53 y + 50 x y + 53 x ) z 3 2 2 3 5 + (117 y + 123 x y + 123 x y + 117 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (153 y + 227 x y + 218 x y + 227 x y + 153 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (117 y + 227 x y + 296 x y + 296 x y + 227 x y + 117 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (53 y + 123 x y + 218 x y + 296 x y + 218 x y + 123 x y + 53 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (16 y + 50 x y + 123 x y + 227 x y + 227 x y + 123 x y + 50 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 16 x ) z + 3 y + 16 x y + 53 x y + 117 x y + 153 x y + 117 x y 6 2 7 8 8 7 + 53 x y + 16 x y + 3 x )/64 >= (3 z + (16 y + 16 x) z 2 2 6 3 2 2 3 5 + (35 y + 78 x y + 35 x ) z + (45 y + 163 x y + 163 x y + 45 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (45 y + 207 x y + 330 x y + 207 x y + 45 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (45 y + 207 x y + 404 x y + 404 x y + 207 x y + 45 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (35 y + 163 x y + 330 x y + 404 x y + 330 x y + 163 x y + 35 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (16 y + 78 x y + 163 x y + 207 x y + 207 x y + 163 x y + 78 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 16 x ) z + 3 y + 16 x y + 35 x y + 45 x y + 45 x y + 45 x y 6 2 7 8 + 35 x y + 16 x y + 3 x )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 3 z + 16 y z + 16 x z + 53 y z + 50 x y z + 53 x z + 117 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 123 x y z + 123 x y z + 117 x z + 153 y z + 227 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 218 x y z + 227 x y z + 153 x z + 117 y z + 227 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 296 x y z + 296 x y z + 227 x y z + 117 x z + 53 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 123 x y z + 218 x y z + 296 x y z + 218 x y z + 123 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 53 x z + 16 y z + 50 x y z + 123 x y z + 227 x y z + 227 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 123 x y z + 50 x y z + 16 x z + 3 y + 16 x y + 53 x y + 117 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 153 x y + 117 x y + 53 x y + 16 x y + 3 x >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 3 z + 16 y z + 16 x z + 35 y z + 78 x y z + 35 x z + 45 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 2 2 4 + 163 x y z + 163 x y z + 45 x z + 45 y z + 207 x y z + 330 x y z 3 4 4 4 5 3 4 3 2 3 3 + 207 x y z + 45 x z + 45 y z + 207 x y z + 404 x y z 3 2 3 4 3 5 3 6 2 5 2 + 404 x y z + 207 x y z + 45 x z + 35 y z + 163 x y z 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 + 330 x y z + 404 x y z + 330 x y z + 163 x y z + 35 x z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 16 y z + 78 x y z + 163 x y z + 207 x y z + 207 x y z + 163 x y z 6 7 8 7 2 6 3 5 4 4 + 78 x y z + 16 x z + 3 y + 16 x y + 35 x y + 45 x y + 45 x y 5 3 6 2 7 8 + 45 x y + 35 x y + 16 x y + 3 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 3 4 3 4 18 y z + 18 x z + 72 y z + 72 x z + 108 y z + 20 x y z + 20 x y z 4 4 5 3 4 3 4 3 5 3 6 2 + 108 x z + 72 y z + 20 x y z + 20 x y z + 72 x z + 18 y z 6 2 3 4 4 3 2 6 3 5 4 4 + 18 x z + 20 x y z + 20 x y z + 18 x y + 72 x y + 108 x y 5 3 6 2 6 2 5 2 5 2 2 4 + 72 x y + 18 x y >= 28 x y z + 40 x y z + 40 x y z + 112 x y z 2 3 3 3 2 3 5 2 2 4 2 3 3 2 + 108 x y z + 108 x y z + 40 x y z + 112 x y z + 108 x y z 4 2 2 5 2 6 2 5 5 2 6 + 112 x y z + 40 x y z + 28 x y z + 40 x y z + 40 x y z + 28 x y z Dividing both sides by 2 gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 3 4 3 4 9 y z + 9 x z + 36 y z + 36 x z + 54 y z + 10 x y z + 10 x y z 4 4 5 3 4 3 4 3 5 3 6 2 6 2 + 54 x z + 36 y z + 10 x y z + 10 x y z + 36 x z + 9 y z + 9 x z 3 4 4 3 2 6 3 5 4 4 5 3 + 10 x y z + 10 x y z + 9 x y + 36 x y + 54 x y + 36 x y 6 2 6 2 5 2 5 2 2 4 2 3 3 + 9 x y >= 14 x y z + 20 x y z + 20 x y z + 56 x y z + 54 x y z 3 2 3 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 54 x y z + 20 x y z + 56 x y z + 54 x y z + 56 x y z 5 2 6 2 5 5 2 6 + 20 x y z + 14 x y z + 20 x y z + 20 x y z + 14 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 9 {6, 2, 0} + 36 {5, 3, 0} + 27 {4, 4, 0} + 10 {4, 3, 1} >= 7 {6, 1, 1} + 20 {5, 2, 1} + 28 {4, 2, 2} + 27 {3, 3, 2} This follows from the following majorizations: 7 {6, 2, 0} >= 7 {6, 1, 1} left side: [10 {4, 3, 1}, 27 {4, 4, 0}, 36 {5, 3, 0}, 9 {6, 2, 0}] right side: [27 {3, 3, 2}, 28 {4, 2, 2}, 20 {5, 2, 1}, 7 {6, 1, 1}] (d10) notsure (c11) /* 5.7 */ trineq(2*s^2*(2*R-r)<=R*(4*R+r)^2); 2 2 To prove: R (r + 4 R) >= 2 (2 R - r) s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 3 2 2 r s + R r + 8 R r + 16 R >= 4 R s Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 4 2 8 K s + a b c s + 2 K a b c s + K a b c a b c s -------------------------------------------------- >= -------- 3 2 K 4 K s 3 2 Multiplying both sides by 4 K s gives: 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 4 2 4 8 K s + a b c s + 2 K a b c s + K a b c >= 4 K a b c s Replacing K^2 by F^2 gives: 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 4 2 4 8 F s + a b c s + 2 F a b c s + F a b c >= 4 F a b c s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 11 10 2 2 9 (c + (3 b + 3 a) c + (- b + 7 a b - a ) c 3 2 2 3 8 + (- 11 b - 9 a b - 9 a b - 11 a ) c 4 3 2 2 3 4 7 + (- 6 b - 28 a b - 36 a b - 28 a b - 6 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 6 + (14 b + 6 a b - 20 a b - 20 a b + 6 a b + 14 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 5 + (14 b + 42 a b + 66 a b + 92 a b + 66 a b + 42 a b + 14 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (- 6 b + 6 a b + 66 a b + 190 a b + 190 a b + 66 a b + 6 a b 7 4 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 - 6 a ) c + (- 11 b - 28 a b - 20 a b + 92 a b + 190 a b + 92 a b 6 2 7 8 3 9 8 2 7 3 6 - 20 a b - 28 a b - 11 a ) c + (- b - 9 a b - 36 a b - 20 a b 4 5 5 4 6 3 7 2 8 9 2 + 66 a b + 66 a b - 20 a b - 36 a b - 9 a b - a ) c 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 + (3 b + 7 a b - 9 a b - 28 a b + 6 a b + 42 a b + 6 a b 7 3 8 2 9 10 11 10 2 9 3 8 - 28 a b - 9 a b + 7 a b + 3 a ) c + b + 3 a b - a b - 11 a b 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 - 6 a b + 14 a b + 14 a b - 6 a b - 11 a b - a b + 3 a b + a ) 9 2 2 8 3 2 2 3 7 /256 >= - (a b c + (4 a b + 4 a b) c + (4 a b + 12 a b + 4 a b) c 4 2 3 3 2 4 6 + (- 4 a b + 4 a b + 4 a b - 4 a b) c 5 2 4 3 3 4 2 5 5 + (- 10 a b - 20 a b - 20 a b - 20 a b - 10 a b) c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 4 + (- 4 a b - 20 a b - 40 a b - 40 a b - 20 a b - 4 a b) c 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 3 + (4 a b + 4 a b - 20 a b - 40 a b - 20 a b + 4 a b + 4 a b) c 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 + (4 a b + 12 a b + 4 a b - 20 a b - 20 a b + 4 a b + 12 a b 8 2 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 + 4 a b) c + (a b + 4 a b + 4 a b - 4 a b - 10 a b - 4 a b 7 3 8 2 9 + 4 a b + 4 a b + a b) c)/64 Multiplying both sides by 256 gives: 11 10 10 2 9 9 2 9 3 8 2 8 c + 3 b c + 3 a c - b c + 7 a b c - a c - 11 b c - 9 a b c 2 8 3 8 4 7 3 7 2 2 7 3 7 - 9 a b c - 11 a c - 6 b c - 28 a b c - 36 a b c - 28 a b c 4 7 5 6 4 6 2 3 6 3 2 6 4 6 - 6 a c + 14 b c + 6 a b c - 20 a b c - 20 a b c + 6 a b c 5 6 6 5 5 5 2 4 5 3 3 5 4 2 5 + 14 a c + 14 b c + 42 a b c + 66 a b c + 92 a b c + 66 a b c 5 5 6 5 7 4 6 4 2 5 4 3 4 4 + 42 a b c + 14 a c - 6 b c + 6 a b c + 66 a b c + 190 a b c 4 3 4 5 2 4 6 4 7 4 8 3 7 3 + 190 a b c + 66 a b c + 6 a b c - 6 a c - 11 b c - 28 a b c 2 6 3 3 5 3 4 4 3 5 3 3 6 2 3 - 20 a b c + 92 a b c + 190 a b c + 92 a b c - 20 a b c 7 3 8 3 9 2 8 2 2 7 2 3 6 2 - 28 a b c - 11 a c - b c - 9 a b c - 36 a b c - 20 a b c 4 5 2 5 4 2 6 3 2 7 2 2 8 2 9 2 + 66 a b c + 66 a b c - 20 a b c - 36 a b c - 9 a b c - a c 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + 3 b c + 7 a b c - 9 a b c - 28 a b c + 6 a b c + 42 a b c 6 4 7 3 8 2 9 10 11 10 + 6 a b c - 28 a b c - 9 a b c + 7 a b c + 3 a c + b + 3 a b 2 9 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 - a b - 11 a b - 6 a b + 14 a b + 14 a b - 6 a b - 11 a b 9 2 10 11 9 2 8 2 8 3 7 - a b + 3 a b + a >= - 4 a b c - 16 a b c - 16 a b c - 16 a b c 2 2 7 3 7 4 6 2 3 6 3 2 6 - 48 a b c - 16 a b c + 16 a b c - 16 a b c - 16 a b c 4 6 5 5 2 4 5 3 3 5 4 2 5 + 16 a b c + 40 a b c + 80 a b c + 80 a b c + 80 a b c 5 5 6 4 2 5 4 3 4 4 4 3 4 + 40 a b c + 16 a b c + 80 a b c + 160 a b c + 160 a b c 5 2 4 6 4 7 3 2 6 3 3 5 3 + 80 a b c + 16 a b c - 16 a b c - 16 a b c + 80 a b c 4 4 3 5 3 3 6 2 3 7 3 8 2 + 160 a b c + 80 a b c - 16 a b c - 16 a b c - 16 a b c 2 7 2 3 6 2 4 5 2 5 4 2 6 3 2 - 48 a b c - 16 a b c + 80 a b c + 80 a b c - 16 a b c 7 2 2 8 2 9 2 8 3 7 4 6 - 48 a b c - 16 a b c - 4 a b c - 16 a b c - 16 a b c + 16 a b c 5 5 6 4 7 3 8 2 9 + 40 a b c + 16 a b c - 16 a b c - 16 a b c - 4 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 11 10 10 9 2 8 2 8 2 2 7 c + 3 b c + 3 a c + 11 a b c + 7 a b c + 7 a b c + 12 a b c 5 6 5 6 6 5 5 5 3 3 5 5 5 + 14 b c + 14 a c + 14 b c + 2 a b c + 12 a b c + 2 a b c 6 5 3 4 4 4 3 4 3 5 3 4 4 3 + 14 a c + 30 a b c + 30 a b c + 12 a b c + 30 a b c 5 3 3 8 2 2 7 2 7 2 2 8 2 10 + 12 a b c + 7 a b c + 12 a b c + 12 a b c + 7 a b c + 3 b c 9 2 8 5 5 8 2 9 10 11 + 11 a b c + 7 a b c + 2 a b c + 7 a b c + 11 a b c + 3 a c + b 10 5 6 6 5 10 11 + 3 a b + 14 a b + 14 a b + 3 a b + a >= 2 9 2 9 3 8 3 8 4 7 3 7 3 7 b c + a c + 11 b c + 11 a c + 6 b c + 12 a b c + 12 a b c 4 7 4 6 2 3 6 3 2 6 4 6 2 4 5 + 6 a c + 10 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 10 a b c + 14 a b c 4 2 5 7 4 6 4 2 5 4 5 2 4 6 4 + 14 a b c + 6 b c + 10 a b c + 14 a b c + 14 a b c + 10 a b c 7 4 8 3 7 3 2 6 3 6 2 3 7 3 + 6 a c + 11 b c + 12 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 12 a b c 8 3 9 2 3 6 2 4 5 2 5 4 2 6 3 2 + 11 a c + b c + 4 a b c + 14 a b c + 14 a b c + 4 a b c 9 2 3 7 4 6 6 4 7 3 2 9 3 8 + a c + 12 a b c + 10 a b c + 10 a b c + 12 a b c + a b + 11 a b 4 7 7 4 8 3 9 2 + 6 a b + 6 a b + 11 a b + a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 11 10 2 2 9 (18 z + (121 y + 121 x) z + (399 y + 708 x y + 399 x ) z 3 2 2 3 8 + (962 y + 1963 x y + 1963 x y + 962 x ) z 4 3 2 2 3 4 7 + (1836 y + 3856 x y + 4780 x y + 3856 x y + 1836 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 6 + (2617 y + 5975 x y + 8434 x y + 8434 x y + 5975 x y + 2617 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (2617 y + 7020 x y + 11501 x y + 14000 x y + 11501 x y + 7020 x y 6 5 7 6 2 5 3 4 4 3 + 2617 x ) z + (1836 y + 5975 x y + 11501 x y + 16930 x y + 16930 x y 5 2 6 7 4 + 11501 x y + 5975 x y + 1836 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (962 y + 3856 x y + 8434 x y + 14000 x y + 16930 x y + 14000 x y 6 2 7 8 3 9 8 2 7 + 8434 x y + 3856 x y + 962 x ) z + (399 y + 1963 x y + 4780 x y 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 + 8434 x y + 11501 x y + 11501 x y + 8434 x y + 4780 x y + 1963 x y 9 2 10 9 2 8 3 7 4 6 + 399 x ) z + (121 y + 708 x y + 1963 x y + 3856 x y + 5975 x y 5 5 6 4 7 3 8 2 9 10 + 7020 x y + 5975 x y + 3856 x y + 1963 x y + 708 x y + 121 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + 18 y + 121 x y + 399 x y + 962 x y + 1836 x y + 2617 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 2617 x y + 1836 x y + 962 x y + 399 x y + 121 x y + 18 x ) 11 10 2 2 9 /1024 >= (18 z + (121 y + 121 x) z + (399 y + 708 x y + 399 x ) z 3 2 2 3 8 + (834 y + 2091 x y + 2091 x y + 834 x ) z 4 3 2 2 3 4 7 + (1196 y + 4112 x y + 5548 x y + 4112 x y + 1196 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 6 + (1337 y + 5847 x y + 9714 x y + 9714 x y + 5847 x y + 1337 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (1337 y + 6508 x y + 12397 x y + 14256 x y + 12397 x y + 6508 x y 6 5 7 6 2 5 3 4 4 3 + 1337 x ) z + (1196 y + 5847 x y + 12397 x y + 15650 x y + 15650 x y 5 2 6 7 4 + 12397 x y + 5847 x y + 1196 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (834 y + 4112 x y + 9714 x y + 14256 x y + 15650 x y + 14256 x y 6 2 7 8 3 9 8 2 7 + 9714 x y + 4112 x y + 834 x ) z + (399 y + 2091 x y + 5548 x y 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 + 9714 x y + 12397 x y + 12397 x y + 9714 x y + 5548 x y + 2091 x y 9 2 10 9 2 8 3 7 4 6 + 399 x ) z + (121 y + 708 x y + 2091 x y + 4112 x y + 5847 x y 5 5 6 4 7 3 8 2 9 10 + 6508 x y + 5847 x y + 4112 x y + 2091 x y + 708 x y + 121 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + 18 y + 121 x y + 399 x y + 834 x y + 1196 x y + 1337 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 1337 x y + 1196 x y + 834 x y + 399 x y + 121 x y + 18 x )/1024 Multiplying both sides by 1024 gives: 11 10 10 2 9 9 2 9 3 8 18 z + 121 y z + 121 x z + 399 y z + 708 x y z + 399 x z + 962 y z 2 8 2 8 3 8 4 7 3 7 + 1963 x y z + 1963 x y z + 962 x z + 1836 y z + 3856 x y z 2 2 7 3 7 4 7 5 6 4 6 + 4780 x y z + 3856 x y z + 1836 x z + 2617 y z + 5975 x y z 2 3 6 3 2 6 4 6 5 6 6 5 + 8434 x y z + 8434 x y z + 5975 x y z + 2617 x z + 2617 y z 5 5 2 4 5 3 3 5 4 2 5 + 7020 x y z + 11501 x y z + 14000 x y z + 11501 x y z 5 5 6 5 7 4 6 4 2 5 4 + 7020 x y z + 2617 x z + 1836 y z + 5975 x y z + 11501 x y z 3 4 4 4 3 4 5 2 4 6 4 7 4 + 16930 x y z + 16930 x y z + 11501 x y z + 5975 x y z + 1836 x z 8 3 7 3 2 6 3 3 5 3 4 4 3 + 962 y z + 3856 x y z + 8434 x y z + 14000 x y z + 16930 x y z 5 3 3 6 2 3 7 3 8 3 9 2 + 14000 x y z + 8434 x y z + 3856 x y z + 962 x z + 399 y z 8 2 2 7 2 3 6 2 4 5 2 + 1963 x y z + 4780 x y z + 8434 x y z + 11501 x y z 5 4 2 6 3 2 7 2 2 8 2 9 2 + 11501 x y z + 8434 x y z + 4780 x y z + 1963 x y z + 399 x z 10 9 2 8 3 7 4 6 + 121 y z + 708 x y z + 1963 x y z + 3856 x y z + 5975 x y z 5 5 6 4 7 3 8 2 9 + 7020 x y z + 5975 x y z + 3856 x y z + 1963 x y z + 708 x y z 10 11 10 2 9 3 8 4 7 + 121 x z + 18 y + 121 x y + 399 x y + 962 x y + 1836 x y 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 10 + 2617 x y + 2617 x y + 1836 x y + 962 x y + 399 x y + 121 x y 11 11 10 10 2 9 9 + 18 x >= 18 z + 121 y z + 121 x z + 399 y z + 708 x y z 2 9 3 8 2 8 2 8 3 8 4 7 + 399 x z + 834 y z + 2091 x y z + 2091 x y z + 834 x z + 1196 y z 3 7 2 2 7 3 7 4 7 5 6 + 4112 x y z + 5548 x y z + 4112 x y z + 1196 x z + 1337 y z 4 6 2 3 6 3 2 6 4 6 5 6 + 5847 x y z + 9714 x y z + 9714 x y z + 5847 x y z + 1337 x z 6 5 5 5 2 4 5 3 3 5 4 2 5 + 1337 y z + 6508 x y z + 12397 x y z + 14256 x y z + 12397 x y z 5 5 6 5 7 4 6 4 2 5 4 + 6508 x y z + 1337 x z + 1196 y z + 5847 x y z + 12397 x y z 3 4 4 4 3 4 5 2 4 6 4 7 4 + 15650 x y z + 15650 x y z + 12397 x y z + 5847 x y z + 1196 x z 8 3 7 3 2 6 3 3 5 3 4 4 3 + 834 y z + 4112 x y z + 9714 x y z + 14256 x y z + 15650 x y z 5 3 3 6 2 3 7 3 8 3 9 2 + 14256 x y z + 9714 x y z + 4112 x y z + 834 x z + 399 y z 8 2 2 7 2 3 6 2 4 5 2 + 2091 x y z + 5548 x y z + 9714 x y z + 12397 x y z 5 4 2 6 3 2 7 2 2 8 2 9 2 + 12397 x y z + 9714 x y z + 5548 x y z + 2091 x y z + 399 x z 10 9 2 8 3 7 4 6 + 121 y z + 708 x y z + 2091 x y z + 4112 x y z + 5847 x y z 5 5 6 4 7 3 8 2 9 + 6508 x y z + 5847 x y z + 4112 x y z + 2091 x y z + 708 x y z 10 11 10 2 9 3 8 4 7 + 121 x z + 18 y + 121 x y + 399 x y + 834 x y + 1196 x y 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 10 + 1337 x y + 1337 x y + 1196 x y + 834 x y + 399 x y + 121 x y 11 + 18 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 8 3 8 4 7 4 7 5 6 4 6 128 y z + 128 x z + 640 y z + 640 x z + 1280 y z + 128 x y z 4 6 5 6 6 5 5 5 5 5 + 128 x y z + 1280 x z + 1280 y z + 512 x y z + 512 x y z 6 5 7 4 6 4 3 4 4 4 3 4 + 1280 x z + 640 y z + 128 x y z + 1280 x y z + 1280 x y z 6 4 7 4 8 3 4 4 3 8 3 + 128 x y z + 640 x z + 128 y z + 1280 x y z + 128 x z 4 6 5 5 6 4 3 8 4 7 5 6 + 128 x y z + 512 x y z + 128 x y z + 128 x y + 640 x y + 1280 x y 6 5 7 4 8 3 + 1280 x y + 640 x y + 128 x y >= 2 8 2 8 3 7 2 2 7 3 7 128 x y z + 128 x y z + 256 x y z + 768 x y z + 256 x y z 2 3 6 3 2 6 2 4 5 3 3 5 4 2 5 + 1280 x y z + 1280 x y z + 896 x y z + 256 x y z + 896 x y z 2 5 4 5 2 4 7 3 2 6 3 3 5 3 + 896 x y z + 896 x y z + 256 x y z + 1280 x y z + 256 x y z 5 3 3 6 2 3 7 3 8 2 2 7 2 + 256 x y z + 1280 x y z + 256 x y z + 128 x y z + 768 x y z 3 6 2 4 5 2 5 4 2 6 3 2 7 2 2 + 1280 x y z + 896 x y z + 896 x y z + 1280 x y z + 768 x y z 8 2 2 8 3 7 7 3 8 2 + 128 x y z + 128 x y z + 256 x y z + 256 x y z + 128 x y z Dividing both sides by 128 gives: 3 8 3 8 4 7 4 7 5 6 4 6 4 6 5 6 y z + x z + 5 y z + 5 x z + 10 y z + x y z + x y z + 10 x z 6 5 5 5 5 5 6 5 7 4 6 4 + 10 y z + 4 x y z + 4 x y z + 10 x z + 5 y z + x y z 3 4 4 4 3 4 6 4 7 4 8 3 4 4 3 8 3 + 10 x y z + 10 x y z + x y z + 5 x z + y z + 10 x y z + x z 4 6 5 5 6 4 3 8 4 7 5 6 6 5 + x y z + 4 x y z + x y z + x y + 5 x y + 10 x y + 10 x y 7 4 8 3 2 8 2 8 3 7 2 2 7 3 7 + 5 x y + x y >= x y z + x y z + 2 x y z + 6 x y z + 2 x y z 2 3 6 3 2 6 2 4 5 3 3 5 4 2 5 + 10 x y z + 10 x y z + 7 x y z + 2 x y z + 7 x y z 2 5 4 5 2 4 7 3 2 6 3 3 5 3 5 3 3 + 7 x y z + 7 x y z + 2 x y z + 10 x y z + 2 x y z + 2 x y z 6 2 3 7 3 8 2 2 7 2 3 6 2 4 5 2 + 10 x y z + 2 x y z + x y z + 6 x y z + 10 x y z + 7 x y z 5 4 2 6 3 2 7 2 2 8 2 2 8 3 7 + 7 x y z + 10 x y z + 6 x y z + x y z + x y z + 2 x y z 7 3 8 2 + 2 x y z + x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {8, 3, 0} + 5 {7, 4, 0} + 10 {6, 5, 0} + {6, 4, 1} + 2 {5, 5, 1} + 5 {4, 4, 3} >= {8, 2, 1} + 2 {7, 3, 1} + 3 {7, 2, 2} + 10 {6, 3, 2} + 7 {5, 4, 2} + {5, 3, 3} This follows from the following majorizations: {8, 3, 0} >= {8, 2, 1} 2 {7, 4, 0} >= 2 {7, 3, 1} 3 {7, 4, 0} >= 3 {7, 2, 2} left side: [5 {4, 4, 3}, 2 {5, 5, 1}, {6, 4, 1}, 10 {6, 5, 0}, 5 {7, 4, 0}, {8, 3, 0}] right side: [{5, 3, 3}, 7 {5, 4, 2}, 10 {6, 3, 2}, 3 {7, 2, 2}, 2 {7, 3, 1}, {8, 2, 1}] (d11) notsure (c12) /* 5.8 */ trineq(r*(16*R-5*r)<=s^2); 2 To prove: s >= (16 R - 5 r) r Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 s + 5 r >= 16 R r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 4 2 s + 5 K 4 a b c --------- >= ------- 2 s s 2 Multiplying both sides by s gives: 4 2 s + 5 K >= 4 a b c s Replacing K^2 by F^2 gives: 4 2 s + 5 F >= 4 a b c s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 4 3 2 2 2 - (c + (- b - a) c + (- 4 b - 3 a b - 4 a ) c 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (- b - 3 a b - 3 a b - a ) c + b - a b - 4 a b - a b + a )/4 >= 2 2 2 2 a b c + (2 a b + 2 a b) c Multiplying both sides by 4 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 - c + b c + a c + 4 b c + 3 a b c + 4 a c + b c + 3 a b c + 3 a b c 3 4 3 2 2 3 4 2 2 2 + a c - b + a b + 4 a b + a b - a >= 8 a b c + 8 a b c + 8 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 b c + a c + 4 b c + 4 a c + b c + a c + a b + 4 a b + a b >= 4 2 2 2 4 4 c + 5 a b c + 5 a b c + 5 a b c + b + a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (3 z + (7 y + 7 x) z + (9 y + 22 x y + 9 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (7 y + 22 x y + 22 x y + 7 x ) z + 3 y + 7 x y + 9 x y + 7 x y 4 4 3 2 2 2 + 3 x )/8 >= (z + (7 y + 7 x) z + (13 y + 20 x y + 13 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (7 y + 20 x y + 20 x y + 7 x ) z + y + 7 x y + 13 x y + 7 x y + x ) /8 Multiplying both sides by 8 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 z + 7 y z + 7 x z + 9 y z + 22 x y z + 9 x z + 7 y z + 22 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 22 x y z + 7 x z + 3 y + 7 x y + 9 x y + 7 x y + 3 x >= 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 z + 7 y z + 7 x z + 13 y z + 20 x y z + 13 x z + 7 y z + 20 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 20 x y z + 7 x z + y + 7 x y + 13 x y + 7 x y + x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 2 2 4 4 2 z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 y + 2 x >= 2 2 2 2 2 2 4 y z + 4 x z + 4 x y Dividing both sides by 2 gives: 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 z + x y z + x y z + x y z + y + x >= 2 y z + 2 x z + 2 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 0, 0} + {2, 1, 1} >= 2 {2, 2, 0} This follows from the following majorizations: {4, 0, 0} >= {2, 2, 0} left side: [{2, 1, 1}, {4, 0, 0}] right side: [2 {2, 2, 0}] (d12) notyetimplemented (c13) trineq(s^2<=4*R^2+4*R*r+3*r^2); 2 2 2 To prove: 3 r + 4 R r + 4 R >= s Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 4 a b c s + 4 K a b c s + 12 K 2 ---------------------------------- >= s 2 2 4 K s 2 2 Multiplying both sides by 4 K s gives: 2 2 2 2 2 4 2 4 a b c s + 4 K a b c s + 12 K >= 4 K s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 4 2 4 a b c s + 4 F a b c s + 12 F >= 4 F s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 2 2 6 2 2 5 (3 c + (- 12 b - 8 a b - 12 a ) c + (- 8 a b - 8 a b) c 4 3 2 2 3 4 4 + (18 b + 16 a b + 28 a b + 16 a b + 18 a ) c 4 2 3 3 2 4 3 + (16 a b + 48 a b + 48 a b + 16 a b) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (- 12 b - 8 a b + 28 a b + 48 a b + 28 a b - 8 a b - 12 a ) c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 8 + (- 8 a b - 8 a b + 16 a b + 16 a b - 8 a b - 8 a b) c + 3 b 2 6 4 4 6 2 8 - 12 a b + 18 a b - 12 a b + 3 a )/64 >= 8 7 2 2 6 - (c + (4 b + 4 a) c + (4 b + 12 a b + 4 a ) c 3 2 2 3 5 + (- 4 b + 4 a b + 4 a b - 4 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (- 10 b - 20 a b - 20 a b - 20 a b - 10 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (- 4 b - 20 a b - 40 a b - 40 a b - 20 a b - 4 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (4 b + 4 a b - 20 a b - 40 a b - 20 a b + 4 a b + 4 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 + (4 b + 12 a b + 4 a b - 20 a b - 20 a b + 4 a b + 12 a b + 4 a ) 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 c + b + 4 a b + 4 a b - 4 a b - 10 a b - 4 a b + 4 a b + 4 a b 8 + a )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 8 2 6 6 2 6 2 5 2 5 4 4 3 c - 12 b c - 8 a b c - 12 a c - 8 a b c - 8 a b c + 18 b c 3 4 2 2 4 3 4 4 4 4 3 2 3 3 + 16 a b c + 28 a b c + 16 a b c + 18 a c + 16 a b c + 48 a b c 3 2 3 4 3 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 + 48 a b c + 16 a b c - 12 b c - 8 a b c + 28 a b c + 48 a b c 4 2 2 5 2 6 2 6 2 5 3 4 + 28 a b c - 8 a b c - 12 a c - 8 a b c - 8 a b c + 16 a b c 4 3 5 2 6 8 2 6 4 4 6 2 + 16 a b c - 8 a b c - 8 a b c + 3 b - 12 a b + 18 a b - 12 a b 8 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 + 3 a >= - c - 4 b c - 4 a c - 4 b c - 12 a b c - 4 a c + 4 b c 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 2 2 4 - 4 a b c - 4 a b c + 4 a c + 10 b c + 20 a b c + 20 a b c 3 4 4 4 5 3 4 3 2 3 3 3 2 3 + 20 a b c + 10 a c + 4 b c + 20 a b c + 40 a b c + 40 a b c 4 3 5 3 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 + 20 a b c + 4 a c - 4 b c - 4 a b c + 20 a b c + 40 a b c 4 2 2 5 2 6 2 7 6 2 5 + 20 a b c - 4 a b c - 4 a c - 4 b c - 12 a b c - 4 a b c 3 4 4 3 5 2 6 7 8 7 + 20 a b c + 20 a b c - 4 a b c - 12 a b c - 4 a c - b - 4 a b 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 - 4 a b + 4 a b + 10 a b + 4 a b - 4 a b - 4 a b - a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 7 7 6 4 4 2 2 4 4 4 2 3 3 4 c + 4 b c + 4 a c + 4 a b c + 8 b c + 8 a b c + 8 a c + 8 a b c 3 2 3 2 4 2 3 3 2 4 2 2 7 6 + 8 a b c + 8 a b c + 8 a b c + 8 a b c + 4 b c + 4 a b c 6 7 8 7 4 4 7 8 + 4 a b c + 4 a c + 4 b + 4 a b + 8 a b + 4 a b + 4 a >= 2 6 2 6 3 5 2 5 2 5 3 5 3 4 8 b c + 8 a c + 4 b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a c + 4 a b c 3 4 5 3 4 3 4 3 5 3 6 2 5 2 + 4 a b c + 4 b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a c + 8 b c + 4 a b c 5 2 6 2 2 5 3 4 4 3 5 2 + 4 a b c + 8 a c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c 2 6 3 5 5 3 6 2 + 8 a b + 4 a b + 4 a b + 8 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (6 z + (28 y + 28 x) z + (81 y + 86 x y + 81 x ) z 3 2 2 3 5 + (157 y + 183 x y + 183 x y + 157 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (198 y + 291 x y + 338 x y + 291 x y + 198 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (157 y + 291 x y + 452 x y + 452 x y + 291 x y + 157 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (81 y + 183 x y + 338 x y + 452 x y + 338 x y + 183 x y + 81 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (28 y + 86 x y + 183 x y + 291 x y + 291 x y + 183 x y + 86 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 28 x ) z + 6 y + 28 x y + 81 x y + 157 x y + 198 x y + 157 x y 6 2 7 8 8 7 + 81 x y + 28 x y + 6 x )/64 >= (6 z + (28 y + 28 x) z 2 2 6 3 2 2 3 5 + (65 y + 118 x y + 65 x ) z + (93 y + 247 x y + 247 x y + 93 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (102 y + 323 x y + 402 x y + 323 x y + 102 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (93 y + 323 x y + 420 x y + 420 x y + 323 x y + 93 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (65 y + 247 x y + 402 x y + 420 x y + 402 x y + 247 x y + 65 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (28 y + 118 x y + 247 x y + 323 x y + 323 x y + 247 x y + 118 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 28 x ) z + 6 y + 28 x y + 65 x y + 93 x y + 102 x y + 93 x y 6 2 7 8 + 65 x y + 28 x y + 6 x )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 6 z + 28 y z + 28 x z + 81 y z + 86 x y z + 81 x z + 157 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 183 x y z + 183 x y z + 157 x z + 198 y z + 291 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 338 x y z + 291 x y z + 198 x z + 157 y z + 291 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 452 x y z + 452 x y z + 291 x y z + 157 x z + 81 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 183 x y z + 338 x y z + 452 x y z + 338 x y z + 183 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 81 x z + 28 y z + 86 x y z + 183 x y z + 291 x y z + 291 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 183 x y z + 86 x y z + 28 x z + 6 y + 28 x y + 81 x y + 157 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 198 x y + 157 x y + 81 x y + 28 x y + 6 x >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 6 z + 28 y z + 28 x z + 65 y z + 118 x y z + 65 x z + 93 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 247 x y z + 247 x y z + 93 x z + 102 y z + 323 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 402 x y z + 323 x y z + 102 x z + 93 y z + 323 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 420 x y z + 420 x y z + 323 x y z + 93 x z + 65 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 247 x y z + 402 x y z + 420 x y z + 402 x y z + 247 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 65 x z + 28 y z + 118 x y z + 247 x y z + 323 x y z + 323 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 247 x y z + 118 x y z + 28 x z + 6 y + 28 x y + 65 x y + 93 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 102 x y + 93 x y + 65 x y + 28 x y + 6 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 4 4 5 3 16 y z + 16 x z + 64 y z + 64 x z + 96 y z + 96 x z + 64 y z 2 3 3 3 2 3 5 3 6 2 3 3 2 6 2 + 32 x y z + 32 x y z + 64 x z + 16 y z + 32 x y z + 16 x z 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 16 x y + 64 x y + 96 x y + 64 x y + 16 x y >= 6 2 5 2 5 3 4 2 2 4 3 4 32 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 32 x y z 4 3 4 3 5 2 2 4 2 4 2 2 + 32 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z 5 2 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 64 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 32 x y z + 32 x y z + 64 x y z 6 + 32 x y z 2 Dividing both sides by 16 (z + y + x) gives: 2 4 2 4 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 y z + x z + 2 y z - 2 x y z - 2 x y z + 2 x z + y z - 2 x y z 2 2 2 3 2 4 2 2 3 3 2 2 4 3 3 + 6 x y z - 2 x y z + x z - 2 x y z - 2 x y z + x y + 2 x y 4 2 4 4 4 + x y >= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 2 4 3 3 3 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 y z + x z + 2 y z + 2 x z + y z + 6 x y z + x z + x y 3 3 4 2 4 2 3 2 3 3 2 3 2 + 2 x y + x y >= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z 4 2 3 3 2 4 + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 2, 0} + {3, 3, 0} + {2, 2, 2} >= {4, 1, 1} + 2 {3, 2, 1} This follows from the following majorizations: {3, 3, 0} + {2, 2, 2} >= 2 {3, 2, 1} {4, 2, 0} >= {4, 1, 1} (d13) true (c14) /* 5.11 */ trineq(s^2>=27*r^2); 2 2 To prove: s >= 27 r Let r = K/s . We get: 2 2 27 K s >= ----- 2 s 2 Multiplying both sides by s gives: 4 2 s >= 27 K Replacing K^2 by F^2 gives: 4 2 s >= 27 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 4 3 2 2 2 (c + (4 b + 4 a) c + (6 b + 12 a b + 6 a ) c 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (4 b + 12 a b + 12 a b + 4 a ) c + b + 4 a b + 6 a b + 4 a b + a ) 4 2 2 2 4 2 2 4 27 c + (- 54 b - 54 a ) c + 27 b - 54 a b + 27 a /16 >= - ------------------------------------------------------- 16 Multiplying both sides by 16 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 c + 4 b c + 4 a c + 6 b c + 12 a b c + 6 a c + 4 b c + 12 a b c 2 3 4 3 2 2 3 4 + 12 a b c + 4 a c + b + 4 a b + 6 a b + 4 a b + a >= 4 2 2 2 2 4 2 2 4 - 27 c + 54 b c + 54 a c - 27 b + 54 a b - 27 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 3 2 3 2 2 3 28 c + 4 b c + 4 a c + 12 a b c + 4 b c + 12 a b c + 12 a b c + 4 a c 4 3 3 4 2 2 2 2 2 2 + 28 b + 4 a b + 4 a b + 28 a >= 48 b c + 48 a c + 48 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 4 z + (10 y + 10 x) z + (15 y + 9 x y + 15 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (10 y + 9 x y + 9 x y + 10 x ) z + 4 y + 10 x y + 15 x y + 10 x y 4 4 3 2 2 2 + 4 x >= 3 z + (6 y + 6 x) z + (9 y + 24 x y + 9 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (6 y + 24 x y + 24 x y + 6 x ) z + 3 y + 6 x y + 9 x y + 6 x y 4 + 3 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 3 2 2 2 2 3 3 4 3 z + 4 y z + 4 x z + 6 y z + 6 x z + 4 y z + 4 x z + y + 4 x y 2 2 3 4 2 2 2 + 6 x y + 4 x y + x >= 15 x y z + 15 x y z + 15 x y z Dividing both sides by z + y + x gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 z + 3 y z + 3 x z + 3 y z - 6 x y z + 3 x z + y + 3 x y + 3 x y 3 + x >= 15 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 3 z + 3 y z + 3 x z + 3 y z + 3 x z + y + 3 x y + 3 x y + x >= 21 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {3, 0, 0} + 6 {2, 1, 0} >= 7 {1, 1, 1} This follows from the following majorizations: 6 {2, 1, 0} >= 6 {1, 1, 1} {3, 0, 0} >= {1, 1, 1} (d14) true (c15) /* 5.12 */ trineq(2*s^2>=27*R*r); 2 To prove: 2 s >= 27 R r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 27 a b c 2 s >= -------- 4 s Multiplying both sides by 4 s gives: 3 8 s >= 27 a b c Let s = (c+b+a)/2 . We get: 3 2 2 2 3 2 2 3 c + (3 b + 3 a) c + (3 b + 6 a b + 3 a ) c + b + 3 a b + 3 a b + a >= 27 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 3 c + 3 b c + 3 a c + 3 b c + 3 a c + b + 3 a b + 3 a b + a >= 21 a b c Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 3 2 2 2 3 2 2 (4 z + (9 y + 9 x) z + (9 y + 18 x y + 9 x ) z + 4 y + 9 x y + 9 x y 2 2 2 2 2 3 (21 y + 21 x) z + (21 y + 42 x y + 21 x ) z + 21 x y + 21 x y + 4 x )/4 >= ----------------------------------------------------------------- 8 Multiplying both sides by 8 gives: 3 2 2 2 2 3 2 8 z + 18 y z + 18 x z + 18 y z + 36 x y z + 18 x z + 8 y + 18 x y 2 3 2 2 2 2 2 + 18 x y + 8 x >= 21 y z + 21 x z + 21 y z + 42 x y z + 21 x z + 21 x y 2 + 21 x y Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 3 2 2 2 2 2 8 z + 8 y + 8 x >= 3 y z + 3 x z + 3 y z + 6 x y z + 3 x z + 3 x y 2 + 3 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 4 {3, 0, 0} >= 3 {2, 1, 0} + {1, 1, 1} This follows from the following majorizations: 3 {3, 0, 0} >= 3 {2, 1, 0} {3, 0, 0} >= {1, 1, 1} (d15) true (c16) /* 5.13 */ trineq(36*r^2<=csum(a^2)); 2 2 2 2 To prove: c + b + a >= 36 r Let r = K/s . We get: 2 2 2 2 36 K c + b + a >= ----- 2 s 2 Multiplying both sides by s gives: 2 2 2 2 2 2 2 c s + b s + a s >= 36 K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 (c + b + a ) s >= 36 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 4 3 2 2 2 (c + (2 b + 2 a) c + (2 b + 2 a b + 2 a ) c 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (2 b + 2 a b + 2 a b + 2 a ) c + b + 2 a b + 2 a b + 2 a b + a ) 4 2 2 2 4 2 2 4 9 c + (- 18 b - 18 a ) c + 9 b - 18 a b + 9 a /4 >= - ---------------------------------------------------- 4 Multiplying both sides by 4 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 c + 2 b c + 2 a c + 2 b c + 2 a b c + 2 a c + 2 b c + 2 a b c 2 3 4 3 2 2 3 4 + 2 a b c + 2 a c + b + 2 a b + 2 a b + 2 a b + a >= 4 2 2 2 2 4 2 2 4 - 9 c + 18 b c + 18 a c - 9 b + 18 a b - 9 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 3 2 3 2 2 3 10 c + 2 b c + 2 a c + 2 a b c + 2 b c + 2 a b c + 2 a b c + 2 a c 4 3 3 4 2 2 2 2 2 2 + 10 b + 2 a b + 2 a b + 10 a >= 16 b c + 16 a c + 16 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (3 z + (7 y + 7 x) z + (10 y + 5 x y + 10 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (7 y + 5 x y + 5 x y + 7 x ) z + 3 y + 7 x y + 10 x y + 7 x y 4 4 3 2 2 2 + 3 x )/2 >= z + (2 y + 2 x) z + (3 y + 8 x y + 3 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (2 y + 8 x y + 8 x y + 2 x ) z + y + 2 x y + 3 x y + 2 x y + x Multiplying both sides by 2 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 z + 7 y z + 7 x z + 10 y z + 5 x y z + 10 x z + 7 y z + 5 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 5 x y z + 7 x z + 3 y + 7 x y + 10 x y + 7 x y + 3 x >= 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 z + 4 y z + 4 x z + 6 y z + 16 x y z + 6 x z + 4 y z + 16 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 16 x y z + 4 x z + 2 y + 4 x y + 6 x y + 4 x y + 2 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 3 2 2 2 2 3 3 4 3 z + 3 y z + 3 x z + 4 y z + 4 x z + 3 y z + 3 x z + y + 3 x y 2 2 3 4 2 2 2 + 4 x y + 3 x y + x >= 11 x y z + 11 x y z + 11 x y z Dividing both sides by z + y + x gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 z + 2 y z + 2 x z + 2 y z - 4 x y z + 2 x z + y + 2 x y + 2 x y 3 + x >= 11 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 3 z + 2 y z + 2 x z + 2 y z + 2 x z + y + 2 x y + 2 x y + x >= 15 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {3, 0, 0} + 4 {2, 1, 0} >= 5 {1, 1, 1} This follows from the following majorizations: 4 {2, 1, 0} >= 4 {1, 1, 1} {3, 0, 0} >= {1, 1, 1} (d16) true (c17) trineq(csum(a^2)<=9*R^2); 2 2 2 2 To prove: 9 R >= c + b + a Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 9 a b c 2 2 2 ---------- >= c + b + a 2 16 K 2 Multiplying both sides by 16 K gives: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 a b c >= 16 K c + 16 K b + 16 K a Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 a b c >= 16 F c + 16 F b + 16 F a Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 2 6 2 2 4 4 2 2 4 2 6 2 4 4 2 9 a b c >= - c + (b + a ) c + (b + 6 a b + a ) c - b + a b + a b 6 - a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 6 2 2 2 6 6 2 4 2 4 4 2 4 2 2 4 4 2 c + 3 a b c + b + a >= b c + a c + b c + a c + a b + a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 6 5 2 2 4 (z + (3 y + 3 x) z + (9 y + 3 x y + 9 x ) z 3 2 2 3 3 + (13 y + 9 x y + 9 x y + 13 x ) z 4 3 2 2 3 4 2 + (9 y + 9 x y + 15 x y + 9 x y + 9 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 6 5 + (3 y + 3 x y + 9 x y + 9 x y + 3 x y + 3 x ) z + y + 3 x y 2 4 3 3 4 2 5 6 + 9 x y + 13 x y + 9 x y + 3 x y + x )/32 >= 6 5 2 2 4 (2 z + (6 y + 6 x) z + (9 y + 20 x y + 9 x ) z 3 2 2 3 3 + (8 y + 28 x y + 28 x y + 8 x ) z 4 3 2 2 3 4 2 + (9 y + 28 x y + 36 x y + 28 x y + 9 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 6 5 + (6 y + 20 x y + 28 x y + 28 x y + 20 x y + 6 x ) z + 2 y + 6 x y 2 4 3 3 4 2 5 6 + 9 x y + 8 x y + 9 x y + 6 x y + 2 x )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 6 5 5 2 4 4 2 4 3 3 2 3 2 z + 6 y z + 6 x z + 18 y z + 6 x y z + 18 x z + 26 y z + 18 x y z 2 3 3 3 4 2 3 2 2 2 2 3 2 + 18 x y z + 26 x z + 18 y z + 18 x y z + 30 x y z + 18 x y z 4 2 5 4 2 3 3 2 4 5 + 18 x z + 6 y z + 6 x y z + 18 x y z + 18 x y z + 6 x y z + 6 x z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + 2 y + 6 x y + 18 x y + 26 x y + 18 x y + 6 x y + 2 x >= 6 5 5 2 4 4 2 4 3 3 2 3 2 z + 6 y z + 6 x z + 9 y z + 20 x y z + 9 x z + 8 y z + 28 x y z 2 3 3 3 4 2 3 2 2 2 2 3 2 + 28 x y z + 8 x z + 9 y z + 28 x y z + 36 x y z + 28 x y z 4 2 5 4 2 3 3 2 4 5 + 9 x z + 6 y z + 20 x y z + 28 x y z + 28 x y z + 20 x y z + 6 x z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + 2 y + 6 x y + 9 x y + 8 x y + 9 x y + 6 x y + 2 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 2 4 3 3 3 3 4 2 4 2 2 4 9 y z + 9 x z + 18 y z + 18 x z + 9 y z + 9 x z + 9 x y 3 3 4 2 4 2 3 2 3 3 2 + 18 x y + 9 x y >= 14 x y z + 10 x y z + 10 x y z + 10 x y z 2 2 2 3 2 4 2 3 3 2 4 + 6 x y z + 10 x y z + 14 x y z + 10 x y z + 10 x y z + 14 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 9 {4, 2, 0} + 9 {3, 3, 0} >= 7 {4, 1, 1} + 10 {3, 2, 1} + {2, 2, 2} This follows from the following majorizations: 7 {4, 2, 0} >= 7 {4, 1, 1} 2 {4, 2, 0} >= 2 {3, 2, 1} 8 {3, 3, 0} >= 8 {3, 2, 1} {3, 3, 0} >= {2, 2, 2} (d17) true (c18) /* 5.14 */ trineq(24*R*r-12*r^2<=csum(a^2)); 2 2 2 2 To prove: c + b + a >= 24 R r - 12 r Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 2 12 r + c + b + a >= 24 R r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 (c + b + a ) s + 12 K 6 a b c ------------------------- >= ------- 2 s s 2 Multiplying both sides by s gives: 2 2 2 2 2 2 2 c s + b s + a s + 12 K >= 6 a b c s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 (c + b + a ) s + 12 F >= 6 a b c s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 4 3 2 2 2 3 2 2 3 - (c + (- b - a) c + (- 4 b - a b - 4 a ) c + (- b - a b - a b - a ) c 4 3 2 2 3 4 2 2 2 + b - a b - 4 a b - a b + a )/2 >= 3 a b c + (3 a b + 3 a b) c Multiplying both sides by 2 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 - c + b c + a c + 4 b c + a b c + 4 a c + b c + a b c + a b c + a c 4 3 2 2 3 4 2 2 2 - b + a b + 4 a b + a b - a >= 6 a b c + 6 a b c + 6 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 b c + a c + 4 b c + 4 a c + b c + a c + a b + 4 a b + a b >= 4 2 2 2 4 4 c + 5 a b c + 5 a b c + 5 a b c + b + a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (3 z + (7 y + 7 x) z + (9 y + 22 x y + 9 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (7 y + 22 x y + 22 x y + 7 x ) z + 3 y + 7 x y + 9 x y + 7 x y 4 4 3 2 2 2 + 3 x )/8 >= (z + (7 y + 7 x) z + (13 y + 20 x y + 13 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (7 y + 20 x y + 20 x y + 7 x ) z + y + 7 x y + 13 x y + 7 x y + x ) /8 Multiplying both sides by 8 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 z + 7 y z + 7 x z + 9 y z + 22 x y z + 9 x z + 7 y z + 22 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 22 x y z + 7 x z + 3 y + 7 x y + 9 x y + 7 x y + 3 x >= 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 z + 7 y z + 7 x z + 13 y z + 20 x y z + 13 x z + 7 y z + 20 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 20 x y z + 7 x z + y + 7 x y + 13 x y + 7 x y + x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 2 2 4 4 2 z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 y + 2 x >= 2 2 2 2 2 2 4 y z + 4 x z + 4 x y Dividing both sides by 2 gives: 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 z + x y z + x y z + x y z + y + x >= 2 y z + 2 x z + 2 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 0, 0} + {2, 1, 1} >= 2 {2, 2, 0} This follows from the following majorizations: {4, 0, 0} >= {2, 2, 0} left side: [{2, 1, 1}, {4, 0, 0}] right side: [2 {2, 2, 0}] (d18) notyetimplemented (c19) trineq(csum(a^2)<=8*R^2+4*r^2); 2 2 2 2 2 To prove: 4 r + 8 R >= c + b + a Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 4 a b c s + 8 K 2 2 2 ------------------ >= c + b + a 2 2 2 K s 2 2 Multiplying both sides by 2 K s gives: 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c s + 8 K >= 2 K c s + 2 K b s + 2 K a s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 a b c s + 8 F >= (2 F c + 2 F b + 2 F a ) s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 2 2 6 4 2 2 4 4 (c + (- 4 b - 4 a ) c + (6 b + 12 a b + 6 a ) c 2 3 3 2 3 6 2 4 3 3 4 2 6 + (16 a b + 16 a b ) c + (- 4 b + 12 a b + 16 a b + 12 a b - 4 a ) 2 8 2 6 4 4 6 2 8 c + b - 4 a b + 6 a b - 4 a b + a )/32 >= 8 7 6 3 2 2 3 5 - (c + (2 b + 2 a) c + 2 a b c + (- 2 b - 2 a b - 2 a b - 2 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (- 2 b - 2 a b - 8 a b - 2 a b - 2 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (- 2 b - 2 a b - 12 a b - 12 a b - 2 a b - 2 a ) c 5 2 4 3 3 4 2 5 2 + (- 2 a b - 8 a b - 12 a b - 8 a b - 2 a b) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 + (2 b + 2 a b - 2 a b - 2 a b - 2 a b - 2 a b + 2 a b + 2 a ) c 8 7 3 5 4 4 5 3 7 8 + b + 2 a b - 2 a b - 2 a b - 2 a b + 2 a b + a )/32 Multiplying both sides by 32 gives: 8 2 6 2 6 4 4 2 2 4 4 4 2 3 3 c - 4 b c - 4 a c + 6 b c + 12 a b c + 6 a c + 16 a b c 3 2 3 6 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 6 2 + 16 a b c - 4 b c + 12 a b c + 16 a b c + 12 a b c - 4 a c 8 2 6 4 4 6 2 8 + b - 4 a b + 6 a b - 4 a b + a >= 8 7 7 6 3 5 2 5 2 5 3 5 - c - 2 b c - 2 a c - 2 a b c + 2 b c + 2 a b c + 2 a b c + 2 a c 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 2 b c + 2 a b c + 8 a b c + 2 a b c + 2 a c + 2 b c + 2 a b c 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 5 2 2 4 2 + 12 a b c + 12 a b c + 2 a b c + 2 a c + 2 a b c + 8 a b c 3 3 2 4 2 2 5 2 7 6 2 5 + 12 a b c + 8 a b c + 2 a b c - 2 b c - 2 a b c + 2 a b c 3 4 4 3 5 2 6 7 8 7 + 2 a b c + 2 a b c + 2 a b c - 2 a b c - 2 a c - b - 2 a b 3 5 4 4 5 3 7 8 + 2 a b + 2 a b + 2 a b - 2 a b - a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 7 7 6 4 4 2 2 4 4 4 2 3 3 2 c + 2 b c + 2 a c + 2 a b c + 4 b c + 4 a b c + 4 a c + 4 a b c 3 2 3 2 4 2 3 3 2 4 2 2 7 6 + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 2 b c + 2 a b c 6 7 8 7 4 4 7 8 + 2 a b c + 2 a c + 2 b + 2 a b + 4 a b + 2 a b + 2 a >= 2 6 2 6 3 5 2 5 2 5 3 5 3 4 4 b c + 4 a c + 2 b c + 2 a b c + 2 a b c + 2 a c + 2 a b c 3 4 5 3 4 3 4 3 5 3 6 2 5 2 + 2 a b c + 2 b c + 2 a b c + 2 a b c + 2 a c + 4 b c + 2 a b c 5 2 6 2 2 5 3 4 4 3 5 2 + 2 a b c + 4 a c + 2 a b c + 2 a b c + 2 a b c + 2 a b c 2 6 3 5 5 3 6 2 + 4 a b + 2 a b + 2 a b + 4 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (6 z + (28 y + 28 x) z + (81 y + 86 x y + 81 x ) z 3 2 2 3 5 + (157 y + 183 x y + 183 x y + 157 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (198 y + 291 x y + 338 x y + 291 x y + 198 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (157 y + 291 x y + 452 x y + 452 x y + 291 x y + 157 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (81 y + 183 x y + 338 x y + 452 x y + 338 x y + 183 x y + 81 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (28 y + 86 x y + 183 x y + 291 x y + 291 x y + 183 x y + 86 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 28 x ) z + 6 y + 28 x y + 81 x y + 157 x y + 198 x y + 157 x y 6 2 7 8 8 7 + 81 x y + 28 x y + 6 x )/128 >= (6 z + (28 y + 28 x) z 2 2 6 3 2 2 3 5 + (65 y + 118 x y + 65 x ) z + (93 y + 247 x y + 247 x y + 93 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (102 y + 323 x y + 402 x y + 323 x y + 102 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (93 y + 323 x y + 420 x y + 420 x y + 323 x y + 93 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (65 y + 247 x y + 402 x y + 420 x y + 402 x y + 247 x y + 65 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (28 y + 118 x y + 247 x y + 323 x y + 323 x y + 247 x y + 118 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 28 x ) z + 6 y + 28 x y + 65 x y + 93 x y + 102 x y + 93 x y 6 2 7 8 + 65 x y + 28 x y + 6 x )/128 Multiplying both sides by 128 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 6 z + 28 y z + 28 x z + 81 y z + 86 x y z + 81 x z + 157 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 183 x y z + 183 x y z + 157 x z + 198 y z + 291 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 338 x y z + 291 x y z + 198 x z + 157 y z + 291 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 452 x y z + 452 x y z + 291 x y z + 157 x z + 81 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 183 x y z + 338 x y z + 452 x y z + 338 x y z + 183 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 81 x z + 28 y z + 86 x y z + 183 x y z + 291 x y z + 291 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 183 x y z + 86 x y z + 28 x z + 6 y + 28 x y + 81 x y + 157 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 198 x y + 157 x y + 81 x y + 28 x y + 6 x >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 6 z + 28 y z + 28 x z + 65 y z + 118 x y z + 65 x z + 93 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 247 x y z + 247 x y z + 93 x z + 102 y z + 323 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 402 x y z + 323 x y z + 102 x z + 93 y z + 323 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 420 x y z + 420 x y z + 323 x y z + 93 x z + 65 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 247 x y z + 402 x y z + 420 x y z + 402 x y z + 247 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 65 x z + 28 y z + 118 x y z + 247 x y z + 323 x y z + 323 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 247 x y z + 118 x y z + 28 x z + 6 y + 28 x y + 65 x y + 93 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 102 x y + 93 x y + 65 x y + 28 x y + 6 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 4 4 5 3 16 y z + 16 x z + 64 y z + 64 x z + 96 y z + 96 x z + 64 y z 2 3 3 3 2 3 5 3 6 2 3 3 2 6 2 + 32 x y z + 32 x y z + 64 x z + 16 y z + 32 x y z + 16 x z 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 16 x y + 64 x y + 96 x y + 64 x y + 16 x y >= 6 2 5 2 5 3 4 2 2 4 3 4 32 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 32 x y z 4 3 4 3 5 2 2 4 2 4 2 2 + 32 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z 5 2 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 64 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 32 x y z + 32 x y z + 64 x y z 6 + 32 x y z 2 Dividing both sides by 16 (z + y + x) gives: 2 4 2 4 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 y z + x z + 2 y z - 2 x y z - 2 x y z + 2 x z + y z - 2 x y z 2 2 2 3 2 4 2 2 3 3 2 2 4 3 3 + 6 x y z - 2 x y z + x z - 2 x y z - 2 x y z + x y + 2 x y 4 2 4 4 4 + x y >= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 2 4 3 3 3 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 y z + x z + 2 y z + 2 x z + y z + 6 x y z + x z + x y 3 3 4 2 4 2 3 2 3 3 2 3 2 + 2 x y + x y >= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z 4 2 3 3 2 4 + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 2, 0} + {3, 3, 0} + {2, 2, 2} >= {4, 1, 1} + 2 {3, 2, 1} This follows from the following majorizations: {3, 3, 0} + {2, 2, 2} >= 2 {3, 2, 1} {4, 2, 0} >= {4, 1, 1} (d19) true (c20) /* 5.16 */ trineq(36*r^2<=csum(a*b)); 2 To prove: b c + a c + a b >= 36 r Let r = K/s . We get: 2 36 K (b + a) c + a b >= ----- 2 s 2 Multiplying both sides by s gives: 2 2 2 2 b c s + a c s + a b s >= 36 K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 ((b + a) c + a b) s >= 36 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 3 2 2 2 3 2 2 3 3 ((b + a) c + (2 b + 5 a b + 2 a ) c + (b + 5 a b + 5 a b + a ) c + a b 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 3 9 c + (- 18 b - 18 a ) c + 9 b - 18 a b + 9 a + 2 a b + a b)/4 >= - ---------------------------------------------------- 4 Multiplying both sides by 4 gives: 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 b c + a c + 2 b c + 5 a b c + 2 a c + b c + 5 a b c + 5 a b c + a c 3 2 2 3 4 2 2 2 2 4 2 2 + a b + 2 a b + a b >= - 9 c + 18 b c + 18 a c - 9 b + 18 a b 4 - 9 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 3 2 3 2 2 3 4 3 9 c + b c + a c + 5 a b c + b c + 5 a b c + 5 a b c + a c + 9 b + a b 3 4 2 2 2 2 2 2 + a b + 9 a >= 16 b c + 16 a c + 16 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (5 z + (13 y + 13 x) z + (20 y + 13 x y + 20 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (13 y + 13 x y + 13 x y + 13 x ) z + 5 y + 13 x y + 20 x y + 13 x y 4 4 3 2 2 2 + 5 x )/4 >= z + (2 y + 2 x) z + (3 y + 8 x y + 3 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (2 y + 8 x y + 8 x y + 2 x ) z + y + 2 x y + 3 x y + 2 x y + x Multiplying both sides by 4 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 5 z + 13 y z + 13 x z + 20 y z + 13 x y z + 20 x z + 13 y z 2 2 3 4 3 2 2 3 + 13 x y z + 13 x y z + 13 x z + 5 y + 13 x y + 20 x y + 13 x y 4 4 3 3 2 2 2 2 2 3 + 5 x >= 4 z + 8 y z + 8 x z + 12 y z + 32 x y z + 12 x z + 8 y z 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + 32 x y z + 32 x y z + 8 x z + 4 y + 8 x y + 12 x y + 8 x y + 4 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 3 2 2 2 2 3 3 4 3 z + 5 y z + 5 x z + 8 y z + 8 x z + 5 y z + 5 x z + y + 5 x y 2 2 3 4 2 2 2 + 8 x y + 5 x y + x >= 19 x y z + 19 x y z + 19 x y z Dividing both sides by z + y + x gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 z + 4 y z + 4 x z + 4 y z - 8 x y z + 4 x z + y + 4 x y + 4 x y 3 + x >= 19 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 3 z + 4 y z + 4 x z + 4 y z + 4 x z + y + 4 x y + 4 x y + x >= 27 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {3, 0, 0} + 8 {2, 1, 0} >= 9 {1, 1, 1} This follows from the following majorizations: 8 {2, 1, 0} >= 8 {1, 1, 1} {3, 0, 0} >= {1, 1, 1} (d20) true (c21) trineq(csum(a*b)<=9*R^2); 2 To prove: 9 R >= b c + a c + a b Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 9 a b c ---------- >= (b + a) c + a b 2 16 K 2 Multiplying both sides by 16 K gives: 2 2 2 2 2 2 9 a b c >= 16 K b c + 16 K a c + 16 K a b Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 2 9 a b c >= (16 F b + 16 F a) c + 16 F a b Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 2 5 4 3 2 2 3 3 9 a b c >= (- b - a) c - a b c + (2 b + 2 a b + 2 a b + 2 a ) c 3 3 2 5 4 2 3 3 2 4 5 + (2 a b + 2 a b) c + (- b - a b + 2 a b + 2 a b - a b - a ) c 5 3 3 5 - a b + 2 a b - a b Expanding and collecting terms of the same sign gives: 5 5 4 2 2 2 5 4 4 5 5 b c + a c + a b c + 9 a b c + b c + a b c + a b c + a c + a b 5 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 2 + a b >= 2 b c + 2 a b c + 2 a b c + 2 a c + 2 a b c + 2 a b c 2 3 3 2 3 3 + 2 a b c + 2 a b c + 2 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 6 5 2 2 4 (2 z + (10 y + 10 x) z + (29 y + 48 x y + 29 x ) z 3 2 2 3 3 + (44 y + 88 x y + 88 x y + 44 x ) z 4 3 2 2 3 4 2 + (29 y + 88 x y + 108 x y + 88 x y + 29 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 6 5 + (10 y + 48 x y + 88 x y + 88 x y + 48 x y + 10 x ) z + 2 y + 10 x y 2 4 3 3 4 2 5 6 + 29 x y + 44 x y + 29 x y + 10 x y + 2 x )/64 >= 6 5 2 2 4 (z + (5 y + 5 x) z + (10 y + 23 x y + 10 x ) z 3 2 2 3 3 + (13 y + 49 x y + 49 x y + 13 x ) z 4 3 2 2 3 4 2 + (10 y + 49 x y + 81 x y + 49 x y + 10 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 6 5 + (5 y + 23 x y + 49 x y + 49 x y + 23 x y + 5 x ) z + y + 5 x y 2 4 3 3 4 2 5 6 + 10 x y + 13 x y + 10 x y + 5 x y + x )/32 Multiplying both sides by 64 gives: 6 5 5 2 4 4 2 4 3 3 2 z + 10 y z + 10 x z + 29 y z + 48 x y z + 29 x z + 44 y z 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 2 2 2 + 88 x y z + 88 x y z + 44 x z + 29 y z + 88 x y z + 108 x y z 3 2 4 2 5 4 2 3 3 2 + 88 x y z + 29 x z + 10 y z + 48 x y z + 88 x y z + 88 x y z 4 5 6 5 2 4 3 3 4 2 + 48 x y z + 10 x z + 2 y + 10 x y + 29 x y + 44 x y + 29 x y 5 6 6 5 5 2 4 4 2 4 + 10 x y + 2 x >= 2 z + 10 y z + 10 x z + 20 y z + 46 x y z + 20 x z 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 + 26 y z + 98 x y z + 98 x y z + 26 x z + 20 y z + 98 x y z 2 2 2 3 2 4 2 5 4 2 3 + 162 x y z + 98 x y z + 20 x z + 10 y z + 46 x y z + 98 x y z 3 2 4 5 6 5 2 4 3 3 + 98 x y z + 46 x y z + 10 x z + 2 y + 10 x y + 20 x y + 26 x y 4 2 5 6 + 20 x y + 10 x y + 2 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 4 2 4 3 3 3 3 4 2 4 2 9 y z + 2 x y z + 9 x z + 18 y z + 18 x z + 9 y z + 9 x z 4 4 2 4 3 3 4 2 + 2 x y z + 2 x y z + 9 x y + 18 x y + 9 x y >= 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 10 x y z + 10 x y z + 10 x y z + 54 x y z + 10 x y z + 10 x y z 3 2 + 10 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 9 {4, 2, 0} + {4, 1, 1} + 9 {3, 3, 0} >= 10 {3, 2, 1} + 9 {2, 2, 2} This follows from the following majorizations: 9 {4, 2, 0} >= 9 {3, 2, 1} {4, 1, 1} >= {3, 2, 1} 9 {3, 3, 0} >= 9 {2, 2, 2} (d21) true (c22) /* 5.17 */ trineq(4*r*(5*R-r)<=csum(a*b)); To prove: b c + a c + a b >= 4 (5 R - r) r Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 r + b c + a c + a b >= 20 R r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 ((b + a) c + a b) s + 4 K 5 a b c --------------------------- >= ------- 2 s s 2 Multiplying both sides by s gives: 2 2 2 2 b c s + a c s + a b s + 4 K >= 5 a b c s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 ((b + a) c + a b) s + 4 F >= 5 a b c s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 4 3 2 2 2 - (c + (- b - a) c + (- 4 b - 5 a b - 4 a ) c 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (- b - 5 a b - 5 a b - a ) c + b - a b - 4 a b - a b + a )/4 >= 2 2 2 5 a b c + (5 a b + 5 a b) c ------------------------------ 2 Multiplying both sides by 4 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 - c + b c + a c + 4 b c + 5 a b c + 4 a c + b c + 5 a b c + 5 a b c 3 4 3 2 2 3 4 2 2 2 + a c - b + a b + 4 a b + a b - a >= 10 a b c + 10 a b c + 10 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 b c + a c + 4 b c + 4 a c + b c + a c + a b + 4 a b + a b >= 4 2 2 2 4 4 c + 5 a b c + 5 a b c + 5 a b c + b + a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (3 z + (7 y + 7 x) z + (9 y + 22 x y + 9 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (7 y + 22 x y + 22 x y + 7 x ) z + 3 y + 7 x y + 9 x y + 7 x y 4 4 3 2 2 2 + 3 x )/8 >= (z + (7 y + 7 x) z + (13 y + 20 x y + 13 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (7 y + 20 x y + 20 x y + 7 x ) z + y + 7 x y + 13 x y + 7 x y + x ) /8 Multiplying both sides by 8 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 z + 7 y z + 7 x z + 9 y z + 22 x y z + 9 x z + 7 y z + 22 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 22 x y z + 7 x z + 3 y + 7 x y + 9 x y + 7 x y + 3 x >= 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 z + 7 y z + 7 x z + 13 y z + 20 x y z + 13 x z + 7 y z + 20 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 20 x y z + 7 x z + y + 7 x y + 13 x y + 7 x y + x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 2 2 4 4 2 z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 y + 2 x >= 2 2 2 2 2 2 4 y z + 4 x z + 4 x y Dividing both sides by 2 gives: 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 z + x y z + x y z + x y z + y + x >= 2 y z + 2 x z + 2 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 0, 0} + {2, 1, 1} >= 2 {2, 2, 0} This follows from the following majorizations: {4, 0, 0} >= {2, 2, 0} left side: [{2, 1, 1}, {4, 0, 0}] right side: [2 {2, 2, 0}] (d22) notyetimplemented (c23) trineq(csum(a*b)<=4*(R+r)^2); 2 To prove: 4 (r + R) >= b c + a c + a b Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 4 a b c s + 8 K a b c s + 16 K ---------------------------------- >= (b + a) c + a b 2 2 4 K s 2 2 Multiplying both sides by 4 K s gives: 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 a b c s + 8 K a b c s + 16 K >= 4 K b c s + 4 K a c s + 4 K a b s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 a b c s + 8 F a b c s + 16 F >= ((4 F b + 4 F a) c + 4 F a b) s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 2 2 6 2 2 5 (c + (- 4 b - 4 a b - 4 a ) c + (- 4 a b - 4 a b) c 4 3 2 2 3 4 4 + (6 b + 8 a b + 8 a b + 8 a b + 6 a ) c 4 2 3 3 2 4 3 + (8 a b + 16 a b + 16 a b + 8 a b) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (- 4 b - 4 a b + 8 a b + 16 a b + 8 a b - 4 a b - 4 a ) c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 8 2 6 + (- 4 a b - 4 a b + 8 a b + 8 a b - 4 a b - 4 a b) c + b - 4 a b 4 4 6 2 8 7 2 2 6 + 6 a b - 4 a b + a )/16 >= - ((b + a) c + (2 b + 5 a b + 2 a ) c 3 2 2 3 5 4 3 2 2 3 + (- b + 3 a b + 3 a b - a ) c + (- 4 b - 9 a b - 6 a b - 9 a b 4 4 5 4 2 3 3 2 4 5 3 - 4 a ) c + (- b - 9 a b - 14 a b - 14 a b - 9 a b - a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (2 b + 3 a b - 6 a b - 14 a b - 6 a b + 3 a b + 2 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 7 + (b + 5 a b + 3 a b - 9 a b - 9 a b + 3 a b + 5 a b + a ) c + a b 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 + 2 a b - a b - 4 a b - a b + 2 a b + a b)/16 Multiplying both sides by 16 gives: 8 2 6 6 2 6 2 5 2 5 4 4 3 4 c - 4 b c - 4 a b c - 4 a c - 4 a b c - 4 a b c + 6 b c + 8 a b c 2 2 4 3 4 4 4 4 3 2 3 3 3 2 3 + 8 a b c + 8 a b c + 6 a c + 8 a b c + 16 a b c + 16 a b c 4 3 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 8 a b c - 4 b c - 4 a b c + 8 a b c + 16 a b c + 8 a b c 5 2 6 2 6 2 5 3 4 4 3 - 4 a b c - 4 a c - 4 a b c - 4 a b c + 8 a b c + 8 a b c 5 2 6 8 2 6 4 4 6 2 8 - 4 a b c - 4 a b c + b - 4 a b + 6 a b - 4 a b + a >= 7 7 2 6 6 2 6 3 5 2 5 2 5 - b c - a c - 2 b c - 5 a b c - 2 a c + b c - 3 a b c - 3 a b c 3 5 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4 4 5 3 + a c + 4 b c + 9 a b c + 6 a b c + 9 a b c + 4 a c + b c 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 9 a b c + 14 a b c + 14 a b c + 9 a b c + a c - 2 b c 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 - 3 a b c + 6 a b c + 14 a b c + 6 a b c - 3 a b c - 2 a c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 - b c - 5 a b c - 3 a b c + 9 a b c + 9 a b c - 3 a b c - 5 a b c 7 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 - a c - a b - 2 a b + a b + 4 a b + a b - 2 a b - a b Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 7 7 6 4 4 2 2 4 4 4 2 3 3 c + b c + a c + a b c + 2 b c + 2 a b c + 2 a c + 2 a b c 3 2 3 2 4 2 3 3 2 4 2 2 7 6 6 + 2 a b c + 2 a b c + 2 a b c + 2 a b c + b c + a b c + a b c 7 8 7 4 4 7 8 + a c + b + a b + 2 a b + a b + a >= 2 6 2 6 3 5 2 5 2 5 3 5 3 4 3 4 2 b c + 2 a c + b c + a b c + a b c + a c + a b c + a b c 5 3 4 3 4 3 5 3 6 2 5 2 5 2 6 2 + b c + a b c + a b c + a c + 2 b c + a b c + a b c + 2 a c 2 5 3 4 4 3 5 2 2 6 3 5 5 3 6 2 + a b c + a b c + a b c + a b c + 2 a b + a b + a b + 2 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (6 z + (28 y + 28 x) z + (81 y + 86 x y + 81 x ) z 3 2 2 3 5 + (157 y + 183 x y + 183 x y + 157 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (198 y + 291 x y + 338 x y + 291 x y + 198 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (157 y + 291 x y + 452 x y + 452 x y + 291 x y + 157 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (81 y + 183 x y + 338 x y + 452 x y + 338 x y + 183 x y + 81 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (28 y + 86 x y + 183 x y + 291 x y + 291 x y + 183 x y + 86 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 28 x ) z + 6 y + 28 x y + 81 x y + 157 x y + 198 x y + 157 x y 6 2 7 8 8 7 + 81 x y + 28 x y + 6 x )/256 >= (6 z + (28 y + 28 x) z 2 2 6 3 2 2 3 5 + (65 y + 118 x y + 65 x ) z + (93 y + 247 x y + 247 x y + 93 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (102 y + 323 x y + 402 x y + 323 x y + 102 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (93 y + 323 x y + 420 x y + 420 x y + 323 x y + 93 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (65 y + 247 x y + 402 x y + 420 x y + 402 x y + 247 x y + 65 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (28 y + 118 x y + 247 x y + 323 x y + 323 x y + 247 x y + 118 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 28 x ) z + 6 y + 28 x y + 65 x y + 93 x y + 102 x y + 93 x y 6 2 7 8 + 65 x y + 28 x y + 6 x )/256 Multiplying both sides by 256 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 6 z + 28 y z + 28 x z + 81 y z + 86 x y z + 81 x z + 157 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 183 x y z + 183 x y z + 157 x z + 198 y z + 291 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 338 x y z + 291 x y z + 198 x z + 157 y z + 291 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 452 x y z + 452 x y z + 291 x y z + 157 x z + 81 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 183 x y z + 338 x y z + 452 x y z + 338 x y z + 183 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 81 x z + 28 y z + 86 x y z + 183 x y z + 291 x y z + 291 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 183 x y z + 86 x y z + 28 x z + 6 y + 28 x y + 81 x y + 157 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 198 x y + 157 x y + 81 x y + 28 x y + 6 x >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 6 z + 28 y z + 28 x z + 65 y z + 118 x y z + 65 x z + 93 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 247 x y z + 247 x y z + 93 x z + 102 y z + 323 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 402 x y z + 323 x y z + 102 x z + 93 y z + 323 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 420 x y z + 420 x y z + 323 x y z + 93 x z + 65 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 247 x y z + 402 x y z + 420 x y z + 402 x y z + 247 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 65 x z + 28 y z + 118 x y z + 247 x y z + 323 x y z + 323 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 247 x y z + 118 x y z + 28 x z + 6 y + 28 x y + 65 x y + 93 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 102 x y + 93 x y + 65 x y + 28 x y + 6 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 2 6 3 5 3 5 4 4 4 4 5 3 16 y z + 16 x z + 64 y z + 64 x z + 96 y z + 96 x z + 64 y z 2 3 3 3 2 3 5 3 6 2 3 3 2 6 2 + 32 x y z + 32 x y z + 64 x z + 16 y z + 32 x y z + 16 x z 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 16 x y + 64 x y + 96 x y + 64 x y + 16 x y >= 6 2 5 2 5 3 4 2 2 4 3 4 32 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 32 x y z 4 3 4 3 5 2 2 4 2 4 2 2 + 32 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 64 x y z + 64 x y z 5 2 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 64 x y z + 32 x y z + 64 x y z + 32 x y z + 32 x y z + 64 x y z 6 + 32 x y z 2 Dividing both sides by 16 (z + y + x) gives: 2 4 2 4 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 y z + x z + 2 y z - 2 x y z - 2 x y z + 2 x z + y z - 2 x y z 2 2 2 3 2 4 2 2 3 3 2 2 4 3 3 + 6 x y z - 2 x y z + x z - 2 x y z - 2 x y z + x y + 2 x y 4 2 4 4 4 + x y >= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 2 4 3 3 3 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 y z + x z + 2 y z + 2 x z + y z + 6 x y z + x z + x y 3 3 4 2 4 2 3 2 3 3 2 3 2 + 2 x y + x y >= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z 4 2 3 3 2 4 + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 2, 0} + {3, 3, 0} + {2, 2, 2} >= {4, 1, 1} + 2 {3, 2, 1} This follows from the following majorizations: {3, 3, 0} + {2, 2, 2} >= 2 {3, 2, 1} {4, 2, 0} >= {4, 1, 1} (d23) true (c24) /* 5.18 */ trineq(36*r^2<=4*r*(5*R-r)); 2 To prove: 4 (5 R - r) r >= 36 r Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 20 R r >= 40 r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 5 a b c 40 K ------- >= ----- s 2 s 2 Multiplying both sides by s gives: 2 5 a b c s >= 40 K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 5 a b c s >= 40 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 2 5 a b c + (5 a b + 5 a b) c ------------------------------ >= 2 4 2 2 2 4 2 2 4 5 c + (- 10 b - 10 a ) c + 5 b - 10 a b + 5 a - ---------------------------------------------------- 2 Multiplying both sides by 2 gives: 2 2 2 4 2 2 2 2 4 5 a b c + 5 a b c + 5 a b c >= - 5 c + 10 b c + 10 a c - 5 b 2 2 4 + 10 a b - 5 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 2 2 4 4 5 c + 5 a b c + 5 a b c + 5 a b c + 5 b + 5 a >= 2 2 2 2 2 2 10 b c + 10 a c + 10 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (5 z + (15 y + 15 x) z + (25 y + 20 x y + 25 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (15 y + 20 x y + 20 x y + 15 x ) z + 5 y + 15 x y + 25 x y + 15 x y 4 4 3 2 2 2 + 5 x )/8 >= (5 z + (10 y + 10 x) z + (15 y + 40 x y + 15 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (10 y + 40 x y + 40 x y + 10 x ) z + 5 y + 10 x y + 15 x y + 10 x y 4 + 5 x )/8 Multiplying both sides by 8 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 5 z + 15 y z + 15 x z + 25 y z + 20 x y z + 25 x z + 15 y z 2 2 3 4 3 2 2 3 + 20 x y z + 20 x y z + 15 x z + 5 y + 15 x y + 25 x y + 15 x y 4 4 3 3 2 2 2 2 2 3 + 5 x >= 5 z + 10 y z + 10 x z + 15 y z + 40 x y z + 15 x z + 10 y z 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + 40 x y z + 40 x y z + 10 x z + 5 y + 10 x y + 15 x y + 10 x y + 5 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 5 y z + 5 x z + 10 y z + 10 x z + 5 y z + 5 x z + 5 x y + 10 x y 3 2 2 2 + 5 x y >= 20 x y z + 20 x y z + 20 x y z Dividing both sides by 5 (z + y + x) gives: 2 2 2 2 2 2 y z + x z + y z - 2 x y z + x z + x y + x y >= 4 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 2 2 2 y z + x z + y z + x z + x y + x y >= 6 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {2, 1, 0} >= {1, 1, 1} This result follows from the majorization theorem. (d24) true (c25) trineq(4*r*(5*R-r)<=csum(a*b)); To prove: b c + a c + a b >= 4 (5 R - r) r Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 r + b c + a c + a b >= 20 R r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 ((b + a) c + a b) s + 4 K 5 a b c --------------------------- >= ------- 2 s s 2 Multiplying both sides by s gives: 2 2 2 2 b c s + a c s + a b s + 4 K >= 5 a b c s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 ((b + a) c + a b) s + 4 F >= 5 a b c s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 4 3 2 2 2 - (c + (- b - a) c + (- 4 b - 5 a b - 4 a ) c 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (- b - 5 a b - 5 a b - a ) c + b - a b - 4 a b - a b + a )/4 >= 2 2 2 5 a b c + (5 a b + 5 a b) c ------------------------------ 2 Multiplying both sides by 4 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 - c + b c + a c + 4 b c + 5 a b c + 4 a c + b c + 5 a b c + 5 a b c 3 4 3 2 2 3 4 2 2 2 + a c - b + a b + 4 a b + a b - a >= 10 a b c + 10 a b c + 10 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 b c + a c + 4 b c + 4 a c + b c + a c + a b + 4 a b + a b >= 4 2 2 2 4 4 c + 5 a b c + 5 a b c + 5 a b c + b + a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (3 z + (7 y + 7 x) z + (9 y + 22 x y + 9 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (7 y + 22 x y + 22 x y + 7 x ) z + 3 y + 7 x y + 9 x y + 7 x y 4 4 3 2 2 2 + 3 x )/8 >= (z + (7 y + 7 x) z + (13 y + 20 x y + 13 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (7 y + 20 x y + 20 x y + 7 x ) z + y + 7 x y + 13 x y + 7 x y + x ) /8 Multiplying both sides by 8 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 z + 7 y z + 7 x z + 9 y z + 22 x y z + 9 x z + 7 y z + 22 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 22 x y z + 7 x z + 3 y + 7 x y + 9 x y + 7 x y + 3 x >= 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 z + 7 y z + 7 x z + 13 y z + 20 x y z + 13 x z + 7 y z + 20 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 20 x y z + 7 x z + y + 7 x y + 13 x y + 7 x y + x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 2 2 4 4 2 z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 y + 2 x >= 2 2 2 2 2 2 4 y z + 4 x z + 4 x y Dividing both sides by 2 gives: 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 z + x y z + x y z + x y z + y + x >= 2 y z + 2 x z + 2 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 0, 0} + {2, 1, 1} >= 2 {2, 2, 0} This follows from the following majorizations: {4, 0, 0} >= {2, 2, 0} left side: [{2, 1, 1}, {4, 0, 0}] right side: [2 {2, 2, 0}] (d25) notyetimplemented (c26) trineq(4*(R+r)^2<=9*R^2); 2 2 To prove: 9 R >= 4 (r + R) Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 5 R >= 4 r + 8 R r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 5 a b c 2 a b c s + 4 K ---------- >= ---------------- 2 2 16 K s 2 2 Multiplying both sides by 16 K s gives: 2 2 2 2 2 4 5 a b c s >= 32 K a b c s + 64 K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 4 5 a b c s >= 32 F a b c s + 64 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 4 2 3 3 2 3 2 4 3 3 4 2 2 5 a b c + (10 a b + 10 a b ) c + (5 a b + 10 a b + 5 a b ) c ------------------------------------------------------------------------- >= 4 8 2 2 6 2 2 5 (c + (- 4 b - 4 a b - 4 a ) c + (- 4 a b - 4 a b) c 4 3 2 2 3 4 4 + (6 b + 8 a b + 4 a b + 8 a b + 6 a ) c 4 2 3 3 2 4 3 + (8 a b + 8 a b + 8 a b + 8 a b) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (- 4 b - 4 a b + 4 a b + 8 a b + 4 a b - 4 a b - 4 a ) c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 8 2 6 + (- 4 a b - 4 a b + 8 a b + 8 a b - 4 a b - 4 a b) c + b - 4 a b 4 4 6 2 8 + 6 a b - 4 a b + a )/4 Multiplying both sides by 4 gives: 2 2 4 2 3 3 3 2 3 2 4 2 3 3 2 5 a b c + 10 a b c + 10 a b c + 5 a b c + 10 a b c 4 2 2 8 2 6 6 2 6 2 5 2 5 + 5 a b c >= c - 4 b c - 4 a b c - 4 a c - 4 a b c - 4 a b c 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4 4 4 3 + 6 b c + 8 a b c + 4 a b c + 8 a b c + 6 a c + 8 a b c 2 3 3 3 2 3 4 3 6 2 5 2 2 4 2 + 8 a b c + 8 a b c + 8 a b c - 4 b c - 4 a b c + 4 a b c 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 6 2 5 + 8 a b c + 4 a b c - 4 a b c - 4 a c - 4 a b c - 4 a b c 3 4 4 3 5 2 6 8 2 6 4 4 + 8 a b c + 8 a b c - 4 a b c - 4 a b c + b - 4 a b + 6 a b 6 2 8 - 4 a b + a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 6 2 6 2 5 2 5 2 2 4 2 3 3 4 b c + 4 a b c + 4 a c + 4 a b c + 4 a b c + a b c + 2 a b c 3 2 3 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 2 a b c + 4 b c + 4 a b c + a b c + 2 a b c + a b c 5 2 6 2 6 2 5 5 2 6 2 6 + 4 a b c + 4 a c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b c + 4 a b 6 2 8 4 4 3 4 3 4 4 4 4 3 + 4 a b >= c + 6 b c + 8 a b c + 8 a b c + 6 a c + 8 a b c 4 3 3 4 4 3 8 4 4 8 + 8 a b c + 8 a b c + 8 a b c + b + 6 a b + a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (2 z + (12 y + 12 x) z + (35 y + 62 x y + 35 x ) z 3 2 2 3 5 + (62 y + 142 x y + 142 x y + 62 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (76 y + 196 x y + 220 x y + 196 x y + 76 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (62 y + 196 x y + 218 x y + 218 x y + 196 x y + 62 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (35 y + 142 x y + 220 x y + 218 x y + 220 x y + 142 x y + 35 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (12 y + 62 x y + 142 x y + 196 x y + 196 x y + 142 x y + 62 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + 12 x ) z + 2 y + 12 x y + 35 x y + 62 x y + 76 x y + 62 x y 6 2 7 8 8 7 + 35 x y + 12 x y + 2 x )/64 >= (z + (6 y + 6 x) z 2 2 6 3 2 2 3 5 + (15 y + 26 x y + 15 x ) z + (21 y + 57 x y + 57 x y + 21 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (23 y + 81 x y + 138 x y + 81 x y + 23 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (21 y + 81 x y + 188 x y + 188 x y + 81 x y + 21 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 2 + (15 y + 57 x y + 138 x y + 188 x y + 138 x y + 57 x y + 15 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (6 y + 26 x y + 57 x y + 81 x y + 81 x y + 57 x y + 26 x y 7 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 6 x ) z + y + 6 x y + 15 x y + 21 x y + 23 x y + 21 x y + 15 x y 7 8 + 6 x y + x )/32 Multiplying both sides by 64 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 2 z + 12 y z + 12 x z + 35 y z + 62 x y z + 35 x z + 62 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 2 2 4 + 142 x y z + 142 x y z + 62 x z + 76 y z + 196 x y z + 220 x y z 3 4 4 4 5 3 4 3 2 3 3 + 196 x y z + 76 x z + 62 y z + 196 x y z + 218 x y z 3 2 3 4 3 5 3 6 2 5 2 + 218 x y z + 196 x y z + 62 x z + 35 y z + 142 x y z 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 + 220 x y z + 218 x y z + 220 x y z + 142 x y z + 35 x z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 12 y z + 62 x y z + 142 x y z + 196 x y z + 196 x y z + 142 x y z 6 7 8 7 2 6 3 5 4 4 + 62 x y z + 12 x z + 2 y + 12 x y + 35 x y + 62 x y + 76 x y 5 3 6 2 7 8 + 62 x y + 35 x y + 12 x y + 2 x >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 2 z + 12 y z + 12 x z + 30 y z + 52 x y z + 30 x z + 42 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 2 2 4 + 114 x y z + 114 x y z + 42 x z + 46 y z + 162 x y z + 276 x y z 3 4 4 4 5 3 4 3 2 3 3 + 162 x y z + 46 x z + 42 y z + 162 x y z + 376 x y z 3 2 3 4 3 5 3 6 2 5 2 + 376 x y z + 162 x y z + 42 x z + 30 y z + 114 x y z 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 + 276 x y z + 376 x y z + 276 x y z + 114 x y z + 30 x z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 12 y z + 52 x y z + 114 x y z + 162 x y z + 162 x y z + 114 x y z 6 7 8 7 2 6 3 5 4 4 + 52 x y z + 12 x z + 2 y + 12 x y + 30 x y + 42 x y + 46 x y 5 3 6 2 7 8 + 42 x y + 30 x y + 12 x y + 2 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 6 2 6 3 5 2 5 2 5 3 5 5 y z + 10 x y z + 5 x z + 20 y z + 28 x y z + 28 x y z + 20 x z 4 4 3 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 30 y z + 34 x y z + 34 x y z + 30 x z + 20 y z + 34 x y z 4 3 5 3 6 2 5 2 5 2 6 2 + 34 x y z + 20 x z + 5 y z + 28 x y z + 28 x y z + 5 x z 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + 10 x y z + 28 x y z + 34 x y z + 34 x y z + 28 x y z + 10 x y z 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 5 x y + 20 x y + 30 x y + 20 x y + 5 x y >= 2 2 4 2 3 3 3 2 3 2 4 2 3 3 2 56 x y z + 158 x y z + 158 x y z + 56 x y z + 158 x y z 4 2 2 + 56 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 5 {6, 2, 0} + 5 {6, 1, 1} + 20 {5, 3, 0} + 28 {5, 2, 1} + 15 {4, 4, 0} + 34 {4, 3, 1} >= 28 {4, 2, 2} + 79 {3, 3, 2} This follows from the following majorizations: 5 {6, 2, 0} >= 5 {4, 2, 2} 5 {6, 1, 1} >= 5 {4, 2, 2} 18 {5, 3, 0} >= 18 {4, 2, 2} 2 {5, 3, 0} >= 2 {3, 3, 2} 28 {5, 2, 1} >= 28 {3, 3, 2} 15 {4, 4, 0} >= 15 {3, 3, 2} 34 {4, 3, 1} >= 34 {3, 3, 2} (d26) true (c27) /* 5.20 */ trineq(csum(a*(s-a))<=9*R*r); To prove: 9 R r >= c (s - c) + b (s - b) + a (s - a) Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 9 R r + c + b + a >= c s + b s + a s Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 (4 c + 4 b + 4 a ) s + 9 a b c -------------------------------- >= (c + b + a) s 4 s Multiplying both sides by 4 s gives: 2 2 2 2 2 2 4 c s + 4 b s + 4 a s + 9 a b c >= 4 c s + 4 b s + 4 a s Let s = (c+b+a)/2 . We get: 3 2 2 2 3 2 2 2 c + (2 b + 2 a) c + (2 b + 9 a b + 2 a ) c + 2 b + 2 a b + 2 a b 3 3 2 2 2 3 2 2 + 2 a >= c + (3 b + 3 a) c + (3 b + 6 a b + 3 a ) c + b + 3 a b + 3 a b 3 + a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 c + 3 a b c + b + a >= b c + a c + b c + a c + a b + a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 3 2 2 2 3 2 2 3 z + (3 y + 3 x) z + (3 y + 3 x y + 3 x ) z + y + 3 x y + 3 x y + x ------------------------------------------------------------------------- >= 4 3 2 2 2 3 2 2 (2 z + (5 y + 5 x) z + (5 y + 12 x y + 5 x ) z + 2 y + 5 x y + 5 x y 3 + 2 x )/8 Multiplying both sides by 8 gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 2 z + 6 y z + 6 x z + 6 y z + 6 x y z + 6 x z + 2 y + 6 x y + 6 x y 3 3 2 2 2 2 3 2 + 2 x >= 2 z + 5 y z + 5 x z + 5 y z + 12 x y z + 5 x z + 2 y + 5 x y 2 3 + 5 x y + 2 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 2 2 2 y z + x z + y z + x z + x y + x y >= 6 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {2, 1, 0} >= {1, 1, 1} This result follows from the majorization theorem. (d27) true (c28) /* 5.21 */ trineq(a*b*c<=8*R^2*r+(12*sqrt(3)-16)*R*r^2); 2 2 To prove: (12 sqrt(3) - 16) R r + 8 R r >= a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 12 sqrt(3) R r + 8 R r >= 16 R r + a b c Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) K a b c a b c s + 4 K a b c ------------------------------- >= -------------------- 2 2 2 K s s 2 Multiplying both sides by 2 K s gives: 2 2 2 2 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) K a b c >= 2 K a b c s + 8 K a b c Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) F a b c >= 2 K a b c s + 8 F a b c left side: [12 {3, 2, 2}, 6 {3, 3, 1}, {4, 2, 1}, 6 {4, 2, 1}, 3 {4, 3, 0}, {5, 1, 1}, {5, 2, 0}] right side: [5 {3, 2, 2}, {3, 3, 1}] Warning: cannot determine if the other side, 2 2 2 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) F a b c - 8 F a b c is positive. (Assuming it is.) Bringing all terms involving K to the right side yields: 2 2 2 2 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) F a b c - 8 F a b c >= 2 K a b c s 2 Since 2 a b c s is positive, and since 2 2 2 2 2 a b c s + 6 sqrt(3) F a b c - 8 F a b c is positive, we can square both sides to get: 4 4 4 2 2 3 3 3 a b c s + (12 sqrt(3) - 16) F a b c s 4 2 2 2 2 2 2 8 + (172 - 96 sqrt(3)) F a b c >= 4 a b c s 2 3 3 2 2 2 2 3 7 + ((- 4 a b - 4 a b ) c - 4 a b c ) s 2 3 3 2 3 3 3 2 6 3 3 3 5 + ((4 a b + 4 a b ) c + 4 a b c ) s - 4 a b c s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 3 7 2 3 2 7 3 2 2 7 3 3 3 5 4 4 4 2 4 a b c s + 4 a b c s + 4 a b c s + 4 a b c s + a b c s 2 3 3 3 4 2 2 2 + 12 sqrt(3) F a b c s + 172 F a b c >= 2 2 2 8 2 3 3 6 3 2 3 6 3 3 2 6 4 a b c s + 4 a b c s + 4 a b c s + 4 a b c s 2 3 3 3 4 2 2 2 + 16 F a b c s + 96 sqrt(3) F a b c 2 2 2 Dividing both sides by a b c gives: 7 7 7 5 2 2 2 2 2 4 c s + 4 b s + 4 a s + 4 a b c s + a b c s + 12 sqrt(3) F a b c s 4 8 6 6 6 2 + 172 F >= 4 s + 4 b c s + 4 a c s + 4 a b s + 16 F a b c s 4 + 96 sqrt(3) F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 7 2 2 6 (45 c + (16 b + 16 a) c + (- 116 b + (120 - 24 sqrt(3)) a b - 116 a ) c 3 2 2 3 5 + (112 b + (376 - 24 sqrt(3)) a b + (376 - 24 sqrt(3)) a b + 112 a ) c 4 3 2 2 3 + (398 b + (48 sqrt(3) + 640) a b + 1188 a b + (48 sqrt(3) + 640) a b 4 4 5 4 2 3 + 398 a ) c + (112 b + (48 sqrt(3) + 640) a b + (48 sqrt(3) + 1392) a b 3 2 4 5 3 + (48 sqrt(3) + 1392) a b + (48 sqrt(3) + 640) a b + 112 a ) c 6 5 2 4 3 3 + (- 116 b + (376 - 24 sqrt(3)) a b + 1188 a b + (48 sqrt(3) + 1392) a b 4 2 5 6 2 + 1188 a b + (376 - 24 sqrt(3)) a b - 116 a ) c 7 6 2 5 + (16 b + (120 - 24 sqrt(3)) a b + (376 - 24 sqrt(3)) a b 3 4 4 3 + (48 sqrt(3) + 640) a b + (48 sqrt(3) + 640) a b 5 2 6 7 8 + (376 - 24 sqrt(3)) a b + (120 - 24 sqrt(3)) a b + 16 a ) c + 45 b 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 16 a b - 116 a b + 112 a b + 398 a b + 112 a b - 116 a b 7 8 8 7 + 16 a b + 45 a )/64 >= ((24 sqrt(3) + 1) c + (12 b + 12 a) c 2 2 6 + ((52 - 96 sqrt(3)) b + 76 a b + (52 - 96 sqrt(3)) a ) c 3 2 2 3 5 + (116 b + 340 a b + 340 a b + 116 a ) c 4 3 2 2 3 + ((144 sqrt(3) + 150) b + 724 a b + (96 sqrt(3) + 1020) a b + 724 a b 4 4 5 4 2 3 3 2 + (144 sqrt(3) + 150) a ) c + (116 b + 724 a b + 1464 a b + 1464 a b 4 5 3 6 5 + 724 a b + 116 a ) c + ((52 - 96 sqrt(3)) b + 340 a b 2 4 3 3 4 2 + (96 sqrt(3) + 1020) a b + 1464 a b + (96 sqrt(3) + 1020) a b 5 6 2 7 6 2 5 + 340 a b + (52 - 96 sqrt(3)) a ) c + (12 b + 76 a b + 340 a b 3 4 4 3 5 2 6 7 8 + 724 a b + 724 a b + 340 a b + 76 a b + 12 a ) c + (24 sqrt(3) + 1) b 7 2 6 3 5 4 4 + 12 a b + (52 - 96 sqrt(3)) a b + 116 a b + (144 sqrt(3) + 150) a b 5 3 6 2 7 8 + 116 a b + (52 - 96 sqrt(3)) a b + 12 a b + (24 sqrt(3) + 1) a )/64 Multiplying both sides by 64 gives: 8 7 7 2 6 6 6 45 c + 16 b c + 16 a c - 116 b c - 24 sqrt(3) a b c + 120 a b c 2 6 3 5 2 5 2 5 - 116 a c + 112 b c - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c 2 5 2 5 3 5 4 4 - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c + 112 a c + 398 b c 3 4 3 4 2 2 4 3 4 + 48 sqrt(3) a b c + 640 a b c + 1188 a b c + 48 sqrt(3) a b c 3 4 4 4 5 3 4 3 4 3 + 640 a b c + 398 a c + 112 b c + 48 sqrt(3) a b c + 640 a b c 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 + 48 sqrt(3) a b c + 1392 a b c + 48 sqrt(3) a b c + 1392 a b c 4 3 4 3 5 3 6 2 + 48 sqrt(3) a b c + 640 a b c + 112 a c - 116 b c 5 2 5 2 2 4 2 3 3 2 - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c + 1188 a b c + 48 sqrt(3) a b c 3 3 2 4 2 2 5 2 5 2 6 2 + 1392 a b c + 1188 a b c - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c - 116 a c 7 6 6 2 5 2 5 + 16 b c - 24 sqrt(3) a b c + 120 a b c - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c 3 4 3 4 4 3 4 3 + 48 sqrt(3) a b c + 640 a b c + 48 sqrt(3) a b c + 640 a b c 5 2 5 2 6 6 7 - 24 sqrt(3) a b c + 376 a b c - 24 sqrt(3) a b c + 120 a b c + 16 a c 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 45 b + 16 a b - 116 a b + 112 a b + 398 a b + 112 a b - 116 a b 7 8 8 8 7 7 2 6 + 16 a b + 45 a >= 24 sqrt(3) c + c + 12 b c + 12 a c - 96 sqrt(3) b c 2 6 6 2 6 2 6 3 5 2 5 + 52 b c + 76 a b c - 96 sqrt(3) a c + 52 a c + 116 b c + 340 a b c 2 5 3 5 4 4 4 4 3 4 + 340 a b c + 116 a c + 144 sqrt(3) b c + 150 b c + 724 a b c 2 2 4 2 2 4 3 4 4 4 + 96 sqrt(3) a b c + 1020 a b c + 724 a b c + 144 sqrt(3) a c 4 4 5 3 4 3 2 3 3 3 2 3 + 150 a c + 116 b c + 724 a b c + 1464 a b c + 1464 a b c 4 3 5 3 6 2 6 2 5 2 + 724 a b c + 116 a c - 96 sqrt(3) b c + 52 b c + 340 a b c 2 4 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 96 sqrt(3) a b c + 1020 a b c + 1464 a b c + 96 sqrt(3) a b c 4 2 2 5 2 6 2 6 2 7 + 1020 a b c + 340 a b c - 96 sqrt(3) a c + 52 a c + 12 b c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 76 a b c + 340 a b c + 724 a b c + 724 a b c + 340 a b c 6 7 8 8 7 2 6 + 76 a b c + 12 a c + 24 sqrt(3) b + b + 12 a b - 96 sqrt(3) a b 2 6 3 5 4 4 4 4 5 3 + 52 a b + 116 a b + 144 sqrt(3) a b + 150 a b + 116 a b 6 2 6 2 7 8 8 - 96 sqrt(3) a b + 52 a b + 12 a b + 24 sqrt(3) a + a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 44 c + 4 b c + 4 a c + 96 sqrt(3) b c + 44 a b c + 96 sqrt(3) a c 2 5 2 5 4 4 3 4 2 2 4 + 36 a b c + 36 a b c + 248 b c + 48 sqrt(3) a b c + 168 a b c 3 4 4 4 4 3 2 3 3 + 48 sqrt(3) a b c + 248 a c + 48 sqrt(3) a b c + 48 sqrt(3) a b c 3 2 3 4 3 6 2 5 2 + 48 sqrt(3) a b c + 48 sqrt(3) a b c + 96 sqrt(3) b c + 36 a b c 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 168 a b c + 48 sqrt(3) a b c + 168 a b c + 36 a b c 6 2 7 6 2 5 3 4 + 96 sqrt(3) a c + 4 b c + 44 a b c + 36 a b c + 48 sqrt(3) a b c 4 3 5 2 6 7 8 7 + 48 sqrt(3) a b c + 36 a b c + 44 a b c + 4 a c + 44 b + 4 a b 2 6 4 4 6 2 7 8 + 96 sqrt(3) a b + 248 a b + 96 sqrt(3) a b + 4 a b + 44 a >= 8 2 6 6 2 6 3 5 24 sqrt(3) c + 168 b c + 24 sqrt(3) a b c + 168 a c + 4 b c 2 5 2 5 3 5 4 4 + 24 sqrt(3) a b c + 24 sqrt(3) a b c + 4 a c + 144 sqrt(3) b c 3 4 2 2 4 3 4 4 4 5 3 + 84 a b c + 96 sqrt(3) a b c + 84 a b c + 144 sqrt(3) a c + 4 b c 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 84 a b c + 72 a b c + 72 a b c + 84 a b c + 4 a c + 168 b c 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 24 sqrt(3) a b c + 96 sqrt(3) a b c + 72 a b c + 96 sqrt(3) a b c 5 2 6 2 6 2 5 + 24 sqrt(3) a b c + 168 a c + 24 sqrt(3) a b c + 24 sqrt(3) a b c 3 4 4 3 5 2 6 + 84 a b c + 84 a b c + 24 sqrt(3) a b c + 24 sqrt(3) a b c 8 2 6 3 5 4 4 5 3 + 24 sqrt(3) b + 168 a b + 4 a b + 144 sqrt(3) a b + 4 a b 6 2 8 + 168 a b + 24 sqrt(3) a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 ((24 sqrt(3) + 43) z + ((108 sqrt(3) + 193) y + (108 sqrt(3) + 193) x) z 2 2 + ((264 sqrt(3) + 475) y + (432 sqrt(3) + 752) x y + (264 sqrt(3) + 475) x ) 6 3 2 z + ((408 sqrt(3) + 745) y + (972 sqrt(3) + 1512) x y 2 3 5 + (972 sqrt(3) + 1512) x y + (408 sqrt(3) + 745) x ) z 4 3 + ((480 sqrt(3) + 881) y + (1428 sqrt(3) + 1978) x y 2 2 3 + (1656 sqrt(3) + 3150) x y + (1428 sqrt(3) + 1978) x y 4 4 5 + (480 sqrt(3) + 881) x ) z + ((408 sqrt(3) + 745) y 4 2 3 + (1428 sqrt(3) + 1978) x y + (1800 sqrt(3) + 4056) x y 3 2 4 + (1800 sqrt(3) + 4056) x y + (1428 sqrt(3) + 1978) x y 5 3 6 + (408 sqrt(3) + 745) x ) z + ((264 sqrt(3) + 475) y 5 2 4 + (972 sqrt(3) + 1512) x y + (1656 sqrt(3) + 3150) x y 3 3 4 2 + (1800 sqrt(3) + 4056) x y + (1656 sqrt(3) + 3150) x y 5 6 2 + (972 sqrt(3) + 1512) x y + (264 sqrt(3) + 475) x ) z 7 6 + ((108 sqrt(3) + 193) y + (432 sqrt(3) + 752) x y 2 5 3 4 + (972 sqrt(3) + 1512) x y + (1428 sqrt(3) + 1978) x y 4 3 5 2 + (1428 sqrt(3) + 1978) x y + (972 sqrt(3) + 1512) x y 6 7 8 + (432 sqrt(3) + 752) x y + (108 sqrt(3) + 193) x ) z + (24 sqrt(3) + 43) y 7 2 6 + (108 sqrt(3) + 193) x y + (264 sqrt(3) + 475) x y 3 5 4 4 + (408 sqrt(3) + 745) x y + (480 sqrt(3) + 881) x y 5 3 6 2 + (408 sqrt(3) + 745) x y + (264 sqrt(3) + 475) x y 7 8 + (108 sqrt(3) + 193) x y + (24 sqrt(3) + 43) x )/32 >= 8 7 ((24 sqrt(3) + 43) z + ((108 sqrt(3) + 193) y + (108 sqrt(3) + 193) x) z 2 2 + ((264 sqrt(3) + 467) y + (432 sqrt(3) + 768) x y + (264 sqrt(3) + 467) x ) 6 3 2 z + ((408 sqrt(3) + 713) y + (876 sqrt(3) + 1704) x y 2 3 5 + (876 sqrt(3) + 1704) x y + (408 sqrt(3) + 713) x ) z 4 3 + ((480 sqrt(3) + 833) y + (1140 sqrt(3) + 2474) x y 2 2 3 + (1848 sqrt(3) + 2862) x y + (1140 sqrt(3) + 2474) x y 4 4 5 + (480 sqrt(3) + 833) x ) z + ((408 sqrt(3) + 713) y 4 2 3 + (1140 sqrt(3) + 2474) x y + (2376 sqrt(3) + 3080) x y 3 2 4 + (2376 sqrt(3) + 3080) x y + (1140 sqrt(3) + 2474) x y 5 3 6 + (408 sqrt(3) + 713) x ) z + ((264 sqrt(3) + 467) y 5 2 4 + (876 sqrt(3) + 1704) x y + (1848 sqrt(3) + 2862) x y 3 3 4 2 + (2376 sqrt(3) + 3080) x y + (1848 sqrt(3) + 2862) x y 5 6 2 + (876 sqrt(3) + 1704) x y + (264 sqrt(3) + 467) x ) z 7 6 + ((108 sqrt(3) + 193) y + (432 sqrt(3) + 768) x y 2 5 3 4 + (876 sqrt(3) + 1704) x y + (1140 sqrt(3) + 2474) x y 4 3 5 2 + (1140 sqrt(3) + 2474) x y + (876 sqrt(3) + 1704) x y 6 7 8 + (432 sqrt(3) + 768) x y + (108 sqrt(3) + 193) x ) z + (24 sqrt(3) + 43) y 7 2 6 + (108 sqrt(3) + 193) x y + (264 sqrt(3) + 467) x y 3 5 4 4 + (408 sqrt(3) + 713) x y + (480 sqrt(3) + 833) x y 5 3 6 2 + (408 sqrt(3) + 713) x y + (264 sqrt(3) + 467) x y 7 8 + (108 sqrt(3) + 193) x y + (24 sqrt(3) + 43) x )/32 Multiplying both sides by 32 gives: 8 8 7 7 7 24 sqrt(3) z + 43 z + 108 sqrt(3) y z + 193 y z + 108 sqrt(3) x z 7 2 6 2 6 6 6 + 193 x z + 264 sqrt(3) y z + 475 y z + 432 sqrt(3) x y z + 752 x y z 2 6 2 6 3 5 3 5 + 264 sqrt(3) x z + 475 x z + 408 sqrt(3) y z + 745 y z 2 5 2 5 2 5 2 5 + 972 sqrt(3) x y z + 1512 x y z + 972 sqrt(3) x y z + 1512 x y z 3 5 3 5 4 4 4 4 + 408 sqrt(3) x z + 745 x z + 480 sqrt(3) y z + 881 y z 3 4 3 4 2 2 4 2 2 4 + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z + 1656 sqrt(3) x y z + 3150 x y z 3 4 3 4 4 4 4 4 + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z + 480 sqrt(3) x z + 881 x z 5 3 5 3 4 3 4 3 + 408 sqrt(3) y z + 745 y z + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z 2 3 3 2 3 3 3 2 3 + 1800 sqrt(3) x y z + 4056 x y z + 1800 sqrt(3) x y z 3 2 3 4 3 4 3 5 3 + 4056 x y z + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z + 408 sqrt(3) x z 5 3 6 2 6 2 5 2 + 745 x z + 264 sqrt(3) y z + 475 y z + 972 sqrt(3) x y z 5 2 2 4 2 2 4 2 3 3 2 + 1512 x y z + 1656 sqrt(3) x y z + 3150 x y z + 1800 sqrt(3) x y z 3 3 2 4 2 2 4 2 2 5 2 + 4056 x y z + 1656 sqrt(3) x y z + 3150 x y z + 972 sqrt(3) x y z 5 2 6 2 6 2 7 7 + 1512 x y z + 264 sqrt(3) x z + 475 x z + 108 sqrt(3) y z + 193 y z 6 6 2 5 2 5 + 432 sqrt(3) x y z + 752 x y z + 972 sqrt(3) x y z + 1512 x y z 3 4 3 4 4 3 4 3 + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z + 1428 sqrt(3) x y z + 1978 x y z 5 2 5 2 6 6 + 972 sqrt(3) x y z + 1512 x y z + 432 sqrt(3) x y z + 752 x y z 7 7 8 8 7 + 108 sqrt(3) x z + 193 x z + 24 sqrt(3) y + 43 y + 108 sqrt(3) x y 7 2 6 2 6 3 5 3 5 + 193 x y + 264 sqrt(3) x y + 475 x y + 408 sqrt(3) x y + 745 x y 4 4 4 4 5 3 5 3 + 480 sqrt(3) x y + 881 x y + 408 sqrt(3) x y + 745 x y 6 2 6 2 7 7 8 + 264 sqrt(3) x y + 475 x y + 108 sqrt(3) x y + 193 x y + 24 sqrt(3) x 8 8 8 7 7 + 43 x >= 24 sqrt(3) z + 43 z + 108 sqrt(3) y z + 193 y z 7 7 2 6 2 6 + 108 sqrt(3) x z + 193 x z + 264 sqrt(3) y z + 467 y z 6 6 2 6 2 6 + 432 sqrt(3) x y z + 768 x y z + 264 sqrt(3) x z + 467 x z 3 5 3 5 2 5 2 5 + 408 sqrt(3) y z + 713 y z + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z 2 5 2 5 3 5 3 5 + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z + 408 sqrt(3) x z + 713 x z 4 4 4 4 3 4 3 4 + 480 sqrt(3) y z + 833 y z + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z 2 2 4 2 2 4 3 4 3 4 + 1848 sqrt(3) x y z + 2862 x y z + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z 4 4 4 4 5 3 5 3 + 480 sqrt(3) x z + 833 x z + 408 sqrt(3) y z + 713 y z 4 3 4 3 2 3 3 2 3 3 + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z + 2376 sqrt(3) x y z + 3080 x y z 3 2 3 3 2 3 4 3 4 3 + 2376 sqrt(3) x y z + 3080 x y z + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z 5 3 5 3 6 2 6 2 + 408 sqrt(3) x z + 713 x z + 264 sqrt(3) y z + 467 y z 5 2 5 2 2 4 2 2 4 2 + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z + 1848 sqrt(3) x y z + 2862 x y z 3 3 2 3 3 2 4 2 2 + 2376 sqrt(3) x y z + 3080 x y z + 1848 sqrt(3) x y z 4 2 2 5 2 5 2 6 2 + 2862 x y z + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z + 264 sqrt(3) x z 6 2 7 7 6 6 + 467 x z + 108 sqrt(3) y z + 193 y z + 432 sqrt(3) x y z + 768 x y z 2 5 2 5 3 4 3 4 + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z 4 3 4 3 5 2 5 2 + 1140 sqrt(3) x y z + 2474 x y z + 876 sqrt(3) x y z + 1704 x y z 6 6 7 7 + 432 sqrt(3) x y z + 768 x y z + 108 sqrt(3) x z + 193 x z 8 8 7 7 2 6 + 24 sqrt(3) y + 43 y + 108 sqrt(3) x y + 193 x y + 264 sqrt(3) x y 2 6 3 5 3 5 4 4 4 4 + 467 x y + 408 sqrt(3) x y + 713 x y + 480 sqrt(3) x y + 833 x y 5 3 5 3 6 2 6 2 + 408 sqrt(3) x y + 713 x y + 264 sqrt(3) x y + 467 x y 7 7 8 8 + 108 sqrt(3) x y + 193 x y + 24 sqrt(3) x + 43 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 2 6 3 5 2 5 2 5 8 y z + 8 x z + 32 y z + 96 sqrt(3) x y z + 96 sqrt(3) x y z 3 5 4 4 3 4 2 2 4 + 32 x z + 48 y z + 288 sqrt(3) x y z + 288 x y z 3 4 4 4 5 3 4 3 + 288 sqrt(3) x y z + 48 x z + 32 y z + 288 sqrt(3) x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 976 x y z + 976 x y z + 288 sqrt(3) x y z + 32 x z + 8 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 96 sqrt(3) x y z + 288 x y z + 976 x y z + 288 x y z 5 2 6 2 2 5 3 4 + 96 sqrt(3) x y z + 8 x z + 96 sqrt(3) x y z + 288 sqrt(3) x y z 4 3 5 2 2 6 3 5 4 4 + 288 sqrt(3) x y z + 96 sqrt(3) x y z + 8 x y + 32 x y + 48 x y 5 3 6 2 6 2 5 2 5 3 4 + 32 x y + 8 x y >= 16 x y z + 192 x y z + 192 x y z + 496 x y z 2 2 4 3 4 4 3 2 3 3 + 192 sqrt(3) x y z + 496 x y z + 496 x y z + 576 sqrt(3) x y z 3 2 3 4 3 5 2 2 4 2 + 576 sqrt(3) x y z + 496 x y z + 192 x y z + 192 sqrt(3) x y z 3 3 2 4 2 2 5 2 6 + 576 sqrt(3) x y z + 192 sqrt(3) x y z + 192 x y z + 16 x y z 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + 192 x y z + 496 x y z + 496 x y z + 192 x y z + 16 x y z Dividing both sides by 8 gives: 2 6 2 6 3 5 2 5 2 5 3 5 y z + x z + 4 y z + 12 sqrt(3) x y z + 12 sqrt(3) x y z + 4 x z 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4 4 + 6 y z + 36 sqrt(3) x y z + 36 x y z + 36 sqrt(3) x y z + 6 x z 5 3 4 3 2 3 3 3 2 3 + 4 y z + 36 sqrt(3) x y z + 122 x y z + 122 x y z 4 3 5 3 6 2 5 2 2 4 2 + 36 sqrt(3) x y z + 4 x z + y z + 12 sqrt(3) x y z + 36 x y z 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 2 5 + 122 x y z + 36 x y z + 12 sqrt(3) x y z + x z + 12 sqrt(3) x y z 3 4 4 3 5 2 2 6 + 36 sqrt(3) x y z + 36 sqrt(3) x y z + 12 sqrt(3) x y z + x y 3 5 4 4 5 3 6 2 + 4 x y + 6 x y + 4 x y + x y >= 6 2 5 2 5 3 4 2 2 4 2 x y z + 24 x y z + 24 x y z + 62 x y z + 24 sqrt(3) x y z 3 4 4 3 2 3 3 3 2 3 + 62 x y z + 62 x y z + 72 sqrt(3) x y z + 72 sqrt(3) x y z 4 3 5 2 2 4 2 3 3 2 + 62 x y z + 24 x y z + 24 sqrt(3) x y z + 72 sqrt(3) x y z 4 2 2 5 2 6 2 5 3 4 + 24 sqrt(3) x y z + 24 x y z + 2 x y z + 24 x y z + 62 x y z 4 3 5 2 6 + 62 x y z + 24 x y z + 2 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {6, 2, 0} + 4 {5, 3, 0} + 12 {5, 2, 1} + 3 {4, 4, 0} + 36 {4, 3, 1} + 18 {4, 2, 2} + 61 {3, 3, 2} >= {6, 1, 1} + 24 {5, 2, 1} + 62 {4, 3, 1} + 12 {4, 2, 2} + 36 {3, 3, 2} This follows from the following majorizations: {6, 2, 0} >= {6, 1, 1} left side: [61 {3, 3, 2}, 18 {4, 2, 2}, 36 {4, 3, 1}, 3 {4, 4, 0}, 12 {5, 2, 1}, 4 {5, 3, 0}, {6, 2, 0}] right side: [36 {3, 3, 2}, 12 {4, 2, 2}, 62 {4, 3, 1}, 24 {5, 2, 1}, {6, 1, 1}] (d28) notsure (c29) /* 5.22 */ trineq(sqrt(3)/R<=csum(1/a)); 1 1 1 sqrt(3) To prove: - + - + - >= ------- c b a R Let R = a*b*c/(4*K) . We get: (b + a) c + a b 4 sqrt(3) K --------------- >= ----------- a b c a b c Multiplying both sides by a b c gives: b c + a c + a b >= 4 sqrt(3) K Since 4 sqrt(3) is positive, and since (b + a) c + a b is positive, we can square both sides to get: 2 2 2 2 2 2 2 (b + 2 a b + a ) c + (2 a b + 2 a b) c + a b >= 4 3 2 48 s + (- 48 c - 48 b - 48 a) s + ((48 b + 48 a) c + 48 a b) s - 48 a b c s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 48 c s + 48 b s + 48 a s + 48 a b c s + b c + 2 a b c + a c + 2 a b c 2 2 2 4 2 2 2 + 2 a b c + a b >= 48 s + 48 b c s + 48 a c s + 48 a b s Let s = (c+b+a)/2 . We get: 4 3 2 2 2 6 c + (24 b + 24 a) c + (37 b + 98 a b + 37 a ) c 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (24 b + 98 a b + 98 a b + 24 a ) c + 6 b + 24 a b + 37 a b + 24 a b 4 4 3 2 2 2 + 6 a >= 3 c + (24 b + 24 a) c + (42 b + 96 a b + 42 a ) c 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (24 b + 96 a b + 96 a b + 24 a ) c + 3 b + 24 a b + 42 a b + 24 a b 4 + 3 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 2 2 4 4 3 c + 2 a b c + 2 a b c + 2 a b c + 3 b + 3 a >= 2 2 2 2 2 2 5 b c + 5 a c + 5 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (3 z + (8 y + 8 x) z + (13 y + 8 x y + 13 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (8 y + 8 x y + 8 x y + 8 x ) z + 3 y + 8 x y + 13 x y + 8 x y 4 4 3 2 2 2 + 3 x )/8 >= (5 z + (10 y + 10 x) z + (15 y + 40 x y + 15 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (10 y + 40 x y + 40 x y + 10 x ) z + 5 y + 10 x y + 15 x y + 10 x y 4 + 5 x )/16 Multiplying both sides by 16 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 6 z + 16 y z + 16 x z + 26 y z + 16 x y z + 26 x z + 16 y z 2 2 3 4 3 2 2 3 + 16 x y z + 16 x y z + 16 x z + 6 y + 16 x y + 26 x y + 16 x y 4 4 3 3 2 2 2 2 2 3 + 6 x >= 5 z + 10 y z + 10 x z + 15 y z + 40 x y z + 15 x z + 10 y z 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + 40 x y z + 40 x y z + 10 x z + 5 y + 10 x y + 15 x y + 10 x y + 5 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 3 3 2 2 2 2 3 3 4 3 z + 6 y z + 6 x z + 11 y z + 11 x z + 6 y z + 6 x z + y + 6 x y 2 2 3 4 2 2 2 + 11 x y + 6 x y + x >= 24 x y z + 24 x y z + 24 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 0, 0} + 12 {3, 1, 0} + 11 {2, 2, 0} >= 24 {2, 1, 1} This follows from the following majorizations: 11 {2, 2, 0} >= 11 {2, 1, 1} 12 {3, 1, 0} >= 12 {2, 1, 1} {4, 0, 0} >= {2, 1, 1} (d29) true (c30) trineq(csum(1/a)<=sqrt(3)/(2*r)); sqrt(3) 1 1 1 To prove: ------- >= - + - + - 2 r c b a Let r = K/s . We get: sqrt(3) s (b + a) c + a b --------- >= --------------- 2 K a b c Multiplying both sides by 2 K a b c gives: sqrt(3) a b c s >= 2 K b c + 2 K a c + 2 K a b Since (2 b + 2 a) c + 2 a b is positive, and since sqrt(3) a b c s is positive, we can square both sides to get: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 a b c s >= ((4 b + 8 a b + 4 a ) c + (8 a b + 8 a b) c + 4 a b ) s 2 2 3 3 2 2 3 2 + ((- 4 b - 8 a b - 4 a ) c + (- 4 b - 20 a b - 20 a b - 4 a ) c 3 2 2 3 2 3 3 2 3 + (- 8 a b - 20 a b - 8 a b) c - 4 a b - 4 a b ) s 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 + ((4 b + 12 a b + 12 a b + 4 a ) c + (12 a b + 24 a b + 12 a b) c 2 3 3 2 3 3 2 + (12 a b + 12 a b ) c + 4 a b ) s 3 2 2 3 3 2 3 3 2 2 3 3 + ((- 4 a b - 8 a b - 4 a b) c + (- 8 a b - 8 a b ) c - 4 a b c) s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 2 3 4 b c s + 8 a b c s + 4 a c s + 4 b c s + 20 a b c s 2 2 3 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 + 20 a b c s + 4 a c s + 8 a b c s + 20 a b c s + 8 a b c s 2 3 3 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 + 4 a b s + 4 a b s + 4 a b c s + 8 a b c s + 4 a b c s 2 3 2 3 2 2 3 3 + 8 a b c s + 8 a b c s + 4 a b c s >= 2 2 4 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 2 4 4 b c s + 8 a b c s + 4 a c s + 8 a b c s + 8 a b c s + 4 a b s 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 + 4 b c s + 12 a b c s + 12 a b c s + 4 a c s + 12 a b c s 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 + 21 a b c s + 12 a b c s + 12 a b c s + 12 a b c s + 4 a b s Dividing both sides by s gives: 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 4 b c s + 8 a b c s + 4 a c s + 4 b c s + 20 a b c s 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 + 20 a b c s + 4 a c s + 8 a b c s + 20 a b c s + 8 a b c s 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 3 2 + 4 a b s + 4 a b s + 4 a b c + 8 a b c + 4 a b c + 8 a b c 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 2 3 + 8 a b c + 4 a b c >= 4 b c s + 8 a b c s + 4 a c s 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3 + 8 a b c s + 8 a b c s + 4 a b s + 4 b c s + 12 a b c s 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 + 12 a b c s + 4 a c s + 12 a b c s + 21 a b c s + 12 a b c s 2 3 3 2 3 3 + 12 a b c s + 12 a b c s + 4 a b s Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 5 3 2 2 3 4 (b + 2 a b + a ) c + (3 b + 11 a b + 11 a b + 3 a ) c 4 3 2 2 3 4 3 + (3 b + 22 a b + 39 a b + 22 a b + 3 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 2 + (b + 11 a b + 39 a b + 39 a b + 11 a b + a ) c 5 2 4 3 3 4 2 5 2 5 3 4 + (2 a b + 11 a b + 22 a b + 11 a b + 2 a b) c + a b + 3 a b 4 3 5 2 2 2 5 + 3 a b + a b >= ((b + 2 a b + a ) c 3 2 2 3 4 + (7 b + 23 a b + 23 a b + 7 a ) c 4 3 2 2 3 4 3 + (7 b + 46 a b + 76 a b + 46 a b + 7 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 2 + (b + 23 a b + 76 a b + 76 a b + 23 a b + a ) c 5 2 4 3 3 4 2 5 2 5 3 4 + (2 a b + 23 a b + 46 a b + 23 a b + 2 a b) c + a b + 7 a b 4 3 5 2 + 7 a b + a b )/2 Multiplying both sides by 2 gives: 2 5 5 2 5 3 4 2 4 2 4 3 4 2 b c + 4 a b c + 2 a c + 6 b c + 22 a b c + 22 a b c + 6 a c 4 3 3 3 2 2 3 3 3 4 3 5 2 + 6 b c + 44 a b c + 78 a b c + 44 a b c + 6 a c + 2 b c 4 2 2 3 2 3 2 2 4 2 5 2 5 + 22 a b c + 78 a b c + 78 a b c + 22 a b c + 2 a c + 4 a b c 2 4 3 3 4 2 5 2 5 3 4 + 22 a b c + 44 a b c + 22 a b c + 4 a b c + 2 a b + 6 a b 4 3 5 2 2 5 5 2 5 3 4 2 4 + 6 a b + 2 a b >= b c + 2 a b c + a c + 7 b c + 23 a b c 2 4 3 4 4 3 3 3 2 2 3 3 3 + 23 a b c + 7 a c + 7 b c + 46 a b c + 76 a b c + 46 a b c 4 3 5 2 4 2 2 3 2 3 2 2 4 2 + 7 a c + b c + 23 a b c + 76 a b c + 76 a b c + 23 a b c 5 2 5 2 4 3 3 4 2 5 2 5 + a c + 2 a b c + 23 a b c + 46 a b c + 23 a b c + 2 a b c + a b 3 4 4 3 5 2 + 7 a b + 7 a b + a b Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 5 5 2 5 2 2 3 5 2 2 3 2 3 2 2 5 2 b c + 2 a b c + a c + 2 a b c + b c + 2 a b c + 2 a b c + a c 5 5 2 5 5 2 + 2 a b c + 2 a b c + a b + a b >= 3 4 2 4 2 4 3 4 4 3 3 3 3 3 4 3 b c + a b c + a b c + a c + b c + 2 a b c + 2 a b c + a c 4 2 4 2 2 4 3 3 4 2 3 4 4 3 + a b c + a b c + a b c + 2 a b c + a b c + a b + a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 7 6 2 2 5 (2 z + (11 y + 11 x) z + (29 y + 56 x y + 29 x ) z 3 2 2 3 4 + (47 y + 116 x y + 116 x y + 47 x ) z 4 3 2 2 3 4 3 + (47 y + 136 x y + 168 x y + 136 x y + 47 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 2 + (29 y + 116 x y + 168 x y + 168 x y + 116 x y + 29 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + (11 y + 56 x y + 116 x y + 136 x y + 116 x y + 56 x y + 11 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 + 2 y + 11 x y + 29 x y + 47 x y + 47 x y + 29 x y + 11 x y + 2 x ) 7 6 2 2 5 /128 >= (2 z + (11 y + 11 x) z + (23 y + 52 x y + 23 x ) z 3 2 2 3 4 + (29 y + 110 x y + 110 x y + 29 x ) z 4 3 2 2 3 4 3 + (29 y + 140 x y + 228 x y + 140 x y + 29 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 2 + (23 y + 110 x y + 228 x y + 228 x y + 110 x y + 23 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + (11 y + 52 x y + 110 x y + 140 x y + 110 x y + 52 x y + 11 x ) z 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 + 2 y + 11 x y + 23 x y + 29 x y + 29 x y + 23 x y + 11 x y + 2 x ) /128 Multiplying both sides by 128 gives: 7 6 6 2 5 5 2 5 3 4 2 z + 11 y z + 11 x z + 29 y z + 56 x y z + 29 x z + 47 y z 2 4 2 4 3 4 4 3 3 3 2 2 3 + 116 x y z + 116 x y z + 47 x z + 47 y z + 136 x y z + 168 x y z 3 3 4 3 5 2 4 2 2 3 2 + 136 x y z + 47 x z + 29 y z + 116 x y z + 168 x y z 3 2 2 4 2 5 2 6 5 2 4 + 168 x y z + 116 x y z + 29 x z + 11 y z + 56 x y z + 116 x y z 3 3 4 2 5 6 7 6 2 5 + 136 x y z + 116 x y z + 56 x y z + 11 x z + 2 y + 11 x y + 29 x y 3 4 4 3 5 2 6 7 + 47 x y + 47 x y + 29 x y + 11 x y + 2 x >= 7 6 6 2 5 5 2 5 3 4 2 z + 11 y z + 11 x z + 23 y z + 52 x y z + 23 x z + 29 y z 2 4 2 4 3 4 4 3 3 3 2 2 3 + 110 x y z + 110 x y z + 29 x z + 29 y z + 140 x y z + 228 x y z 3 3 4 3 5 2 4 2 2 3 2 + 140 x y z + 29 x z + 23 y z + 110 x y z + 228 x y z 3 2 2 4 2 5 2 6 5 2 4 + 228 x y z + 110 x y z + 23 x z + 11 y z + 52 x y z + 110 x y z 3 3 4 2 5 6 7 6 2 5 + 140 x y z + 110 x y z + 52 x y z + 11 x z + 2 y + 11 x y + 23 x y 3 4 4 3 5 2 6 7 + 29 x y + 29 x y + 23 x y + 11 x y + 2 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 5 5 2 5 3 4 2 4 2 4 3 4 6 y z + 4 x y z + 6 x z + 18 y z + 6 x y z + 6 x y z + 18 x z 4 3 4 3 5 2 4 2 4 2 5 2 5 + 18 y z + 18 x z + 6 y z + 6 x y z + 6 x y z + 6 x z + 4 x y z 2 4 4 2 5 2 5 3 4 4 3 + 6 x y z + 6 x y z + 4 x y z + 6 x y + 18 x y + 18 x y 5 2 3 3 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 2 + 6 x y >= 4 x y z + 60 x y z + 4 x y z + 60 x y z + 60 x y z 3 3 + 4 x y z Dividing both sides by 2 gives: 2 5 5 2 5 3 4 2 4 2 4 3 4 3 y z + 2 x y z + 3 x z + 9 y z + 3 x y z + 3 x y z + 9 x z 4 3 4 3 5 2 4 2 4 2 5 2 5 + 9 y z + 9 x z + 3 y z + 3 x y z + 3 x y z + 3 x z + 2 x y z 2 4 4 2 5 2 5 3 4 4 3 5 2 + 3 x y z + 3 x y z + 2 x y z + 3 x y + 9 x y + 9 x y + 3 x y >= 3 3 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 x y z + 30 x y z + 2 x y z + 30 x y z + 30 x y z + 2 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 3 {5, 2, 0} + {5, 1, 1} + 9 {4, 3, 0} + 3 {4, 2, 1} >= {3, 3, 1} + 15 {3, 2, 2} This follows from the following majorizations: {5, 2, 0} >= {3, 3, 1} 2 {5, 2, 0} >= 2 {3, 2, 2} {5, 1, 1} >= {3, 2, 2} 9 {4, 3, 0} >= 9 {3, 2, 2} 3 {4, 2, 1} >= 3 {3, 2, 2} (d30) true (c31) /* 5.23 */ trineq(3*sqrt(3)/(2*(R+r))<=csum(1/a)); 1 1 1 3 sqrt(3) To prove: - + - + - >= --------- c b a 2 (r + R) Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: (b + a) c + a b 6 sqrt(3) K s --------------- >= -------------- a b c 2 a b c s + 4 K 2 Multiplying both sides by a b c (a b c s + 4 K ) gives: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c s + a b c s + a b c s + 4 K b c + 4 K a c + 4 K a b >= 6 sqrt(3) K a b c s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 2 2 2 ((a b + a b) c + a b c) s + (4 F b + 4 F a) c + 4 F a b >= 6 sqrt(3) K a b c s Since 6 sqrt(3) a b c s is positive, and since 2 2 2 2 2 2 2 2 ((a b + a b) c + a b c) s + (4 F b + 4 F a) c + 4 F a b is positive, we can square both sides to get: 2 4 3 3 4 2 4 3 4 4 3 3 4 4 2 2 ((a b + 2 a b + a b ) c + (2 a b + 2 a b ) c + a b c ) s 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 2 + ((8 F a b + 16 F a b + 8 F a b) c + (16 F a b + 16 F a b ) c 2 3 3 4 2 4 4 2 2 + 8 F a b c) s + (16 F b + 32 F a b + 16 F a ) c 4 2 4 2 4 2 2 + (32 F a b + 32 F a b) c + 16 F a b >= 2 2 2 6 2 3 3 2 2 2 2 3 5 108 a b c s + ((- 108 a b - 108 a b ) c - 108 a b c ) s 2 3 3 2 3 3 3 2 4 3 3 3 3 + ((108 a b + 108 a b ) c + 108 a b c ) s - 108 a b c s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 3 5 2 3 2 5 3 2 2 5 3 3 3 3 108 a b c s + 108 a b c s + 108 a b c s + 108 a b c s 2 4 4 2 3 3 4 2 4 2 4 2 3 4 3 2 4 3 3 2 + a b c s + 2 a b c s + a b c s + 2 a b c s + 2 a b c s 4 4 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 3 3 + a b c s + 8 F a b c s + 16 F a b c s + 8 F a b c s 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 4 2 2 + 16 F a b c s + 16 F a b c s + 8 F a b c s + 16 F b c 4 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 2 + 32 F a b c + 16 F a c + 32 F a b c + 32 F a b c + 16 F a b >= 2 2 2 6 2 3 3 4 3 2 3 4 3 3 2 4 108 a b c s + 108 a b c s + 108 a b c s + 108 a b c s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 10 2 2 9 ((b + 2 a b + a ) c + (2 a b + 2 a b) c 4 3 2 2 3 4 8 + (- 4 b - 12 a b + 39 a b - 12 a b - 4 a ) c 4 2 3 3 2 4 7 + (- 12 a b + 296 a b + 296 a b - 12 a b) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 6 + (6 b + 20 a b + 828 a b + 1848 a b + 828 a b + 20 a b + 6 a ) c 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 5 + (20 a b + 1140 a b + 3972 a b + 3972 a b + 1140 a b + 20 a b) c 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (- 4 b - 12 a b + 828 a b + 3972 a b + 6276 a b + 3972 a b 6 2 7 8 4 8 2 7 3 6 + 828 a b - 12 a b - 4 a ) c + (- 12 a b + 296 a b + 1848 a b 4 5 5 4 6 3 7 2 8 3 + 3972 a b + 3972 a b + 1848 a b + 296 a b - 12 a b) c 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 + (b + 2 a b + 39 a b + 296 a b + 828 a b + 1140 a b + 828 a b 7 3 8 2 9 10 2 + 296 a b + 39 a b + 2 a b + a ) c 10 2 9 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 + (2 a b + 2 a b - 12 a b - 12 a b + 20 a b + 20 a b - 12 a b 8 3 9 2 10 2 10 4 8 6 6 8 4 - 12 a b + 2 a b + 2 a b) c + a b - 4 a b + 6 a b - 4 a b 10 2 2 2 8 2 3 3 2 7 + a b )/16 >= (27 a b c + (270 a b + 270 a b ) c 2 4 3 3 4 2 6 + (837 a b + 1782 a b + 837 a b ) c 2 5 3 4 4 3 5 2 5 + (1188 a b + 3996 a b + 3996 a b + 1188 a b ) c 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 4 + (837 a b + 3996 a b + 6318 a b + 3996 a b + 837 a b ) c 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 + (270 a b + 1782 a b + 3996 a b + 3996 a b + 1782 a b + 270 a b ) 3 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 c + (27 a b + 270 a b + 837 a b + 1188 a b + 837 a b + 270 a b 8 2 2 + 27 a b ) c )/16 Multiplying both sides by 16 gives: 2 10 10 2 10 2 9 2 9 4 8 3 8 b c + 2 a b c + a c + 2 a b c + 2 a b c - 4 b c - 12 a b c 2 2 8 3 8 4 8 4 7 2 3 7 + 39 a b c - 12 a b c - 4 a c - 12 a b c + 296 a b c 3 2 7 4 7 6 6 5 6 2 4 6 + 296 a b c - 12 a b c + 6 b c + 20 a b c + 828 a b c 3 3 6 4 2 6 5 6 6 6 6 5 + 1848 a b c + 828 a b c + 20 a b c + 6 a c + 20 a b c 2 5 5 3 4 5 4 3 5 5 2 5 6 5 + 1140 a b c + 3972 a b c + 3972 a b c + 1140 a b c + 20 a b c 8 4 7 4 2 6 4 3 5 4 4 4 4 - 4 b c - 12 a b c + 828 a b c + 3972 a b c + 6276 a b c 5 3 4 6 2 4 7 4 8 4 8 3 + 3972 a b c + 828 a b c - 12 a b c - 4 a c - 12 a b c 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 296 a b c + 1848 a b c + 3972 a b c + 3972 a b c + 1848 a b c 7 2 3 8 3 10 2 9 2 2 8 2 3 7 2 + 296 a b c - 12 a b c + b c + 2 a b c + 39 a b c + 296 a b c 4 6 2 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 828 a b c + 1140 a b c + 828 a b c + 296 a b c + 39 a b c 9 2 10 2 10 2 9 3 8 4 7 + 2 a b c + a c + 2 a b c + 2 a b c - 12 a b c - 12 a b c 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 10 + 20 a b c + 20 a b c - 12 a b c - 12 a b c + 2 a b c + 2 a b c 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 + a b - 4 a b + 6 a b - 4 a b + a b >= 2 2 8 2 3 7 3 2 7 2 4 6 3 3 6 27 a b c + 270 a b c + 270 a b c + 837 a b c + 1782 a b c 4 2 6 2 5 5 3 4 5 4 3 5 5 2 5 + 837 a b c + 1188 a b c + 3996 a b c + 3996 a b c + 1188 a b c 2 6 4 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 4 + 837 a b c + 3996 a b c + 6318 a b c + 3996 a b c + 837 a b c 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 270 a b c + 1782 a b c + 3996 a b c + 3996 a b c + 1782 a b c 7 2 3 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 + 270 a b c + 27 a b c + 270 a b c + 837 a b c + 1188 a b c 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 837 a b c + 270 a b c + 27 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 10 10 2 10 2 9 2 9 2 2 8 2 3 7 b c + 2 a b c + a c + 2 a b c + 2 a b c + 12 a b c + 26 a b c 3 2 7 6 6 5 6 3 3 6 5 6 6 6 + 26 a b c + 6 b c + 20 a b c + 66 a b c + 20 a b c + 6 a c 6 5 6 5 2 7 3 3 6 3 6 3 3 + 20 a b c + 20 a b c + 26 a b c + 66 a b c + 66 a b c 7 2 3 10 2 9 2 2 8 2 3 7 2 7 3 2 + 26 a b c + b c + 2 a b c + 12 a b c + 26 a b c + 26 a b c 8 2 2 9 2 10 2 10 2 9 5 6 + 12 a b c + 2 a b c + a c + 2 a b c + 2 a b c + 20 a b c 6 5 9 2 10 2 10 6 6 10 2 + 20 a b c + 2 a b c + 2 a b c + a b + 6 a b + a b >= 4 8 3 8 3 8 4 8 4 7 4 7 4 b c + 12 a b c + 12 a b c + 4 a c + 12 a b c + 12 a b c 2 4 6 4 2 6 2 5 5 3 4 5 4 3 5 + 9 a b c + 9 a b c + 48 a b c + 24 a b c + 24 a b c 5 2 5 8 4 7 4 2 6 4 3 5 4 4 4 4 + 48 a b c + 4 b c + 12 a b c + 9 a b c + 24 a b c + 42 a b c 5 3 4 6 2 4 7 4 8 4 8 3 4 5 3 + 24 a b c + 9 a b c + 12 a b c + 4 a c + 12 a b c + 24 a b c 5 4 3 8 3 4 6 2 5 5 2 6 4 2 + 24 a b c + 12 a b c + 9 a b c + 48 a b c + 9 a b c 3 8 4 7 7 4 8 3 4 8 8 4 + 12 a b c + 12 a b c + 12 a b c + 12 a b c + 4 a b + 4 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 12 11 2 2 10 (8 z + (96 y + 96 x) z + (482 y + 948 x y + 482 x ) z 3 2 2 3 9 + (1498 y + 4398 x y + 4398 x y + 1498 x ) z 4 3 2 2 3 4 8 + (3225 y + 11922 x y + 17514 x y + 11922 x y + 3225 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (5056 y + 21208 x y + 39560 x y + 39560 x y + 21208 x y + 5056 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (5878 y + 27356 x y + 59246 x y + 75824 x y + 59246 x y + 27356 x y 6 6 7 6 2 5 3 4 + 5878 x ) z + (5056 y + 27356 x y + 66552 x y + 99868 x y 4 3 5 2 6 7 5 + 99868 x y + 66552 x y + 27356 x y + 5056 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 + (3225 y + 21208 x y + 59246 x y + 99868 x y + 117330 x y 5 3 6 2 7 8 4 + 99868 x y + 59246 x y + 21208 x y + 3225 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 + (1498 y + 11922 x y + 39560 x y + 75824 x y + 99868 x y 5 4 6 3 7 2 8 9 3 + 99868 x y + 75824 x y + 39560 x y + 11922 x y + 1498 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (482 y + 4398 x y + 17514 x y + 39560 x y + 59246 x y + 66552 x y 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 59246 x y + 39560 x y + 17514 x y + 4398 x y + 482 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (96 y + 948 x y + 4398 x y + 11922 x y + 21208 x y + 27356 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 27356 x y + 21208 x y + 11922 x y + 4398 x y + 948 x y + 96 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 8 y + 96 x y + 482 x y + 1498 x y + 3225 x y + 5056 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 5878 x y + 5056 x y + 3225 x y + 1498 x y + 482 x y + 96 x y 12 12 11 2 2 10 + 8 x )/4096 >= (8 z + (96 y + 96 x) z + (466 y + 916 x y + 466 x ) z 3 2 2 3 9 + (1338 y + 3790 x y + 3790 x y + 1338 x ) z 4 3 2 2 3 4 8 + (2569 y + 9810 x y + 14346 x y + 9810 x y + 2569 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (3616 y + 18040 x y + 34824 x y + 34824 x y + 18040 x y + 3616 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (4022 y + 24444 x y + 58958 x y + 76848 x y + 58958 x y + 24444 x y 6 6 7 6 2 5 3 4 + 4022 x ) z + (3616 y + 24444 x y + 70296 x y + 112636 x y 4 3 5 2 6 7 5 + 112636 x y + 70296 x y + 24444 x y + 3616 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 + (2569 y + 18040 x y + 58958 x y + 112636 x y + 138162 x y 5 3 6 2 7 8 4 + 112636 x y + 58958 x y + 18040 x y + 2569 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 + (1338 y + 9810 x y + 34824 x y + 76848 x y + 112636 x y 5 4 6 3 7 2 8 9 3 + 112636 x y + 76848 x y + 34824 x y + 9810 x y + 1338 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (466 y + 3790 x y + 14346 x y + 34824 x y + 58958 x y + 70296 x y 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 58958 x y + 34824 x y + 14346 x y + 3790 x y + 466 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (96 y + 916 x y + 3790 x y + 9810 x y + 18040 x y + 24444 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 24444 x y + 18040 x y + 9810 x y + 3790 x y + 916 x y + 96 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 8 y + 96 x y + 466 x y + 1338 x y + 2569 x y + 3616 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 4022 x y + 3616 x y + 2569 x y + 1338 x y + 466 x y + 96 x y 12 + 8 x )/4096 Multiplying both sides by 4096 gives: 12 11 11 2 10 10 2 10 8 z + 96 y z + 96 x z + 482 y z + 948 x y z + 482 x z 3 9 2 9 2 9 3 9 4 8 + 1498 y z + 4398 x y z + 4398 x y z + 1498 x z + 3225 y z 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 + 11922 x y z + 17514 x y z + 11922 x y z + 3225 x z + 5056 y z 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 21208 x y z + 39560 x y z + 39560 x y z + 21208 x y z + 5056 x z 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 + 5878 y z + 27356 x y z + 59246 x y z + 75824 x y z 4 2 6 5 6 6 6 7 5 6 5 + 59246 x y z + 27356 x y z + 5878 x z + 5056 y z + 27356 x y z 2 5 5 3 4 5 4 3 5 5 2 5 + 66552 x y z + 99868 x y z + 99868 x y z + 66552 x y z 6 5 7 5 8 4 7 4 2 6 4 + 27356 x y z + 5056 x z + 3225 y z + 21208 x y z + 59246 x y z 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 4 + 99868 x y z + 117330 x y z + 99868 x y z + 59246 x y z 7 4 8 4 9 3 8 3 2 7 3 + 21208 x y z + 3225 x z + 1498 y z + 11922 x y z + 39560 x y z 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 75824 x y z + 99868 x y z + 99868 x y z + 75824 x y z 7 2 3 8 3 9 3 10 2 9 2 + 39560 x y z + 11922 x y z + 1498 x z + 482 y z + 4398 x y z 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 + 17514 x y z + 39560 x y z + 59246 x y z + 66552 x y z 6 4 2 7 3 2 8 2 2 9 2 10 2 + 59246 x y z + 39560 x y z + 17514 x y z + 4398 x y z + 482 x z 11 10 2 9 3 8 4 7 + 96 y z + 948 x y z + 4398 x y z + 11922 x y z + 21208 x y z 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 + 27356 x y z + 27356 x y z + 21208 x y z + 11922 x y z + 4398 x y z 10 11 12 11 2 10 3 9 + 948 x y z + 96 x z + 8 y + 96 x y + 482 x y + 1498 x y 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 9 3 + 3225 x y + 5056 x y + 5878 x y + 5056 x y + 3225 x y + 1498 x y 10 2 11 12 12 11 11 2 10 + 482 x y + 96 x y + 8 x >= 8 z + 96 y z + 96 x z + 466 y z 10 2 10 3 9 2 9 2 9 + 916 x y z + 466 x z + 1338 y z + 3790 x y z + 3790 x y z 3 9 4 8 3 8 2 2 8 3 8 + 1338 x z + 2569 y z + 9810 x y z + 14346 x y z + 9810 x y z 4 8 5 7 4 7 2 3 7 3 2 7 + 2569 x z + 3616 y z + 18040 x y z + 34824 x y z + 34824 x y z 4 7 5 7 6 6 5 6 2 4 6 + 18040 x y z + 3616 x z + 4022 y z + 24444 x y z + 58958 x y z 3 3 6 4 2 6 5 6 6 6 7 5 + 76848 x y z + 58958 x y z + 24444 x y z + 4022 x z + 3616 y z 6 5 2 5 5 3 4 5 4 3 5 + 24444 x y z + 70296 x y z + 112636 x y z + 112636 x y z 5 2 5 6 5 7 5 8 4 7 4 + 70296 x y z + 24444 x y z + 3616 x z + 2569 y z + 18040 x y z 2 6 4 3 5 4 4 4 4 5 3 4 + 58958 x y z + 112636 x y z + 138162 x y z + 112636 x y z 6 2 4 7 4 8 4 9 3 8 3 + 58958 x y z + 18040 x y z + 2569 x z + 1338 y z + 9810 x y z 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 + 34824 x y z + 76848 x y z + 112636 x y z + 112636 x y z 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 10 2 + 76848 x y z + 34824 x y z + 9810 x y z + 1338 x z + 466 y z 9 2 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 3790 x y z + 14346 x y z + 34824 x y z + 58958 x y z 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 70296 x y z + 58958 x y z + 34824 x y z + 14346 x y z 9 2 10 2 11 10 2 9 + 3790 x y z + 466 x z + 96 y z + 916 x y z + 3790 x y z 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 + 9810 x y z + 18040 x y z + 24444 x y z + 24444 x y z + 18040 x y z 8 3 9 2 10 11 12 11 + 9810 x y z + 3790 x y z + 916 x y z + 96 x z + 8 y + 96 x y 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 + 466 x y + 1338 x y + 2569 x y + 3616 x y + 4022 x y + 3616 x y 8 4 9 3 10 2 11 12 + 2569 x y + 1338 x y + 466 x y + 96 x y + 8 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 10 10 2 10 3 9 2 9 2 9 16 y z + 32 x y z + 16 x z + 160 y z + 608 x y z + 608 x y z 3 9 4 8 3 8 2 2 8 3 8 + 160 x z + 656 y z + 2112 x y z + 3168 x y z + 2112 x y z 4 8 5 7 4 7 2 3 7 3 2 7 + 656 x z + 1440 y z + 3168 x y z + 4736 x y z + 4736 x y z 4 7 5 7 6 6 5 6 2 4 6 + 3168 x y z + 1440 x z + 1856 y z + 2912 x y z + 288 x y z 4 2 6 5 6 6 6 7 5 6 5 + 288 x y z + 2912 x y z + 1856 x z + 1440 y z + 2912 x y z 6 5 7 5 8 4 7 4 2 6 4 + 2912 x y z + 1440 x z + 656 y z + 3168 x y z + 288 x y z 6 2 4 7 4 8 4 9 3 8 3 + 288 x y z + 3168 x y z + 656 x z + 160 y z + 2112 x y z 2 7 3 7 2 3 8 3 9 3 10 2 + 4736 x y z + 4736 x y z + 2112 x y z + 160 x z + 16 y z 9 2 2 8 2 3 7 2 4 6 2 6 4 2 + 608 x y z + 3168 x y z + 4736 x y z + 288 x y z + 288 x y z 7 3 2 8 2 2 9 2 10 2 10 + 4736 x y z + 3168 x y z + 608 x y z + 16 x z + 32 x y z 2 9 3 8 4 7 5 6 6 5 + 608 x y z + 2112 x y z + 3168 x y z + 2912 x y z + 2912 x y z 7 4 8 3 9 2 10 2 10 + 3168 x y z + 2112 x y z + 608 x y z + 32 x y z + 16 x y 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 160 x y + 656 x y + 1440 x y + 1856 x y + 1440 x y + 656 x y 9 3 10 2 3 3 6 2 5 5 3 4 5 + 160 x y + 16 x y >= 1024 x y z + 3744 x y z + 12768 x y z 4 3 5 5 2 5 3 5 4 4 4 4 + 12768 x y z + 3744 x y z + 12768 x y z + 20832 x y z 5 3 4 3 6 3 4 5 3 5 4 3 + 12768 x y z + 1024 x y z + 12768 x y z + 12768 x y z 6 3 3 5 5 2 + 1024 x y z + 3744 x y z Dividing both sides by 16 gives: 2 10 10 2 10 3 9 2 9 2 9 3 9 y z + 2 x y z + x z + 10 y z + 38 x y z + 38 x y z + 10 x z 4 8 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 + 41 y z + 132 x y z + 198 x y z + 132 x y z + 41 x z + 90 y z 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 198 x y z + 296 x y z + 296 x y z + 198 x y z + 90 x z 6 6 5 6 2 4 6 4 2 6 5 6 + 116 y z + 182 x y z + 18 x y z + 18 x y z + 182 x y z 6 6 7 5 6 5 6 5 7 5 8 4 + 116 x z + 90 y z + 182 x y z + 182 x y z + 90 x z + 41 y z 7 4 2 6 4 6 2 4 7 4 8 4 9 3 + 198 x y z + 18 x y z + 18 x y z + 198 x y z + 41 x z + 10 y z 8 3 2 7 3 7 2 3 8 3 9 3 10 2 + 132 x y z + 296 x y z + 296 x y z + 132 x y z + 10 x z + y z 9 2 2 8 2 3 7 2 4 6 2 6 4 2 + 38 x y z + 198 x y z + 296 x y z + 18 x y z + 18 x y z 7 3 2 8 2 2 9 2 10 2 10 2 9 + 296 x y z + 198 x y z + 38 x y z + x z + 2 x y z + 38 x y z 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 + 132 x y z + 198 x y z + 182 x y z + 182 x y z + 198 x y z 8 3 9 2 10 2 10 3 9 4 8 + 132 x y z + 38 x y z + 2 x y z + x y + 10 x y + 41 x y 5 7 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 + 90 x y + 116 x y + 90 x y + 41 x y + 10 x y + x y >= 3 3 6 2 5 5 3 4 5 4 3 5 5 2 5 64 x y z + 234 x y z + 798 x y z + 798 x y z + 234 x y z 3 5 4 4 4 4 5 3 4 3 6 3 4 5 3 + 798 x y z + 1302 x y z + 798 x y z + 64 x y z + 798 x y z 5 4 3 6 3 3 5 5 2 + 798 x y z + 64 x y z + 234 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {10, 2, 0} + {10, 1, 1} + 10 {9, 3, 0} + 38 {9, 2, 1} + 41 {8, 4, 0} + 132 {8, 3, 1} + 99 {8, 2, 2} + 90 {7, 5, 0} + 198 {7, 4, 1} + 296 {7, 3, 2} + 58 {6, 6, 0} + 182 {6, 5, 1} + 18 {6, 4, 2} >= 32 {6, 3, 3} + 117 {5, 5, 2} + 798 {5, 4, 3} + 217 {4, 4, 4} This follows from the following majorizations: {10, 2, 0} >= {6, 3, 3} {10, 1, 1} >= {6, 3, 3} 10 {9, 3, 0} >= 10 {6, 3, 3} 20 {9, 2, 1} >= 20 {6, 3, 3} 18 {9, 2, 1} >= 18 {5, 5, 2} 41 {8, 4, 0} >= 41 {5, 5, 2} 58 {8, 3, 1} >= 58 {5, 5, 2} 74 {8, 3, 1} >= 74 {5, 4, 3} 99 {8, 2, 2} >= 99 {5, 4, 3} 90 {7, 5, 0} >= 90 {5, 4, 3} 198 {7, 4, 1} >= 198 {5, 4, 3} 296 {7, 3, 2} >= 296 {5, 4, 3} 41 {6, 6, 0} >= 41 {5, 4, 3} 17 {6, 6, 0} >= 17 {4, 4, 4} 182 {6, 5, 1} >= 182 {4, 4, 4} 18 {6, 4, 2} >= 18 {4, 4, 4} (d31) true (c32) /* 5.24 */ trineq(1/R^2<=csum(1/(a*b))); 1 1 1 1 To prove: --- + --- + --- >= -- b c a c a b 2 R Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 c + b + a 16 K --------- >= -------- a b c 2 2 2 a b c 2 2 2 Multiplying both sides by a b c gives: 2 2 2 2 a b c + a b c + a b c >= 16 K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 a b c + (a b + a b) c >= 16 F Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 a b c + (a b + a b) c >= - c + (2 b + 2 a ) c - b + 2 a b - a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 c + a b c + a b c + a b c + b + a >= 2 b c + 2 a c + 2 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (z + (3 y + 3 x) z + (5 y + 4 x y + 5 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (3 y + 4 x y + 4 x y + 3 x ) z + y + 3 x y + 5 x y + 3 x y + x ) 4 3 2 2 2 /8 >= (z + (2 y + 2 x) z + (3 y + 8 x y + 3 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (2 y + 8 x y + 8 x y + 2 x ) z + y + 2 x y + 3 x y + 2 x y + x )/8 Multiplying both sides by 8 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 z + 3 y z + 3 x z + 5 y z + 4 x y z + 5 x z + 3 y z + 4 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 4 x y z + 3 x z + y + 3 x y + 5 x y + 3 x y + x >= 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 z + 2 y z + 2 x z + 3 y z + 8 x y z + 3 x z + 2 y z + 8 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 8 x y z + 2 x z + y + 2 x y + 3 x y + 2 x y + x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 y z + x z + 2 y z + 2 x z + y z + x z + x y + 2 x y + x y >= 2 2 2 4 x y z + 4 x y z + 4 x y z Dividing both sides by z + y + x gives: 2 2 2 2 2 2 y z + x z + y z - 2 x y z + x z + x y + x y >= 4 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 2 2 2 y z + x z + y z + x z + x y + x y >= 6 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {2, 1, 0} >= {1, 1, 1} This result follows from the majorization theorem. (d32) true (c33) trineq(csum(1/(a*b))<=1/(4*r^2)); 1 1 1 1 To prove: ---- >= --- + --- + --- 2 b c a c a b 4 r Let r = K/s . We get: 2 s c + b + a ---- >= --------- 2 a b c 4 K 2 Multiplying both sides by 4 K a b c gives: 2 2 2 2 a b c s >= 4 K c + 4 K b + 4 K a Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 a b c s >= 4 F c + 4 F b + 4 F a Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 3 2 2 2 3 2 2 3 a b c + (2 a b + 2 a b) c + (a b + 2 a b + a b) c --------------------------------------------------------- >= 4 5 4 2 2 3 3 2 2 3 2 - (c + (b + a) c + (- 2 b - 2 a ) c + (- 2 b - 2 a b - 2 a b - 2 a ) c 4 2 2 4 5 4 2 3 3 2 4 5 + (b - 2 a b + a ) c + b + a b - 2 a b - 2 a b + a b + a )/4 Multiplying both sides by 4 gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 3 a b c + 2 a b c + 2 a b c + a b c + 2 a b c + a b c >= 5 4 4 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 - c - b c - a c + 2 b c + 2 a c + 2 b c + 2 a b c + 2 a b c 3 2 4 2 2 4 5 4 2 3 3 2 4 + 2 a c - b c + 2 a b c - a c - b - a b + 2 a b + 2 a b - a b 5 - a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 5 4 4 3 4 3 3 4 5 4 4 c + b c + a c + a b c + b c + a b c + a b c + a c + b + a b + a b 5 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 + a >= 2 b c + 2 a c + 2 b c + 2 a c + 2 a b + 2 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 5 4 2 2 3 (2 z + (7 y + 7 x) z + (12 y + 12 x y + 12 x ) z 3 2 2 3 2 + (12 y + 12 x y + 12 x y + 12 x ) z 4 3 2 2 3 4 5 4 2 3 + (7 y + 12 x y + 12 x y + 12 x y + 7 x ) z + 2 y + 7 x y + 12 x y 3 2 4 5 5 4 + 12 x y + 7 x y + 2 x )/16 >= (2 z + (5 y + 5 x) z 2 2 3 3 2 2 3 2 + (6 y + 16 x y + 6 x ) z + (6 y + 24 x y + 24 x y + 6 x ) z 4 3 2 2 3 4 5 4 2 3 + (5 y + 16 x y + 24 x y + 16 x y + 5 x ) z + 2 y + 5 x y + 6 x y 3 2 4 5 + 6 x y + 5 x y + 2 x )/16 Multiplying both sides by 16 gives: 5 4 4 2 3 3 2 3 3 2 2 z + 7 y z + 7 x z + 12 y z + 12 x y z + 12 x z + 12 y z 2 2 2 2 3 2 4 3 2 2 + 12 x y z + 12 x y z + 12 x z + 7 y z + 12 x y z + 12 x y z 3 4 5 4 2 3 3 2 4 5 + 12 x y z + 7 x z + 2 y + 7 x y + 12 x y + 12 x y + 7 x y + 2 x >= 5 4 4 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 z + 5 y z + 5 x z + 6 y z + 16 x y z + 6 x z + 6 y z + 24 x y z 2 2 3 2 4 3 2 2 3 4 + 24 x y z + 6 x z + 5 y z + 16 x y z + 24 x y z + 16 x y z + 5 x z 5 4 2 3 3 2 4 5 + 2 y + 5 x y + 6 x y + 6 x y + 5 x y + 2 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 4 2 3 2 3 3 2 3 2 4 4 2 y z + 2 x z + 6 y z + 6 x z + 6 y z + 6 x z + 2 y z + 2 x z 4 2 3 3 2 4 + 2 x y + 6 x y + 6 x y + 2 x y >= 3 2 2 2 2 3 2 2 3 4 x y z + 12 x y z + 12 x y z + 4 x y z + 12 x y z + 4 x y z Dividing both sides by 2 gives: 4 4 2 3 2 3 3 2 3 2 4 4 4 y z + x z + 3 y z + 3 x z + 3 y z + 3 x z + y z + x z + x y 2 3 3 2 4 3 2 2 2 2 3 + 3 x y + 3 x y + x y >= 2 x y z + 6 x y z + 6 x y z + 2 x y z 2 2 3 + 6 x y z + 2 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 1, 0} + 3 {3, 2, 0} >= {3, 1, 1} + 3 {2, 2, 1} This follows from the following majorizations: {4, 1, 0} >= {3, 1, 1} 3 {3, 2, 0} >= 3 {2, 2, 1} (d33) true (c34) /* 5.25 */ trineq(8*r*(R-2*r)<=csum((a-b)^2)); 2 2 2 To prove: (c - a) + (b - c) + (a - b) >= 8 (R - 2 r) r Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 2 16 r + 2 c + 2 b + 2 a >= 8 R r + 2 b c + 2 a c + 2 a b Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 (2 c + 2 b + 2 a ) s + 16 K ((2 b + 2 a) c + 2 a b) s + 2 a b c ------------------------------- >= ----------------------------------- 2 s s 2 Multiplying both sides by s gives: 2 2 2 2 2 2 2 2 c s + 2 b s + 2 a s + 16 K >= 2 2 2 2 b c s + 2 a c s + 2 a b s + 2 a b c s Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 2 (2 c + 2 b + 2 a ) s + 16 F >= ((2 b + 2 a) c + 2 a b) s + 2 a b c s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 4 3 2 2 2 - (c + (- 2 b - 2 a) c + (- 6 b - 2 a b - 6 a ) c 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (- 2 b - 2 a b - 2 a b - 2 a ) c + b - 2 a b - 6 a b - 2 a b + a ) 3 2 2 2 3 2 2 3 /2 >= ((b + a) c + (2 b + 7 a b + 2 a ) c + (b + 7 a b + 7 a b + a ) c 3 2 2 3 + a b + 2 a b + a b)/2 Multiplying both sides by 2 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 - c + 2 b c + 2 a c + 6 b c + 2 a b c + 6 a c + 2 b c + 2 a b c 2 3 4 3 2 2 3 4 + 2 a b c + 2 a c - b + 2 a b + 6 a b + 2 a b - a >= 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 b c + a c + 2 b c + 7 a b c + 2 a c + b c + 7 a b c + 7 a b c + a c 3 2 2 3 + a b + 2 a b + a b Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 b c + a c + 4 b c + 4 a c + b c + a c + a b + 4 a b + a b >= 4 2 2 2 4 4 c + 5 a b c + 5 a b c + 5 a b c + b + a Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 4 3 2 2 2 (3 z + (7 y + 7 x) z + (9 y + 22 x y + 9 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 + (7 y + 22 x y + 22 x y + 7 x ) z + 3 y + 7 x y + 9 x y + 7 x y 4 4 3 2 2 2 + 3 x )/8 >= (z + (7 y + 7 x) z + (13 y + 20 x y + 13 x ) z 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4 + (7 y + 20 x y + 20 x y + 7 x ) z + y + 7 x y + 13 x y + 7 x y + x ) /8 Multiplying both sides by 8 gives: 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 z + 7 y z + 7 x z + 9 y z + 22 x y z + 9 x z + 7 y z + 22 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 22 x y z + 7 x z + 3 y + 7 x y + 9 x y + 7 x y + 3 x >= 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 z + 7 y z + 7 x z + 13 y z + 20 x y z + 13 x z + 7 y z + 20 x y z 2 3 4 3 2 2 3 4 + 20 x y z + 7 x z + y + 7 x y + 13 x y + 7 x y + x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 2 2 4 4 2 z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 y + 2 x >= 2 2 2 2 2 2 4 y z + 4 x z + 4 x y Dividing both sides by 2 gives: 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 z + x y z + x y z + x y z + y + x >= 2 y z + 2 x z + 2 x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 0, 0} + {2, 1, 1} >= 2 {2, 2, 0} This follows from the following majorizations: {4, 0, 0} >= {2, 2, 0} left side: [{2, 1, 1}, {4, 0, 0}] right side: [2 {2, 2, 0}] (d34) notyetimplemented (c35) trineq(csum((a-b)^2)<=8*R*(R-2*r)); 2 2 2 To prove: 8 R (R - 2 r) >= (c - a) + (b - c) + (a - b) Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 2 2 b c + 2 a c + 2 a b + 8 R >= 16 R r + 2 c + 2 b + 2 a Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c + (4 K b + 4 K a) c + 4 K a b (2 c + 2 b + 2 a ) s + 4 a b c ----------------------------------------- >= -------------------------------- 2 s 2 K 2 Multiplying both sides by 2 K s gives: 2 2 2 2 2 2 a b c s + 4 K b c s + 4 K a c s + 4 K a b s >= 2 2 2 2 2 2 2 4 K c s + 4 K b s + 4 K a s + 8 K a b c Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 2 2 (a b c + (4 F b + 4 F a) c + 4 F a b) s >= 2 2 2 2 2 2 2 (4 F c + 4 F b + 4 F a ) s + 8 F a b c Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 6 2 2 5 3 2 2 3 4 - ((b + a) c + (b + 3 a b + a ) c + (- 2 b - a b - a b - 2 a ) c 4 3 2 2 3 4 3 + (- 2 b - 6 a b - 8 a b - 6 a b - 2 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 2 + (b - a b - 8 a b - 8 a b - a b + a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 6 2 5 + (b + 3 a b - a b - 6 a b - a b + 3 a b + a ) c + a b + a b 3 4 4 3 5 2 6 - 2 a b - 2 a b + a b + a b)/8 >= 7 6 2 2 5 3 2 2 3 4 - (c + (b + a) c + (- b + 4 a b - a ) c + (- b - a b - a b - a ) c 4 3 2 2 3 4 3 + (- b - 8 a b - 6 a b - 8 a b - a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 2 + (- b - a b - 6 a b - 6 a b - a b - a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 6 2 5 + (b + 4 a b - a b - 8 a b - a b + 4 a b + a ) c + b + a b - a b 3 4 4 3 5 2 6 7 - a b - a b - a b + a b + a )/8 Multiplying both sides by 8 gives: 6 6 2 5 5 2 5 3 4 2 4 2 4 - b c - a c - b c - 3 a b c - a c + 2 b c + a b c + a b c 3 4 4 3 3 3 2 2 3 3 3 4 3 5 2 + 2 a c + 2 b c + 6 a b c + 8 a b c + 6 a b c + 2 a c - b c 4 2 2 3 2 3 2 2 4 2 5 2 6 5 + a b c + 8 a b c + 8 a b c + a b c - a c - b c - 3 a b c 2 4 3 3 4 2 5 6 6 2 5 3 4 + a b c + 6 a b c + a b c - 3 a b c - a c - a b - a b + 2 a b 4 3 5 2 6 7 6 6 2 5 5 2 5 + 2 a b - a b - a b >= - c - b c - a c + b c - 4 a b c + a c 3 4 2 4 2 4 3 4 4 3 3 3 2 2 3 + b c + a b c + a b c + a c + b c + 8 a b c + 6 a b c 3 3 4 3 5 2 4 2 2 3 2 3 2 2 4 2 + 8 a b c + a c + b c + a b c + 6 a b c + 6 a b c + a b c 5 2 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 + a c - b c - 4 a b c + a b c + 8 a b c + a b c - 4 a b c - a c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 - b - a b + a b + a b + a b + a b - a b - a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 7 5 3 4 3 4 4 3 2 2 3 4 3 2 3 2 c + a b c + b c + a c + b c + 2 a b c + a c + 2 a b c 3 2 2 5 5 7 3 4 4 3 7 + 2 a b c + a b c + a b c + b + a b + a b + a >= 2 5 2 5 3 3 3 3 5 2 5 2 3 3 2 b c + 2 a c + 2 a b c + 2 a b c + 2 b c + 2 a c + 2 a b c 2 5 5 2 + 2 a b + 2 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 7 6 2 2 5 (z + (4 y + 4 x) z + (10 y + 11 x y + 10 x ) z 3 2 2 3 4 + (16 y + 23 x y + 23 x y + 16 x ) z 4 3 2 2 3 4 3 + (16 y + 29 x y + 45 x y + 29 x y + 16 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 2 + (10 y + 23 x y + 45 x y + 45 x y + 23 x y + 10 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 + (4 y + 11 x y + 23 x y + 29 x y + 23 x y + 11 x y + 4 x ) z + y 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 + 4 x y + 10 x y + 16 x y + 16 x y + 10 x y + 4 x y + x )/32 >= 7 6 2 2 5 (z + (4 y + 4 x) z + (8 y + 15 x y + 8 x ) z 3 2 2 3 4 + (10 y + 29 x y + 29 x y + 10 x ) z 4 3 2 2 3 4 3 + (10 y + 33 x y + 41 x y + 33 x y + 10 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 2 + (8 y + 29 x y + 41 x y + 41 x y + 29 x y + 8 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 + (4 y + 15 x y + 29 x y + 33 x y + 29 x y + 15 x y + 4 x ) z + y 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 + 4 x y + 8 x y + 10 x y + 10 x y + 8 x y + 4 x y + x )/32 Multiplying both sides by 32 gives: 7 6 6 2 5 5 2 5 3 4 2 4 z + 4 y z + 4 x z + 10 y z + 11 x y z + 10 x z + 16 y z + 23 x y z 2 4 3 4 4 3 3 3 2 2 3 3 3 + 23 x y z + 16 x z + 16 y z + 29 x y z + 45 x y z + 29 x y z 4 3 5 2 4 2 2 3 2 3 2 2 4 2 + 16 x z + 10 y z + 23 x y z + 45 x y z + 45 x y z + 23 x y z 5 2 6 5 2 4 3 3 4 2 + 10 x z + 4 y z + 11 x y z + 23 x y z + 29 x y z + 23 x y z 5 6 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 11 x y z + 4 x z + y + 4 x y + 10 x y + 16 x y + 16 x y + 10 x y 6 7 7 6 6 2 5 5 2 5 + 4 x y + x >= z + 4 y z + 4 x z + 8 y z + 15 x y z + 8 x z 3 4 2 4 2 4 3 4 4 3 3 3 + 10 y z + 29 x y z + 29 x y z + 10 x z + 10 y z + 33 x y z 2 2 3 3 3 4 3 5 2 4 2 2 3 2 + 41 x y z + 33 x y z + 10 x z + 8 y z + 29 x y z + 41 x y z 3 2 2 4 2 5 2 6 5 2 4 + 41 x y z + 29 x y z + 8 x z + 4 y z + 15 x y z + 29 x y z 3 3 4 2 5 6 7 6 2 5 + 33 x y z + 29 x y z + 15 x y z + 4 x z + y + 4 x y + 8 x y 3 4 4 3 5 2 6 7 + 10 x y + 10 x y + 8 x y + 4 x y + x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 5 2 5 3 4 3 4 4 3 2 2 3 4 3 2 y z + 2 x z + 6 y z + 6 x z + 6 y z + 4 x y z + 6 x z 5 2 2 3 2 3 2 2 5 2 2 5 3 4 4 3 + 2 y z + 4 x y z + 4 x y z + 2 x z + 2 x y + 6 x y + 6 x y 5 2 5 2 4 2 4 3 3 3 3 + 2 x y >= 4 x y z + 6 x y z + 6 x y z + 4 x y z + 4 x y z 4 2 4 2 5 2 4 3 3 4 2 + 6 x y z + 6 x y z + 4 x y z + 6 x y z + 4 x y z + 6 x y z 5 + 4 x y z Dividing both sides by 2 (z + y + x) gives: 2 4 2 4 3 3 2 3 2 3 3 3 4 2 3 2 y z + x z + 2 y z - x y z - x y z + 2 x z + y z - x y z 2 2 2 3 2 4 2 2 3 3 2 2 4 3 3 + 4 x y z - x y z + x z - x y z - x y z + x y + 2 x y 4 2 4 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 + x y >= 2 x y z + x y z + x y z + x y z - 2 x y z + x y z 4 2 3 3 2 4 + 2 x y z + x y z + x y z + 2 x y z Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 4 2 4 3 3 3 3 4 2 2 2 2 4 2 2 4 y z + x z + 2 y z + 2 x z + y z + 6 x y z + x z + x y 3 3 4 2 4 2 3 2 3 3 2 3 2 + 2 x y + x y >= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z 4 2 3 3 2 4 + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 2, 0} + {3, 3, 0} + {2, 2, 2} >= {4, 1, 1} + 2 {3, 2, 1} This follows from the following majorizations: {3, 3, 0} + {2, 2, 2} >= 2 {3, 2, 1} {4, 2, 0} >= {4, 1, 1} (d35) true (c36) /* 5.26 */ trineq(4*r^2<=a*b*c/csum(a)); a b c 2 To prove: --------- >= 4 r c + b + a Let r = K/s . We get: 2 a b c 4 K --------- >= ---- c + b + a 2 s 2 Multiplying both sides by (c + b + a) s gives: 2 2 2 2 a b c s >= 4 K c + 4 K b + 4 K a Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 2 2 a b c s >= 4 F c + 4 F b + 4 F a Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 3 2 2 2 3 2 2 3 a b c + (2 a b + 2 a b) c + (a b + 2 a b + a b) c --------------------------------------------------------- >= 4 5 4 2 2 3 3 2 2 3 2 - (c + (b + a) c + (- 2 b - 2 a ) c + (- 2 b - 2 a b - 2 a b - 2 a ) c 4 2 2 4 5 4 2 3 3 2 4 5 + (b - 2 a b + a ) c + b + a b - 2 a b - 2 a b + a b + a )/4 Multiplying both sides by 4 gives: 3 2 2 2 2 3 2 2 3 a b c + 2 a b c + 2 a b c + a b c + 2 a b c + a b c >= 5 4 4 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 - c - b c - a c + 2 b c + 2 a c + 2 b c + 2 a b c + 2 a b c 3 2 4 2 2 4 5 4 2 3 3 2 4 + 2 a c - b c + 2 a b c - a c - b - a b + 2 a b + 2 a b - a b 5 - a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 5 4 4 3 4 3 3 4 5 4 4 c + b c + a c + a b c + b c + a b c + a b c + a c + b + a b + a b 5 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 + a >= 2 b c + 2 a c + 2 b c + 2 a c + 2 a b + 2 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 5 4 2 2 3 (2 z + (7 y + 7 x) z + (12 y + 12 x y + 12 x ) z 3 2 2 3 2 + (12 y + 12 x y + 12 x y + 12 x ) z 4 3 2 2 3 4 5 4 2 3 + (7 y + 12 x y + 12 x y + 12 x y + 7 x ) z + 2 y + 7 x y + 12 x y 3 2 4 5 5 4 + 12 x y + 7 x y + 2 x )/16 >= (2 z + (5 y + 5 x) z 2 2 3 3 2 2 3 2 + (6 y + 16 x y + 6 x ) z + (6 y + 24 x y + 24 x y + 6 x ) z 4 3 2 2 3 4 5 4 2 3 + (5 y + 16 x y + 24 x y + 16 x y + 5 x ) z + 2 y + 5 x y + 6 x y 3 2 4 5 + 6 x y + 5 x y + 2 x )/16 Multiplying both sides by 16 gives: 5 4 4 2 3 3 2 3 3 2 2 z + 7 y z + 7 x z + 12 y z + 12 x y z + 12 x z + 12 y z 2 2 2 2 3 2 4 3 2 2 + 12 x y z + 12 x y z + 12 x z + 7 y z + 12 x y z + 12 x y z 3 4 5 4 2 3 3 2 4 5 + 12 x y z + 7 x z + 2 y + 7 x y + 12 x y + 12 x y + 7 x y + 2 x >= 5 4 4 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 z + 5 y z + 5 x z + 6 y z + 16 x y z + 6 x z + 6 y z + 24 x y z 2 2 3 2 4 3 2 2 3 4 + 24 x y z + 6 x z + 5 y z + 16 x y z + 24 x y z + 16 x y z + 5 x z 5 4 2 3 3 2 4 5 + 2 y + 5 x y + 6 x y + 6 x y + 5 x y + 2 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 4 2 3 2 3 3 2 3 2 4 4 2 y z + 2 x z + 6 y z + 6 x z + 6 y z + 6 x z + 2 y z + 2 x z 4 2 3 3 2 4 + 2 x y + 6 x y + 6 x y + 2 x y >= 3 2 2 2 2 3 2 2 3 4 x y z + 12 x y z + 12 x y z + 4 x y z + 12 x y z + 4 x y z Dividing both sides by 2 gives: 4 4 2 3 2 3 3 2 3 2 4 4 4 y z + x z + 3 y z + 3 x z + 3 y z + 3 x z + y z + x z + x y 2 3 3 2 4 3 2 2 2 2 3 + 3 x y + 3 x y + x y >= 2 x y z + 6 x y z + 6 x y z + 2 x y z 2 2 3 + 6 x y z + 2 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {4, 1, 0} + 3 {3, 2, 0} >= {3, 1, 1} + 3 {2, 2, 1} This follows from the following majorizations: {4, 1, 0} >= {3, 1, 1} 3 {3, 2, 0} >= 3 {2, 2, 1} (d36) true (c37) /* 5.27 */ trineq(a*b*c<=(R*sqrt(3))^3); 3 To prove: 3 sqrt(3) R >= a b c Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 3 3 3 3 sqrt(3) a b c ------------------ >= a b c 3 64 K 3 Multiplying both sides by 64 K gives: 3 3 3 3 3 sqrt(3) a b c >= 64 K a b c Replacing K^2 by F^2 gives: 3 3 3 2 3 sqrt(3) a b c >= 64 F K a b c 2 Since 64 F a b c is positive, and since 3 3 3 3 sqrt(3) a b c is positive, we can square both sides to get: 6 6 6 4 2 2 2 4 4 2 3 4 3 2 2 27 a b c >= 4096 F a b c s + ((- 4096 F a b - 4096 F a b ) c 4 2 2 3 3 4 2 3 4 3 2 3 - 4096 F a b c ) s + ((4096 F a b + 4096 F a b ) c 4 3 3 2 2 4 3 3 3 + 4096 F a b c ) s - 4096 F a b c s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 2 2 3 3 4 2 3 2 3 4 3 2 2 3 4096 F a b c s + 4096 F a b c s + 4096 F a b c s 4 3 3 3 6 6 6 + 4096 F a b c s + 27 a b c >= 4 2 2 2 4 4 2 3 3 2 4 3 2 3 2 4096 F a b c s + 4096 F a b c s + 4096 F a b c s 4 3 3 2 2 + 4096 F a b c s 2 2 2 Dividing both sides by a b c gives: 4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4096 F c s + 4096 F b s + 4096 F a s + 4096 F a b c s + 27 a b c >= 4 4 4 2 4 2 4 2 4096 F s + 4096 F b c s + 4096 F a c s + 4096 F a b s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 12 11 2 2 10 3 3 9 2 c + (8 b + 8 a) c + (4 b + 32 a b + 4 a ) c + (- 24 b - 24 a ) c 4 3 2 2 3 4 8 + (- 34 b - 120 a b - 76 a b - 120 a b - 34 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (16 b - 80 a b - 128 a b - 128 a b - 80 a b + 16 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 6 + (56 b + 160 a b + 72 a b + 64 a b + 72 a b + 160 a b + 56 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (16 b + 160 a b + 256 a b + 208 a b + 208 a b + 256 a b + 160 a b 7 5 8 7 2 6 3 5 4 4 + 16 a ) c + (- 34 b - 80 a b + 72 a b + 208 a b + 207 a b 5 3 6 2 7 8 4 + 208 a b + 72 a b - 80 a b - 34 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (- 24 b - 120 a b - 128 a b + 64 a b + 208 a b + 208 a b 6 3 7 2 8 9 3 + 64 a b - 128 a b - 120 a b - 24 a ) c 10 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 + (4 b - 76 a b - 128 a b + 72 a b + 256 a b + 72 a b - 128 a b 8 2 10 2 11 10 3 8 4 7 5 6 - 76 a b + 4 a ) c + (8 b + 32 a b - 120 a b - 80 a b + 160 a b 6 5 7 4 8 3 10 11 12 11 + 160 a b - 80 a b - 120 a b + 32 a b + 8 a ) c + 2 b + 8 a b 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 4 a b - 24 a b - 34 a b + 16 a b + 56 a b + 16 a b - 34 a b 9 3 10 2 11 12 - 24 a b + 4 a b + 8 a b + 2 a >= 12 11 2 2 10 3 3 9 c + (8 b + 8 a) c + (10 b + 32 a b + 10 a ) c + (- 24 b - 24 a ) c 4 3 2 2 3 4 8 + (- 49 b - 120 a b - 94 a b - 120 a b - 49 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (16 b - 80 a b - 128 a b - 128 a b - 80 a b + 16 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 6 + (76 b + 160 a b + 84 a b + 64 a b + 84 a b + 160 a b + 76 a ) c 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 + (16 b + 160 a b + 256 a b + 208 a b + 208 a b + 256 a b + 160 a b 7 5 8 7 2 6 3 5 4 4 + 16 a ) c + (- 49 b - 80 a b + 84 a b + 208 a b + 186 a b 5 3 6 2 7 8 4 + 208 a b + 84 a b - 80 a b - 49 a ) c 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (- 24 b - 120 a b - 128 a b + 64 a b + 208 a b + 208 a b 6 3 7 2 8 9 3 + 64 a b - 128 a b - 120 a b - 24 a ) c 10 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 + (10 b - 94 a b - 128 a b + 84 a b + 256 a b + 84 a b - 128 a b 8 2 10 2 11 10 3 8 4 7 5 6 - 94 a b + 10 a ) c + (8 b + 32 a b - 120 a b - 80 a b + 160 a b 6 5 7 4 8 3 10 11 12 11 + 160 a b - 80 a b - 120 a b + 32 a b + 8 a ) c + b + 8 a b 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 10 a b - 24 a b - 49 a b + 16 a b + 76 a b + 16 a b - 49 a b 9 3 10 2 11 12 - 24 a b + 10 a b + 8 a b + a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 12 4 8 2 2 8 4 8 8 4 4 4 4 8 4 c + 15 b c + 18 a b c + 15 a c + 15 b c + 21 a b c + 15 a c 2 8 2 8 2 2 12 4 8 8 4 12 + 18 a b c + 18 a b c + b + 15 a b + 15 a b + a >= 2 10 2 10 6 6 2 4 6 4 2 6 6 6 6 b c + 6 a c + 20 b c + 12 a b c + 12 a b c + 20 a c 2 6 4 6 2 4 10 2 4 6 2 6 4 2 10 2 + 12 a b c + 12 a b c + 6 b c + 12 a b c + 12 a b c + 6 a c 2 10 6 6 10 2 + 6 a b + 20 a b + 6 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 12 11 2 2 10 (32 z + (192 y + 192 x) z + (612 y + 1032 x y + 612 x ) z 3 2 2 3 9 + (1300 y + 2940 x y + 2940 x y + 1300 x ) z 4 3 2 2 3 4 8 + (2133 y + 5664 x y + 7542 x y + 5664 x y + 2133 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (2844 y + 8508 x y + 13224 x y + 13224 x y + 8508 x y + 2844 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (3150 y + 10416 x y + 18186 x y + 19152 x y + 18186 x y + 10416 x y 6 6 7 6 2 5 3 4 + 3150 x ) z + (2844 y + 10416 x y + 20160 x y + 20244 x y 4 3 5 2 6 7 5 + 20244 x y + 20160 x y + 10416 x y + 2844 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (2133 y + 8508 x y + 18186 x y + 20244 x y + 17346 x y + 20244 x y 6 2 7 8 4 + 18186 x y + 8508 x y + 2133 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (1300 y + 5664 x y + 13224 x y + 19152 x y + 20244 x y + 20244 x y 6 3 7 2 8 9 3 + 19152 x y + 13224 x y + 5664 x y + 1300 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (612 y + 2940 x y + 7542 x y + 13224 x y + 18186 x y + 20160 x y 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 18186 x y + 13224 x y + 7542 x y + 2940 x y + 612 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (192 y + 1032 x y + 2940 x y + 5664 x y + 8508 x y + 10416 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 10416 x y + 8508 x y + 5664 x y + 2940 x y + 1032 x y + 192 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 32 y + 192 x y + 612 x y + 1300 x y + 2133 x y + 2844 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 3150 x y + 2844 x y + 2133 x y + 1300 x y + 612 x y + 192 x y 12 12 11 + 32 x )/4096 >= (16 z + (96 y + 96 x) z 2 2 10 3 2 2 3 + (306 y + 516 x y + 306 x ) z + (650 y + 1470 x y + 1470 x y + 650 x ) 9 4 3 2 2 3 4 8 z + (1053 y + 2778 x y + 3690 x y + 2778 x y + 1053 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 7 + (1368 y + 3984 x y + 6072 x y + 6072 x y + 3984 x y + 1368 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (1494 y + 4668 x y + 7662 x y + 9680 x y + 7662 x y + 4668 x y 6 6 7 6 2 5 3 4 4 3 + 1494 x ) z + (1368 y + 4668 x y + 8136 x y + 12756 x y + 12756 x y 5 2 6 7 5 + 8136 x y + 4668 x y + 1368 x ) z 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 + (1053 y + 3984 x y + 7662 x y + 12756 x y + 16290 x y + 12756 x y 6 2 7 8 4 + 7662 x y + 3984 x y + 1053 x ) z 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 + (650 y + 2778 x y + 6072 x y + 9680 x y + 12756 x y + 12756 x y 6 3 7 2 8 9 3 + 9680 x y + 6072 x y + 2778 x y + 650 x ) z 10 9 2 8 3 7 4 6 5 5 + (306 y + 1470 x y + 3690 x y + 6072 x y + 7662 x y + 8136 x y 6 4 7 3 8 2 9 10 2 + 7662 x y + 6072 x y + 3690 x y + 1470 x y + 306 x ) z 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 + (96 y + 516 x y + 1470 x y + 2778 x y + 3984 x y + 4668 x y 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 + 4668 x y + 3984 x y + 2778 x y + 1470 x y + 516 x y + 96 x ) z 12 11 2 10 3 9 4 8 5 7 + 16 y + 96 x y + 306 x y + 650 x y + 1053 x y + 1368 x y 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 11 + 1494 x y + 1368 x y + 1053 x y + 650 x y + 306 x y + 96 x y 12 + 16 x )/2048 Multiplying both sides by 4096 gives: 12 11 11 2 10 10 2 10 32 z + 192 y z + 192 x z + 612 y z + 1032 x y z + 612 x z 3 9 2 9 2 9 3 9 4 8 + 1300 y z + 2940 x y z + 2940 x y z + 1300 x z + 2133 y z 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 + 5664 x y z + 7542 x y z + 5664 x y z + 2133 x z + 2844 y z 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 8508 x y z + 13224 x y z + 13224 x y z + 8508 x y z + 2844 x z 6 6 5 6 2 4 6 3 3 6 + 3150 y z + 10416 x y z + 18186 x y z + 19152 x y z 4 2 6 5 6 6 6 7 5 6 5 + 18186 x y z + 10416 x y z + 3150 x z + 2844 y z + 10416 x y z 2 5 5 3 4 5 4 3 5 5 2 5 + 20160 x y z + 20244 x y z + 20244 x y z + 20160 x y z 6 5 7 5 8 4 7 4 2 6 4 + 10416 x y z + 2844 x z + 2133 y z + 8508 x y z + 18186 x y z 3 5 4 4 4 4 5 3 4 6 2 4 + 20244 x y z + 17346 x y z + 20244 x y z + 18186 x y z 7 4 8 4 9 3 8 3 2 7 3 + 8508 x y z + 2133 x z + 1300 y z + 5664 x y z + 13224 x y z 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 19152 x y z + 20244 x y z + 20244 x y z + 19152 x y z 7 2 3 8 3 9 3 10 2 9 2 + 13224 x y z + 5664 x y z + 1300 x z + 612 y z + 2940 x y z 2 8 2 3 7 2 4 6 2 5 5 2 + 7542 x y z + 13224 x y z + 18186 x y z + 20160 x y z 6 4 2 7 3 2 8 2 2 9 2 10 2 + 18186 x y z + 13224 x y z + 7542 x y z + 2940 x y z + 612 x z 11 10 2 9 3 8 4 7 + 192 y z + 1032 x y z + 2940 x y z + 5664 x y z + 8508 x y z 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 + 10416 x y z + 10416 x y z + 8508 x y z + 5664 x y z + 2940 x y z 10 11 12 11 2 10 3 9 + 1032 x y z + 192 x z + 32 y + 192 x y + 612 x y + 1300 x y 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 9 3 + 2133 x y + 2844 x y + 3150 x y + 2844 x y + 2133 x y + 1300 x y 10 2 11 12 12 11 11 + 612 x y + 192 x y + 32 x >= 32 z + 192 y z + 192 x z 2 10 10 2 10 3 9 2 9 + 612 y z + 1032 x y z + 612 x z + 1300 y z + 2940 x y z 2 9 3 9 4 8 3 8 2 2 8 + 2940 x y z + 1300 x z + 2106 y z + 5556 x y z + 7380 x y z 3 8 4 8 5 7 4 7 2 3 7 + 5556 x y z + 2106 x z + 2736 y z + 7968 x y z + 12144 x y z 3 2 7 4 7 5 7 6 6 5 6 + 12144 x y z + 7968 x y z + 2736 x z + 2988 y z + 9336 x y z 2 4 6 3 3 6 4 2 6 5 6 6 6 + 15324 x y z + 19360 x y z + 15324 x y z + 9336 x y z + 2988 x z 7 5 6 5 2 5 5 3 4 5 4 3 5 + 2736 y z + 9336 x y z + 16272 x y z + 25512 x y z + 25512 x y z 5 2 5 6 5 7 5 8 4 7 4 + 16272 x y z + 9336 x y z + 2736 x z + 2106 y z + 7968 x y z 2 6 4 3 5 4 4 4 4 5 3 4 + 15324 x y z + 25512 x y z + 32580 x y z + 25512 x y z 6 2 4 7 4 8 4 9 3 8 3 + 15324 x y z + 7968 x y z + 2106 x z + 1300 y z + 5556 x y z 2 7 3 3 6 3 4 5 3 5 4 3 + 12144 x y z + 19360 x y z + 25512 x y z + 25512 x y z 6 3 3 7 2 3 8 3 9 3 10 2 + 19360 x y z + 12144 x y z + 5556 x y z + 1300 x z + 612 y z 9 2 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 2940 x y z + 7380 x y z + 12144 x y z + 15324 x y z 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 + 16272 x y z + 15324 x y z + 12144 x y z + 7380 x y z 9 2 10 2 11 10 2 9 + 2940 x y z + 612 x z + 192 y z + 1032 x y z + 2940 x y z 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 + 5556 x y z + 7968 x y z + 9336 x y z + 9336 x y z + 7968 x y z 8 3 9 2 10 11 12 11 + 5556 x y z + 2940 x y z + 1032 x y z + 192 x z + 32 y + 192 x y 2 10 3 9 4 8 5 7 6 6 7 5 + 612 x y + 1300 x y + 2106 x y + 2736 x y + 2988 x y + 2736 x y 8 4 9 3 10 2 11 12 + 2106 x y + 1300 x y + 612 x y + 192 x y + 32 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 4 8 3 8 2 2 8 3 8 4 8 5 7 27 y z + 108 x y z + 162 x y z + 108 x y z + 27 x z + 108 y z 4 7 2 3 7 3 2 7 4 7 5 7 + 540 x y z + 1080 x y z + 1080 x y z + 540 x y z + 108 x z 6 6 5 6 2 4 6 4 2 6 5 6 + 162 y z + 1080 x y z + 2862 x y z + 2862 x y z + 1080 x y z 6 6 7 5 6 5 2 5 5 5 2 5 + 162 x z + 108 y z + 1080 x y z + 3888 x y z + 3888 x y z 6 5 7 5 8 4 7 4 2 6 4 + 1080 x y z + 108 x z + 27 y z + 540 x y z + 2862 x y z 6 2 4 7 4 8 4 8 3 2 7 3 + 2862 x y z + 540 x y z + 27 x z + 108 x y z + 1080 x y z 7 2 3 8 3 2 8 2 3 7 2 4 6 2 + 1080 x y z + 108 x y z + 162 x y z + 1080 x y z + 2862 x y z 5 5 2 6 4 2 7 3 2 8 2 2 3 8 + 3888 x y z + 2862 x y z + 1080 x y z + 162 x y z + 108 x y z 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 + 540 x y z + 1080 x y z + 1080 x y z + 540 x y z + 108 x y z 4 8 5 7 6 6 7 5 8 4 + 27 x y + 108 x y + 162 x y + 108 x y + 27 x y >= 3 3 6 3 4 5 4 3 5 3 5 4 4 4 4 208 x y z + 5268 x y z + 5268 x y z + 5268 x y z + 15234 x y z 5 3 4 3 6 3 4 5 3 5 4 3 6 3 3 + 5268 x y z + 208 x y z + 5268 x y z + 5268 x y z + 208 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 27 {8, 4, 0} + 108 {8, 3, 1} + 81 {8, 2, 2} + 108 {7, 5, 0} + 540 {7, 4, 1} + 1080 {7, 3, 2} + 81 {6, 6, 0} + 1080 {6, 5, 1} + 2862 {6, 4, 2} + 1944 {5, 5, 2} >= 104 {6, 3, 3} + 5268 {5, 4, 3} + 2539 {4, 4, 4} This follows from the following majorizations: left side: [1944 {5, 5, 2}, 2862 {6, 4, 2}, 1080 {6, 5, 1}, 81 {6, 6, 0}, 1080 {7, 3, 2}, 540 {7, 4, 1}, 108 {7, 5, 0}, 81 {8, 2, 2}, 108 {8, 3, 1}, 27 {8, 4, 0}] right side: [2539 {4, 4, 4}, 5268 {5, 4, 3}, 104 {6, 3, 3}] (d37) notsure (c38) /* 5.33 */ trineq(5*R-r>=s*sqrt(3)); To prove: 5 R - r >= sqrt(3) s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 5 R >= sqrt(3) s + r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 2 5 a b c sqrt(3) s + K ------- >= -------------- 4 K s Multiplying both sides by 4 K s gives: 2 2 5 a b c s >= 4 sqrt(3) K s + 4 K Replacing K^2 by F^2 gives: 2 2 5 a b c s >= 4 sqrt(3) K s + 4 F Bringing all terms involving K to the right side yields: 2 2 5 a b c s - 4 F >= 4 sqrt(3) K s 2 Since 4 sqrt(3) s is positive, and since 2 5 a b c s - 4 F is positive, we can square both sides to get: 2 2 2 2 2 4 25 a b c s - 40 F a b c s + 16 F >= 8 7 6 5 48 s + (- 48 c - 48 b - 48 a) s + ((48 b + 48 a) c + 48 a b) s - 48 a b c s Expanding and collecting terms of the same sign gives: 7 7 7 5 2 2 2 2 4 48 c s + 48 b s + 48 a s + 48 a b c s + 25 a b c s + 16 F >= 8 6 6 6 2 48 s + 48 b c s + 48 a c s + 48 a b s + 40 F a b c s Let F = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) . Let s = (c+b+a)/2 . We get: 8 7 2 2 6 (7 c + (48 b + 48 a) c + (164 b + 360 a b + 164 a ) c 3 2 2 3 5 + (336 b + 1128 a b + 1128 a b + 336 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (426 b + 1920 a b + 3104 a b + 1920 a b + 426 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (336 b + 1920 a b + 4280 a b + 4280 a b + 1920 a b + 336 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (164 b + 1128 a b + 3104 a b + 4280 a b + 3104 a b + 1128 a b 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 164 a ) c + (48 b + 360 a b + 1128 a b + 1920 a b + 1920 a b 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 1128 a b + 360 a b + 48 a ) c + 7 b + 48 a b + 164 a b + 336 a b 4 4 5 3 6 2 7 8 + 426 a b + 336 a b + 164 a b + 48 a b + 7 a )/16 >= 8 7 2 2 6 (3 c + (36 b + 36 a) c + (156 b + 304 a b + 156 a ) c 3 2 2 3 5 + (348 b + 1096 a b + 1096 a b + 348 a ) c 4 3 2 2 3 4 4 + (450 b + 2020 a b + 3060 a b + 2020 a b + 450 a ) c 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (348 b + 2020 a b + 4240 a b + 4240 a b + 2020 a b + 348 a ) c 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (156 b + 1096 a b + 3060 a b + 4240 a b + 3060 a b + 1096 a b 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 156 a ) c + (36 b + 304 a b + 1096 a b + 2020 a b + 2020 a b 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 1096 a b + 304 a b + 36 a ) c + 3 b + 36 a b + 156 a b + 348 a b 4 4 5 3 6 2 7 8 + 450 a b + 348 a b + 156 a b + 36 a b + 3 a )/16 Multiplying both sides by 16 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 7 c + 48 b c + 48 a c + 164 b c + 360 a b c + 164 a c + 336 b c 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 1128 a b c + 1128 a b c + 336 a c + 426 b c + 1920 a b c 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 3104 a b c + 1920 a b c + 426 a c + 336 b c + 1920 a b c 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 4280 a b c + 4280 a b c + 1920 a b c + 336 a c + 164 b c 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 1128 a b c + 3104 a b c + 4280 a b c + 3104 a b c + 1128 a b c 6 2 7 6 2 5 3 4 + 164 a c + 48 b c + 360 a b c + 1128 a b c + 1920 a b c 4 3 5 2 6 7 8 7 + 1920 a b c + 1128 a b c + 360 a b c + 48 a c + 7 b + 48 a b 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 + 164 a b + 336 a b + 426 a b + 336 a b + 164 a b + 48 a b 8 8 7 7 2 6 6 2 6 + 7 a >= 3 c + 36 b c + 36 a c + 156 b c + 304 a b c + 156 a c 3 5 2 5 2 5 3 5 4 4 + 348 b c + 1096 a b c + 1096 a b c + 348 a c + 450 b c 3 4 2 2 4 3 4 4 4 5 3 + 2020 a b c + 3060 a b c + 2020 a b c + 450 a c + 348 b c 4 3 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 + 2020 a b c + 4240 a b c + 4240 a b c + 2020 a b c + 348 a c 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 + 156 b c + 1096 a b c + 3060 a b c + 4240 a b c + 3060 a b c 5 2 6 2 7 6 2 5 + 1096 a b c + 156 a c + 36 b c + 304 a b c + 1096 a b c 3 4 4 3 5 2 6 7 8 + 2020 a b c + 2020 a b c + 1096 a b c + 304 a b c + 36 a c + 3 b 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 36 a b + 156 a b + 348 a b + 450 a b + 348 a b + 156 a b 7 8 + 36 a b + 3 a Expanding and collecting terms of the same sign gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 2 5 4 c + 12 b c + 12 a c + 8 b c + 56 a b c + 8 a c + 32 a b c 2 5 2 2 4 2 3 3 3 2 3 6 2 5 2 + 32 a b c + 44 a b c + 40 a b c + 40 a b c + 8 b c + 32 a b c 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 6 2 7 + 44 a b c + 40 a b c + 44 a b c + 32 a b c + 8 a c + 12 b c 6 2 5 5 2 6 7 8 7 + 56 a b c + 32 a b c + 32 a b c + 56 a b c + 12 a c + 4 b + 12 a b 2 6 6 2 7 8 + 8 a b + 8 a b + 12 a b + 4 a >= 3 5 3 5 4 4 3 4 3 4 4 4 12 b c + 12 a c + 24 b c + 100 a b c + 100 a b c + 24 a c 5 3 4 3 4 3 5 3 3 4 4 3 + 12 b c + 100 a b c + 100 a b c + 12 a c + 100 a b c + 100 a b c 3 5 4 4 5 3 + 12 a b + 24 a b + 12 a b Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 8 7 2 2 6 (6 z + (49 y + 49 x) z + (175 y + 272 x y + 175 x ) z 3 2 2 3 5 + (369 y + 676 x y + 676 x y + 369 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (474 y + 1042 x y + 1186 x y + 1042 x y + 474 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (369 y + 1042 x y + 1376 x y + 1376 x y + 1042 x y + 369 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (175 y + 676 x y + 1186 x y + 1376 x y + 1186 x y + 676 x y 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 175 x ) z + (49 y + 272 x y + 676 x y + 1042 x y + 1042 x y 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 676 x y + 272 x y + 49 x ) z + 6 y + 49 x y + 175 x y + 369 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 474 x y + 369 x y + 175 x y + 49 x y + 6 x )/32 >= 8 7 2 2 6 (6 z + (49 y + 49 x) z + (125 y + 268 x y + 125 x ) z 3 2 2 3 5 + (169 y + 636 x y + 636 x y + 169 x ) z 4 3 2 2 3 4 4 + (174 y + 942 x y + 1554 x y + 942 x y + 174 x ) z 5 4 2 3 3 2 4 5 3 + (169 y + 942 x y + 2092 x y + 2092 x y + 942 x y + 169 x ) z 6 5 2 4 3 3 4 2 5 + (125 y + 636 x y + 1554 x y + 2092 x y + 1554 x y + 636 x y 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 125 x ) z + (49 y + 268 x y + 636 x y + 942 x y + 942 x y 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 636 x y + 268 x y + 49 x ) z + 6 y + 49 x y + 125 x y + 169 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 174 x y + 169 x y + 125 x y + 49 x y + 6 x )/32 Multiplying both sides by 32 gives: 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 6 z + 49 y z + 49 x z + 175 y z + 272 x y z + 175 x z + 369 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 676 x y z + 676 x y z + 369 x z + 474 y z + 1042 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 1186 x y z + 1042 x y z + 474 x z + 369 y z + 1042 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 1376 x y z + 1376 x y z + 1042 x y z + 369 x z + 175 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 676 x y z + 1186 x y z + 1376 x y z + 1186 x y z + 676 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 175 x z + 49 y z + 272 x y z + 676 x y z + 1042 x y z + 1042 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 676 x y z + 272 x y z + 49 x z + 6 y + 49 x y + 175 x y + 369 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 474 x y + 369 x y + 175 x y + 49 x y + 6 x >= 8 7 7 2 6 6 2 6 3 5 6 z + 49 y z + 49 x z + 125 y z + 268 x y z + 125 x z + 169 y z 2 5 2 5 3 5 4 4 3 4 + 636 x y z + 636 x y z + 169 x z + 174 y z + 942 x y z 2 2 4 3 4 4 4 5 3 4 3 + 1554 x y z + 942 x y z + 174 x z + 169 y z + 942 x y z 2 3 3 3 2 3 4 3 5 3 6 2 + 2092 x y z + 2092 x y z + 942 x y z + 169 x z + 125 y z 5 2 2 4 2 3 3 2 4 2 2 5 2 + 636 x y z + 1554 x y z + 2092 x y z + 1554 x y z + 636 x y z 6 2 7 6 2 5 3 4 4 3 + 125 x z + 49 y z + 268 x y z + 636 x y z + 942 x y z + 942 x y z 5 2 6 7 8 7 2 6 3 5 + 636 x y z + 268 x y z + 49 x z + 6 y + 49 x y + 125 x y + 169 x y 4 4 5 3 6 2 7 8 + 174 x y + 169 x y + 125 x y + 49 x y + 6 x Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 6 6 2 6 3 5 2 5 2 5 50 y z + 4 x y z + 50 x z + 200 y z + 40 x y z + 40 x y z 3 5 4 4 3 4 3 4 4 4 5 3 + 200 x z + 300 y z + 100 x y z + 100 x y z + 300 x z + 200 y z 4 3 4 3 5 3 6 2 5 2 5 2 + 100 x y z + 100 x y z + 200 x z + 50 y z + 40 x y z + 40 x y z 6 2 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 50 x z + 4 x y z + 40 x y z + 100 x y z + 100 x y z + 40 x y z 6 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 4 x y z + 50 x y + 200 x y + 300 x y + 200 x y + 50 x y >= 2 2 4 2 3 3 3 2 3 2 4 2 3 3 2 368 x y z + 716 x y z + 716 x y z + 368 x y z + 716 x y z 4 2 2 + 368 x y z Dividing both sides by 2 gives: 2 6 6 2 6 3 5 2 5 2 5 25 y z + 2 x y z + 25 x z + 100 y z + 20 x y z + 20 x y z 3 5 4 4 3 4 3 4 4 4 5 3 + 100 x z + 150 y z + 50 x y z + 50 x y z + 150 x z + 100 y z 4 3 4 3 5 3 6 2 5 2 5 2 + 50 x y z + 50 x y z + 100 x z + 25 y z + 20 x y z + 20 x y z 6 2 6 2 5 3 4 4 3 5 2 + 25 x z + 2 x y z + 20 x y z + 50 x y z + 50 x y z + 20 x y z 6 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 + 2 x y z + 25 x y + 100 x y + 150 x y + 100 x y + 25 x y >= 2 2 4 2 3 3 3 2 3 2 4 2 3 3 2 184 x y z + 358 x y z + 358 x y z + 184 x y z + 358 x y z 4 2 2 + 184 x y z Expressing in terms of symmetric polynomials gives: 25 {6, 2, 0} + {6, 1, 1} + 100 {5, 3, 0} + 20 {5, 2, 1} + 75 {4, 4, 0} + 50 {4, 3, 1} >= 92 {4, 2, 2} + 179 {3, 3, 2} This follows from the following majorizations: 25 {6, 2, 0} >= 25 {4, 2, 2} {6, 1, 1} >= {4, 2, 2} 66 {5, 3, 0} >= 66 {4, 2, 2} 34 {5, 3, 0} >= 34 {3, 3, 2} 20 {5, 2, 1} >= 20 {3, 3, 2} 75 {4, 4, 0} >= 75 {3, 3, 2} 50 {4, 3, 1} >= 50 {3, 3, 2} (d38) true (c39) /* 5.36 */ trineq(54*R*r<=3*csum(a*b)); To prove: 3 (b c + a c + a b) >= 54 R r Let r = K/s . Let R = a*b*c/(4*K) . We get: 27 a b c (3 b + 3 a) c + 3 a b >= -------- 2 s Multiplying both sides by 2 s gives: 6 b c s + 6 a c s + 6 a b s >= 27 a b c Let s = (c+b+a)/2 . We get: 2 2 2 2 2 (3 b + 3 a) c + (3 b + 9 a b + 3 a ) c + 3 a b + 3 a b >= 27 a b c Expanding and collecting terms of the same sign gives: 2 2 2 2 2 2 3 b c + 3 a c + 3 b c + 3 a c + 3 a b + 3 a b >= 18 a b c Let a=(y+z)/2, b=(z+x)/2, c=(x+y)/2, to get: 3 2 2 2 3 2 (6 z + (15 y + 15 x) z + (15 y + 36 x y + 15 x ) z + 6 y + 15 x y 2 3 + 15 x y + 6 x )/8 >= 2 2 2 2 2 (9 y + 9 x) z + (9 y + 18 x y + 9 x ) z + 9 x y + 9 x y ----------------------------------------------------------- 4 Multiplying both sides by 8 gives: 3 2 2 2 2 3 2 6 z + 15 y z + 15 x z + 15 y z + 36 x y z + 15 x z + 6 y + 15 x y 2 3 2 2 2 2 2 + 15 x y + 6 x >= 18 y z + 18 x z + 18 y z + 36 x y z + 18 x z + 18 x y 2 + 18 x y Expanding and collecting terms of the same sign gives: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 6 z + 6 y + 6 x >= 3 y z + 3 x z + 3 y z + 3 x z + 3 x y + 3 x y Dividing both sides by 3 gives: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 z + 2 y + 2 x >= y z + x z + y z + x z + x y + x y Expressing in terms of symmetric polynomials gives: {3, 0, 0} >= {2, 1, 0} This result follows from the majorization theorem. (d39) true (c40) print("Summary:") $ Summary: (c41) print("Proved",triangtrue,"inequalities out of",triangcount,".") $ Proved 24 inequalities out of 36 . (d42) BATCH DONE (c43)